2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，则的共轨复数(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为，和现采用分层抽样的方法选出位同学进行项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知命题：，为真命题，则实数的值不能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知两个随机变量，满足，且，则，依次是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  若曲线的方程为：，则该曲线(    )

A. 曲线关于轴对称 B. 曲线的顶点坐标为
C. 曲线位于直线的左侧 D. 曲线过坐标原点

7.  已知双曲线的离心率是它的一条渐近线斜率的倍，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排名志愿者，若要名志愿者去社区，则不同的安排方法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9.  已知抛物线的准线为，且点在抛物线上，则点到准线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  将边长为的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  设，为椭圆：的两个焦点，点在上，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  函数在内存在零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知样本，，，，的平均数为，方差为，则 ______ ．

14.  曲线在点处的切线方程为______ ．

15.  已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于，则展开式中二项式系数最大的项的系数为______ ．

16.  已知函数是在上连续的奇函数，其导函数为当时，，且，则函数的零点个数为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若函数的图像在点处的切线斜率为，设，若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围．

18.  本小题分
在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级名学生进行一次测试，共道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：

测试后，随机抽取了名学生的答题数据进行统计，结果如下：

Ⅰ根据题中数据，估计这名学生中第题的实测答对人数；
Ⅱ从抽样的名学生中随机抽取名学生，记这名学生中第题答对的人数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

19.  本小题分
图是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿，折起使得与重合，如图．
设平面平面，证明：；
若二面角的余弦值为，求长．

 

20.  本小题分
已知抛物线：的焦点为，为上一动点，为圆：上一动点，的最小值为．
求的方程；
直线交于，两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值．

21.  本小题分
已知函数，且对恒成立．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．
Ⅰ求曲线，的极坐标方程；
Ⅱ设点的极坐标为，求面积的最小值．

23.  本小题分
已知函数．
求解不等式．
若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，复数，
的共轨复数．
故选：．
直接利用复数运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
本题考查了复数的高次乘方运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知，“史政地”、“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为，和，
故“史政生”所占的比例为，
由分层抽样是按比例抽取，可得“史政生”组合中抽取的学生人数为，
故选：．
先求出“史政生”所占的比例，然后按比例抽取人数，即可得到答案．
本题考查了分层抽样的理解和应用，解题的关键是掌握分层抽样的特点，即按比例抽取，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为命题：，为真命题，
所以解得，
结合选项可得实数的值不能是．
故选：．
利用一元二次方程的根与判别式的关系求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
，
，
，
．
故选：．
先由，得，，然后由得，再根据公式求解即可．
解题关键是若两个随机变量，满足一次关系式为常数，当已知、时，则有，．
 

5.【答案】 

【解析】解：若存在实数，使得，可知与共线，
即非零向量，可能方向相同或者方向相反．
反之，由，可得，的方向相同，
所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件．
故选：．
由向量共线的条件可知，的方向可以相同也可相反，而只能推出，同向，从而得出结论．
本题以向量共线的判断为背景，考查了充分、必要条件的判定，属简单题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因，
以代入曲线方程，方程变化，所以不关于轴对称，故A错；
又，得，C正确；
将代入不成立，故D错误；
又，
若，
，
则在上单调递减，
当时，，则，
若，
，
则在上单调递增，
又时，，
故此时，
因此的顶点只有一个，且为，错．
故选：．
根据方程的性质，方程的转化，求导探究单调性，即可逐一进行判断．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，解得，所以，解得．
故选：．
由已知可得，求解即可．
本题考查双曲线的离以率的求法，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：先选出名志愿者安排到社区，再把剩下的名志愿者分成两组，分配到其他两个社区，
则不同的安排方法共有种．
故选：．
先选出名志愿者安排到社区，再把剩下的名志愿者分成两组，分配到其他两个社区，进而求解结论．
本题考查排列组合的知识，考查数学抽象与数学建模的核心素养，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意知，
所以，
所以抛物线方程为，则抛物线的准线为，
所以点到抛物线准线的距离为．
故选：．
点代入抛物线方程求得的值，运用点到线的距离公式即可求得结果．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，
则，
又点到平面的距离为，
故直线与平面所成的角的正弦值为：．
故选：．
建立合适的空间直角坐标系，写出所需点的坐标，然后在直角三角形中求解即可．
本题考查了线面角的求解，用几何法求线面角，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，点在椭圆上，满足，可得，
又由椭圆：，其中，
则有，，
可得，
故选：．
根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，，将两式联立可得的值即可．
本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，则与的零点相同，
，设，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当时，，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令，则，
在上单调递增，
所以，所以无零点；
当时，，
因为，
所以在内存在零点，符合题意；
当时，在内存在个零点，设这个零点分别为，，
则，不妨设，
可以得出，当或时，；
当时，，
因为，
所以的根为，，，且，
当时，，当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，
同理可得，所以此时在内存在个零点．
综上所述，．
故选：．
设，由与的零点相同，利用导数法求解判断．
本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及导数的综合运用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为样本，，，，的平均数为，
所以，化简得，
由方差定义可得，
即，
可化为，
将代入，解得．
故答案为：．
根据平均数和方差的定义列方程组，即可求得的值．
本题考查了平均数和方差的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，，
即，解得，
则第项的二项式系数最大，，
故该项的系数为．
故答案为：．
根据前三项的二项式系数的和等于求出，再结合通项公式求出二项式系数最大的项的系数即可．
本题考查二项式定理，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
则函数的零点就是方程的根．
设，
由题意得，
因为的定义域为，
所以为上连续的奇函数．
易得，
由题知，当时，，则，
即函数为上的增函数，
又因为为上连续的奇函数，
所以为上的增函数．
由，得，
则方程只有一个根，
故函数只有个零点．
故答案为：．
函数的零点就是方程的根，设，对求导，结合题意知为上的增函数，由，即可得出答案．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，不是单调函数．
，
，解得，
，，
又，
要在区间上单调递增，只需在上恒成立，
即在上恒成立，即，
又在上，
的取值范围为． 

