北京市顺义区牛栏山第一中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题

2023北京牛栏山一中高一6月月考

数    学

2023.6

第 I 卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一是符合题目）

1. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（   ）

A.2          B.4             C.6           D.12

2. 已知复数(其中i是虚数单位)，则z在复平面内对应的点的坐标是（   ）

A.(1，1)        B.(1，-1)          C.(-1，1)           D.(-1，-1)

3. 将函数的图象向右平移ϕ（ϕ>0）个单位长度后得到函数的图象，则ϕ的最小值是（   ）

A.            B.             C.            D.

4. 已知直线和平面、，则下列四个命题中正确的是（   ）

A.若，，则      B.若，，则

C.若，，则      D.若，，则

5. 在△ABC中，，则∠A=（    ）

A.   B.   C.   D.

6. 向量在正方形网格中的位置如图所示，

若，则（    ）

A.        B.3        C.       D.-3

7. 在空间中，下列说法错误的是（   ）

A.过直线外一点作已知直线的垂线有无数条

B.两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条也一定平行于该平面

C.一条直线分别与两个相交平面平行，那么该直线一定与两平面的交线平行

D.两个平面垂直，过其中一个平面内的一点作另一个平面的垂线有且只有一条

8. 已知函数的图象

如图所示，则正确的是 （   ）

A.     B.函数f(x)在上单调递增

C.直线是函数的一条对称轴    D.使得f (x)= -2

9．已知正四棱锥P-ABCD，所有棱长均为4，M是四边形ABCD及其内部的点构成的集合，设集合，则I表示的区域的面积为（   ）

A．      B．      C．       D．

10. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F

分别为BC和CC1的中点，M是侧面BCC 1B1内一点，若

D1M//平面DEF，则线段D1M长度的取值范围是（    ）

A.       B.         C.        D.

第 II 卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）

11. 已知向量，且，则y=        .

12. 若复数为纯虚数，则实数a的值为           .

13. 当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为       .

14. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点满足，则       ；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是         ．

15. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是

棱AA1上的一个动点，给出下列四个结论：

① 三棱锥B1-BED1的体积为定值；

② 存在点E使得B1C⊥平面BED1；

③ 对于每一个点E，在棱DD1上总存在一点P，使得

CP//平面BED1；

④ M是线段BC1上的一个动点，过点A1的截面垂直于DM，则截面的面积的最小值为.其中所有正确结论的序号是                . 

三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分13分）

已知向量是夹角为60°的单位向量，且+.

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求||；（Ⅲ）求向量的夹角.

17.（本小题满分15分）

已知函数.

（Ⅰ）求函数f (x)的最小正周期；

（Ⅱ）当x∈[0,]时，求函数f (x)的最值以及取得最值时的x值；

（Ⅲ）若，求的值.

18.（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，AD≠BC，E,F,H,G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点.

（Ⅰ）求证：BC// AD；

（Ⅱ）判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由.

19．（本小题满分15分)）

如图，在锐角△ABC中，,. D，E分别

是边AB，AC上的点，且DE=2，EC=3.

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求∠BDE的大小；

（Ⅲ）求四边形BCED的面积.

20.（本小题满分15分）

如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，AA1=a，E，F分别是棱BC，DD1的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；

（Ⅱ）求证：EF//平面A1BD；

（Ⅲ）若平面A1BC⊥平面A1DC，求a的值.

21.（本小题满分14分）

若点(x0，y0)在函数的图象上，且满足，则称是的点. 函数的所有点构成的集合称为的集.

（Ⅰ）判断是否是函数的点，并说明理由；

（Ⅱ）若函数，求的集；

（Ⅲ）若定义域为的连续函数的集是实数集的真子集，求证：.

参考答案

一、选择题：1.B ；2.C；3.A；4.D；5.D；6.C；7. B；8.C；9. A ；10. B

二、填空题：  11. 2；12. -2；13. 30；14. [1,2]；15. ①②④

三、解答题：

16．(本小题满分13分)

已知向量是夹角为60°的单位向量，+.

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求||；（Ⅲ）求向量的夹角.

解：（Ⅰ）22+1=3.   1+1+1+1+1=5分

（Ⅱ）a2＝  -----------------2+1=3分

所以|a|＝                 ------------4分

（Ⅲ）+.--------------2分

所以的夹角是90°          ------------4分

17.（本小题满分15分）

已知函数.

