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    人教A版高中数学选择性必修第一册第3周检测(第一章)习题含答案

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    人教A版高中数学选择性必修第一册第3周检测(第一章)习题含答案

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    这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册第3周检测(第一章)习题含答案,共19页。
    第3周检测(第一章)
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知向量a=(1,1,2),b=(x,1,2x-3),若a⊥b,则x=(  )
    A.-2 B.-1 C.0 D.1
    2.已知向量a=(0,-1,1)与b=(0,2k-3,k2)共线,则实数k=(  )
    A.0 B.1
    C.-1或3 D.-3或1
    3.如图,在“阳马”A-OBCD中,E为△ACD的重心,若AB=a,AC=b,AD=c,则BE=(  )

    A.-a+12b+12c
    B.-a+13b+13c
    C.a+23b+23c
    D.-a+13b-13c
    4.已知空间向量a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,z),若三向量a,b,c共面,则实数z=(  )
    A.1 B.-9
    C.-3 D.-1
    5.已知向量a=(1,1,0),则与a同向共线的单位向量e=(  )
    A.-22,22,0 B.(0,1,0)
    C.22,22,0 D.(-1,-1,0)
    6.在正四面体ABCD中,M,N分别是线段BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值为(  )
    A.33 B.63 C.22 D.23
    7.已知MN是正方体内切球的一条直径,点P在正方体表面上运动,正方体的棱长是23,则PM·PN的取值范围为(  )
    A.[0,4] B.[1,6] C.[0,6] D.[1,4]
    8.已知点A(4,1,3),B(2,3,1),C(5,7,-5),又点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的值为(  )
    A.14 B.13
    C.12 D.11
    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9.以下说法正确的是(  )
    A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(1,2,1),则直线l与m不垂直
    B.直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l⊥α
    C.两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则α∥β
    D.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1
    10.已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的是(  )
    A.c=(-3,1,8)与a,b共面
    B.(2a+b)∥a
    C.a在b上的投影向量的模是22
    D.a与b夹角的余弦值为-36
    11.已知空间中不共面的四点A(1,2,0),B(0,1,-1),C(2,0,0),D(1,1,1),则(  )
    A.直线AC与BD所成角的余弦值是15
    B.二面角A-BC-D的正弦值是57
    C.点D到平面ABC的距离是2147
    D.四面体ABCD的体积是23
    12.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论错误的是(  )
    A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12
    B.A1C·(A1B1-A1A)=0
    C.向量AD1与向量A1B夹角的大小为60°
    D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.已知两条异面直线l1,l2对应的方向向量分别是a=(-1,0,2),b=(0,11,5),则异面直线l1,l2的夹角为     . 
    14.已知点A(0,1,2)在平面α内,n=(-1,3,2)为平面α的一个法向量,则点D(5,7,-3)到平面α的距离为     . 
    15.在四面体ABCD中,已知E为线段BC上的点,O为线段DE上的点,且BE=13BC,DO=35DE,若AO=xAB+yAC+zAD,则xyz的值为     . 
    16.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,AB⊥平面PAD,E是线段PD上的动点(不含端点),若线段AB上存在点F(不含端点),使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°,则线段AF长度的取值范围是     . 

    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(10分)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,c),且|a+b|=5.
    (1)求c的值;
    (2)若ka+b与2a-b互相垂直,求实数k的值.
    18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,DC=1,M是BC的中点,点Q在PM上,且PQ=2QM.

    (1)证明:DQ⊥平面PAM;
    (2)求平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值.



    19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,点M,N分别为棱PB,DC的中点.

    (1)求证:AM∥平面PCD;
    (2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.















    20.(12分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面边长AB=2,AB1⊥BC1,O,O1分别是棱AC,A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.

    (1)求三棱柱的侧棱长;
    (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.





    21.(12分)已知三棱锥P-ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形ABCD为边长等于2的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥P-ABC中,

    图1

    图2
    (1)证明:平面PAC⊥平面ABC;
    (2)若点M在棱PA上运动,当直线BM与平面PAC所成的角最大时,求平面MBC与平面BCA夹角的余弦值.

