2022-2023学年湖北省黄石市西塞山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省黄石市西塞山区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若在实数范围内有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C. 且 D.

2.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  直角三角形的两边长为和，则第三边的长为(    )

A.  B. 或 C.  D. 无法确定

6.  如图，已知四边形是平行四边形，则下列结论中正确的是(    )

A. 当时，它是矩形
B. 当时，它是正方形
C. 当时，它是菱形
D. 当时，它是菱形

7.  若是整数，则满足条件的自然数共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  如图，以直角三角形、、为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足图形个数有(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为若，大正方形面积为，则小正方形边长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  勾股定理是我国的伟大数学发明之一如图，以的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为，，，则较小两个正方形重叠部分四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  计算：______．

12.  已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______ ．

 

13.  如图，一根长的筷子置于底面直径为高为圆柱形水杯中，露在水杯外面的长度，则的取值范围是______ ．

14.  如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为______．

15.  如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为        ．

16.  如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是______

17.  如图，菱形边长为，，，，连接交菱形的对角线于点，则图中阴影部分面积等于          ．

18.  如图，在正方形中，点，分别是，的中点，点是边上一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形．
若，，三点在同一条直线上，则的大小为______；
若，则，两点的连线段的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
如图，将▱的对角线向两个方向延长，分别至点和点，求证：四边形是平行四边形．

 

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

22.  本小题分
有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，，则将将变成，即变成，从而使得得以化简．
例如，．
______ ，请仿照上例解下列问题：
化简；
设，，求的值．

23.  本小题分
材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作度量中提出：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在数书九章中提出利用三角形三边，，，求三角形面积的公式，被称之为秦九韶公式．
海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．
如图，在中，，，，求的面积．
在的基础上，作和的角平分线交于点过点作，的长为______．
 

24.  本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接交于点，连接、．
求证：；
已知，若，求的长．

25.  本小题分
综合与实践
问题解决：
已知在中，，，四边形是正方形，为所在的直线与的交点如图，当点在上时，请判断和的关系，并说明理由．
问题探究：
如图，将正方形绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：；
问题拓展：
将正方形绕点旋转一周，当时，若，，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
根据分式和二次根式有意义的条件可得关于的不等式组，即可求解．
本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据中最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是同类项不能合并，不符合题意；
B、，符合题意；
C、不是同类项不能合并，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，二次根式的乘除法运算法则计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，
故A，
又点表示的数为，
点表示的数为．
故选：．
在中利用勾股定理求出，继而得出的长，结合数轴的知识可得出点表示的数．
此题考查了勾股定理及数轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键，难度一般．
 

5.【答案】 

【解析】解：设第三边为，
若是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得：
，
；
若是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得：
，
；
第三边的长为或．
故选B．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
 

6.【答案】 

【解析】解：、当时，，则，故四边形不是矩形，故A错误；
B、由四边形是平行四边形，，则四边形为矩形，故B错误；
C、当时，四边形是矩形，故C错误；
D、由四边形是平行四边形，，则四边形为菱形，故D正确．
故选：．
依据矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
本题主要考查的是矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当、、、、、时，
、、、、、都不是整数；
当、、时，
、、是整数．
故满足条件的自然数有三个．
故选：．
先把不大于的自然数代入计算，根据计算结果得结论．
本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【解答】
解：，，，
，
，
．
，，，
，
，
．
，，，
，
，
．
，，，
，
．
综上可得，面积关系满足图形有个．
故选D．
【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．
根据直角三角形、、为边，应用勾股定理，可得．
第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出个三角形的面积；然后根据，可得．
第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出个半圆的面积；然后根据，可得．
第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出个等腰直角三角形的面积；然后根据，可得．
第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出个正方形的面积；然后根据，可得．  

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
，
，
，
．
故选：．
分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
 

10.【答案】 

【解析】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，
由勾股定理得，，
，
，
，
，，，
两个正方形重叠部分四边形的面积．
故选：．
设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分四边形的面积．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么关键是弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用二次根式加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由实数在数轴上的位置可得，
所以．
故答案为：．
利用数轴表示数的方法得到，然后根据二次根式的性质计算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．也考查了实数与数轴．
 

13.【答案】 

【解析】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，
在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，，
最长时等于杯子斜边长度是：，
的取值范围是：，
即．
故答案为：．
根据杯子内筷子的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，进而得到的长，再设，则，，再在中利用勾股定理可得方程：，解出的值，可得答案．
【解答】

解：，，
，，
根据折叠可得：，
，
设，则，，
在中：，
解得：，
故答案为：．

 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，

，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
首先由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求出的长度．
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出是直角三角形是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知，将木块展开，
相当于是个正方形的宽，
长为米；宽为米．
于是最短路径为：米．
故答案为：．
解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答
本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
由菱形的性质可得，，，由“”可证，可得，由面积的和差关系可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【解答】
解：连接，

四边形是菱形，
，，，
是等边三角形，，
，
，，
，
在和中，

，
，
，
，，
，
，
阴影部分面积，
故答案为：．  

18.【答案】  

【解析】解：如图，点，分别是，的中点，
，

，
，
故答案为：；
如图，连接，，，

将四边形沿折叠，得到四边形．
≌，
，
正方形的边长为，
，
，
当，，在同一条直线上时，最小，最小值为，
故答案为：．
根据，得，则；
根据≌，得，再利用三角形三边关系可得答案．
本题主要考查了翻折变换，正方形的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
原式． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可；
根据二次根式的除法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

20.【答案】证明：连接，设与交于点如图所示：

四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形． 

【解析】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．
由四边形是平行四边形易知，，再证得，即可得出结论．
 

21.【答案】解：



．
当时，原式． 

【解析】先计算除法，再计算减法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：；
，
；
，
，
，
，
，
的值为：．
根据，进行计算即可解答；
利用完全平方公式把变形为，再根据，进行计算即可解答；
利用完全平方公式把变形为，变形为，再根据，求出，的值，进行计算即可解答；
本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

23.【答案】解：我同意这种说法．
验证：利用海伦公式：．
的面积的面积为：；
利用秦九韶公式：
的面积的面积为．
，
海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．
． 

【解析】

【分析】
本题考查学生的运算能力，熟练运算是解本题的关键．
分别代入公式求解，答案一样就是一致的．
利用公式求解．
【解答】
解：见答案；
和的角平分线交于点，
由角平分线的性质知：点到三角形三边的距离相等，距离为的长，设为，
的面积等于：，
解得：．
所以的长为：．
故填：．  

24.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
；

解：连接，
，，
四边形是平行四边形，
又菱形，
，
四边形是矩形，
，
又，
为等边三角形，
在菱形中，，
，，
在矩形中，，
在中，
． 

【解析】直接利用菱形的性质结合平行四边形的判定方法得出；
首先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的判定与性质得出为等边三角形，再利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定方法、菱形的性质等知识，正确得出为等边三角形是解题关键．
 

25.【答案】解：，．
理由：四边形是正方形，
，，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
；
证明：如图，在线段上截取，连接．

由可知，，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
．
解：线段的长为或．
如图，当，，三点共线时，．

由可知，，且，，
，
．
设，则，
在中，，
，
解得或舍去；
如图，当，，三点共线时，，

设，
，
，
在中，，
，
解得或舍去，
综上所述，线段的长为或． 

【解析】由正方形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论；
在线段上截取，连接证明≌，由全等三角形的性质得出，，证出，则是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
分两种情况：如图，当，，三点共线时，；如图，当，，三点共线时，，由勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．