（Ⅰ）求函数f (x)的最小正周期；

（Ⅱ）当x∈[0,]时，求函数f (x)的最值以及取得最值时的x值；

（Ⅲ）若，求的值.

 解：（Ⅰ）因为-------------------1分

，-----------3分

   所以T=.                     ………………5分

（Ⅱ）x∈[0,]时，     ………………1分

时，f (x)取得最大值为    ………………3分

时，f (x)取得最小值为  ………………5分

 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知，因为，

所以，    整理得：  …………1分

因为，所以.

所以.      ………………3分

所以

            ………………………5分

18.（本小题满分13分）

如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由.

解：（Ⅰ）因为平面，平面，---------2分

平面平面，-----------------4分

所以．            …………5分

（Ⅱ）直线与直线相交.  …………1分

理由如下：              

连接，.因为，分别是棱， 的中点，所以，．

同理可证：，．                        …………3分

因为，所以．                     …………4分  

所以，，，四点共面.                      …………6分

因为，所以.所以与不平行，即与相交.   ………8分

19.(本小题满分15分)

如图，在锐角△ABC中，,. D，E分别是边AB，AC上的点，且DE=2，EC=3.

(Ⅰ)求sinC的值；(Ⅱ)∠BDE的大小；(Ⅲ)四边形BCED的面积.

解：  (Ⅰ)因为

又在中，，-----------2分

所以···········4分

(II)因为△ABC是锐角三角形，

由(Ⅰ)知所以------------------2分

在△ABC中，因为，

所以即，解得AC=5.---------3分

又因为EC=3，所以AE=2. --------------4分

又因为DE=2，所以.----------5分    

故·······6分

正弦:∠B(1分)—正弦定理求AC(3分)—AE(4分）—等腰求∠ADE(5分)—∠BDE(6分)

(Ⅲ)因为，由(Ⅱ)知AC=5，所以------2分

又因为所以-----------4分

所以四边形BCED的面积为························5分

20.（本小题满分15分）

如图，在直棱柱中， 底面是菱形，，，，，分别是棱，的中点.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）若平面平面，求的值.

解：（Ⅰ）连接.在直棱柱中，

平面.…………1分

因为平面，所以．………2分  

在菱形中， .………3分

因为AA1∩AC=A，

所以平面．     ………4分

又因为A1C平面AA1C，

所以．         …………5分

（Ⅱ）（法一）取的中点，连接，．

因为是的中点，

所以，．  ………1分

在直棱柱中，

，.

在菱形中，，.

所以，．

因为是的中点，所以．

所以，.

所以四边形为平行四边形.

所以.            …………3分

因为平面，平面，

所以平面.      …………5分（不写线不在面内，扣1分）

（法二）取的中点H，连接FH，EH．

因为E是BC中点，

所以EH//BD.

连接CD1，因为F是的中点，

所以．  ………1分

在直棱柱中，，.

在菱形中，，.

所以A1D1//BC，A1D1=BC

所以四边形A1D1BC是平行四边形，所以A1B//CD1

所以．   …………3分

因为EH∩FH=H，

所以平面EFH//平面A1BD     …………4分 

因为

所以平面.      …………5分

（Ⅲ）过点作于，连接．

因为平面平面，

所以平面.          ………1分

因为平面，所以． …………2分

在直棱柱中，，.

在菱形中，，.

所以.所以△△.

所以.所以△△.

所以DH=BH.  -----------3分

所以.

在菱形中，，

所以   ---------------4分

在直棱柱中，，

所以，.

所以.  所以.  ………5分（△A1BC中求a，方法多种，共计2分）

21.（本小题满分14分）

若点在函数的图象上，且满足，则称是的点. 函数的所有点构成的集合称为的集.

（Ⅰ）判断是否是函数的点，并说明理由；

（Ⅱ）若函数，求的集；

（Ⅲ）若定义域为的连续函数的集是实数集的真子集，求证：.

解：（Ⅰ）是函数的点，理由如下：         …………1分

设，则，.          …………2分           

因为，所以．所以．       …………4分

所以是函数的点．                

（Ⅱ），对，              …………1分

当时，，

所以；                                           …………3分

当时，同理，所以； …………5分

所以对于任意的єR都是的点，即函数的集为.  …………6分

（Ⅲ）因为函数的集满足，

所以存在，使得且，即.  …………2分

因为若，则，

所以.                                               …………3分

因为函数的图象是连续不断地，

所以存在零点，即.                       ………4分