    22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是等腰梯形,且AD=2AB=2BC=2CD,E,F分别是线段PB,AC的中点,PA=PD,平面PAD⊥平面ABCD.
    (1)证明:EF⊥平面ABCD;
    (2)求平面ACE与平面ADE所成夹角的取值范围.



    参考答案
    第3周检测(第一章)
    1.D 因为a⊥b,
    所以a·b=0,即x+1+2(2x-3)=0,
    解得x=1.故选D.
    2.D 因为向量a=(0,-1,1)与b=(0,2k-3,k2)共线,
    所以2k-3-1=k21,即k2+2k-3=0,解得k=-3或k=1,
    所以实数k的值为-3或1.故选D.
    3.B 连接AE并延长交CD于点F.

    因为E为△ACD的重心,则F为棱CD的中点,且AE=23AF,
    所以BE=AE-AB=23AF-AB=23×12(AC+AD)-AB=13AC+13AD-AB=-a+13b+13c.故选B.
    4.B 因为三向量a,b,c共面,设c=ma+nb,其中m,n∈R,则2m-n=7,m+2n=6,3n-3m=z,解得m=4,n=1,z=-9.故选B.
    5.C 因为向量a=(1,1,0),所以|a|=2,
    所以与a同向共线的单位向量e=22,22,0.故选C.
    6.D 如图所示,

    由四面体ABCD为正四面体,得∠ADB=∠ADC=∠BDC=π3.
    设正四面体ABCD的棱长为2,
    则DA·DB=DA·DC=DB·DC=2.
    以{DA,DB,DC}为一个基底,
    则AM=AB+12BC=DB-DA+12(DC-DB)=12DB-DA+12DC,CN=CD+12DA=12DA-DC,
    所以AM·CN=12DB-DA+12DC·12DA-DC=-12DA2-12DC2+14DA·DB+54DA·DC-12DB·DC=-2-2+12+52-1=-2,
    |AM|=(12DB-DA+12DC)2
    =DA2+14DB2+14DC2-DA·DB-DA·DC+12DB·DC
    =4+1+1-2-2+1=3,
    |CN|=(12DA-DC)2=14DA2+DC2-DA·DC=1+4-2=3,所以cos=-23×3=-23,
    所以直线AM和CN夹角的余弦值为23.故选D.
    7.C 设正方体为ABCD-A1B1C1D1,正方体内切球球心为S,MN是该内切球的任意一条直径,则内切球的半径为3,

    所以PM·PN=(PS+SM)·(PS+SN)=(PS+SM)·(PS-SM)=PS2-SM2=PS2-3.因为点P在正方体表面上运动,
    当P为正方体的表面正方形的中心时,|PS|取最小值3,
    当P为正方体的顶点时,
    |PS|取最大值(23)2+(23)2+(23)22=3,
    故|PS|∈[3,3],则PS2-3∈[0,6],
    即PM·PN∈[0,6].故选C.
    8.B 由题得,AP=(x-4,-2,0),AB=(-2,2,-2),AC=(1,6,-8).
    因为点P(x,-1,3)在平面ABC内,
    则存在实数m,n,使得AP=mAB+nAC,
    所以(x-4,-2,0)=m(-2,2,-2)+n(1,6,-8),则x-4=-2m+n,-2=2m+6n,0=-2m-8n,解得m=-4,n=1,x=13.故选B.
    9.ACD 对于A,a=(1,-1,2),b=(1,2,1),则a·b=1≠0,则有a,b不垂直,即直线l与m不垂直.故A正确;
    对于B,因为a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),则a·n=0,有a⊥n,得a∥α,直线l与平面α不垂直.故B不正确;
    对于C,由n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0)得,n2=-2n1,即n1与n2共线,则α∥β.故C正确;
    对于D,点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),则AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0).
    又向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则n·AB=-1+u+t=0,n·BC=-1+u=0,解得u+t=1.故D正确.故选ACD.
    10.ACD 对于A,因为空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),c=(-3,1,8),所以c=3a+b,
    所以c与a,b共面.故A正确;
    对于B,因为向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),所以2a+b=(-1,2,7).
    因为-1-2≠2-1≠71,所以(2a+b)与a不平行.故B错误;
    对于C,a在b上的投影向量的模为|a·b||b|=|-6-4+5|32+42+52=22.故C正确;
    对于D,a与b夹角的余弦值为cos=a·b|a||b|=-6-4+54+1+1×9+16+25=-36.故D正确.故选ACD.
    11.ACD 由题可得AC=(1,-2,0),BD=(1,0,2),则cos=AC·BD|AC||BD|=15,所以直线AC与BD所成角的余弦值是15.故A正确;
    BC=(2,-1,1),设m=(x1,y1,z1)是平面ABC的一个法向量,则m·AC=x1-2y1=0,m·BC=2x1-y1+z1=0,令y1=1,则x1=2,z1=-3,得m=(2,1,-3).
    设n=(x2,y2,z2)是平面BCD的一个法向量,则n·BD=x2+2z2=0,n·BC=2x2-y2+z2=0,令z2=-1,则x2=2,y2=3,得n=(2,3,-1).
    则cos=m·n|m||n|=1014×14=57,故二面角A-BC-D的正弦值为1-572=267.故B错误;
    由B知,点D到平面ABC的距离d=|m·BD||m|=414=2147.故C正确;
    cos∠ACB=cos=cos=AC·BC|AC||BC|=430,则sin∠ACB=1430.
    故△ABC的面积S=12|AC||BC|sin∠ACB=12×5×6×1430=142,所以四面体ABCD的体积V=13×142×2147=23.故D正确.故选ACD.
    12.CD 不妨设该正方体的棱长为1,以{DA,DC,DD1}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

    则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
    因为A1A+A1D1+A1B1=(0,0,-1)+(-1,0,0)+(0,1,0)=(-1,1,-1),
    所以(A1A+A1D1+A1B1)2=|A1A+A1D1+A1B1|2=3,又3A1B12=3|AB|2=3×12=3,
    所以(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12,故A正确;
    因为A1C=(-1,1,-1),A1B1-A1A=AB1=(0,1,1),
    所以A1C·(A1B1-A1A)=0+1-1=0,故B正确;
    因为AD1=(-1,0,1),A1B=(0,1,-1),
    所以AD1·A1B=0+0-1=-1,|AD1|=2,|A1B|=2,所以cos=AD1·A1B|AD1||A1B|=-12×2=-12.
    所以向量AD1与向量A1B夹角的大小为120°,故C错误;
    因为AB⊥AA1,所以AB·AA1=0,所以|AB·AA1·AD|=|0·AD|=0,故D错误.故选CD.
    13.π3 由已知cos=a·b|a||b|=255×16=12.
    由于异面直线夹角的取值范围为0,π2,
    所以异面直线l1,l2的夹角为π3.
    14.31414 由A(0,1,2),D(5,7,-3),可得AD=(5,6,-5).
    又点A(0,1,2)在平面α内,n=(-1,3,2)为平面α的一个法向量,则点D到平面α的距离d=AD·n|n|=-5+18-101+9+4=31414.
    15.4125 因为E为线段BC上的点,O为线段DE上的点,且BE=13BC,DO=35DE,
    所以AO=AD+DO=AD+35DE=AD+35(DB+BE)=AD+35DB+13BC=AD+35AB-AD+13AC-13AB=25AB+15AC+25AD.又AO=xAB+yAC+zAD,所以x=25,y=15,z=25,所以xyz=4125.
    16.0,63 设O是棱AD的中点,则OP⊥AD.
    由于AB⊥平面PAD,OP⊂平面PAD,所以AB⊥OP.
    因为AD∩AB=A,AD,AB⊂平面ABCD,所以OP⊥平面ABCD.
    由于OP⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.

    以D为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
    P(1,0,1),A(2,0,0),PA=(1,0,-1).
    设F(2,t,0),0

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