【解析】求导，分类讨论，和三种情况讨论单调性即可；
根据导数的几何意义求出，然后根据在单调递增，得到在上恒成立，然后求最值即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】本小题满分分
解：Ⅰ因为人中答对第题的人数为人，因此第题的实测难度为分
所以，估计人中有人实测答对第题．分
Ⅱ的可能取值是，，分；    ；   分的分布列为：

分分
Ⅲ将抽样的名学生中第题的实测难度，作为名学生第题的实测难度．
定义统计量，其中为第题的预估难度．并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．分分
因为 ，
所以，该次测试的难度预估是合理的．分
注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实测
难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝
对值的平均值”等，学生只要言之合理即可． 

【解析】Ⅰ由人中答对第题的人数为人，求出第题的实测难度为，由此能估计人中实测答对人数．
Ⅱ的可能取值是，，分别求出相应概率，由此能求出的分布列和数学期望．
Ⅲ将抽样的名学生中第题的实测难度，作为名学生第题的实测难度．由题设条件推导出该次测试的难度预估是合理的．
本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，是中档题．
 

19.【答案】证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以，于是．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，
，，，
设平面和平面的法向量分别为和，
，令，，
，令，．
所以二面角的余弦值为，
整理得，解得或，
因为二面角是锐角，所以舍去，
故AE长为． 

【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
先证明平行于平面，再证明平行于平面与平面的交线；
用向量数量积计算二面角余弦值，通过方程求解．
 

20.【答案】解：由题得，
当点，，，四点共线且点，在，中间时，取得最小值，

最小值为，
又，解得，
所以的方程为；
证明：当直线的斜率为时，显然不适合题意，
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，
联立方程，消去得，
则，，，
所以，又，
所以，
所以，解得或舍去，
即，所以，
所以，
又，
所以，
即为定值． 

【解析】先判断出当点，，，四点共线且点，在，中间时取得最小值，再解方程求出，即可求解；
设出直线方程，联立抛物线求出，，由解出，再由即可证明．
本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：Ⅰ因为，且，
故是函数的极值点，
因为，
所以，故，
又因为时，，且，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
故．
Ⅱ因为，则，
设，则，
令，可得，令，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
设，
则，
因为，所以，即，
令，可得，令，可得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当无限增大或无限接近时，都趋近于，
故，
因为关于的方程有两个实根，
所以实数的取值范围是． 

【解析】Ⅰ由，且，可得是函数的极值点，由，求解的值，验证即可得结论；
Ⅱ将已知方程转化为，利用导数可得，分离参数可得，令，利用导数求出的取值范围，从而可求得的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立求参数问题，方程有实根求参数问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：Ⅰ将曲线化为普通方程为，即，
又，则曲线的极坐标方程为；
又根据题意有，可知，即为曲线的极坐标方程；
Ⅱ由，
而，
故面积的最小值为． 

【解析】Ⅰ利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；
Ⅱ先表示出的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．
本题主要考查简单曲线的参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，考查三角形的面积公式，属于基础题．
 

23.【答案】解：因为，
所以不等式，
即 ，或 ，或
解求得，解求得，解求得．
综上可得，原不等式的解集为．
解：因为函数的图象如下所示：

由函数图象可得，
若的解集不为空集，只需满足即可，故的取值范围为． 

【解析】把要解的绝对值不等式等价转化与之等价的三不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
根据题意，数形结合，求出实数的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，属于中档题．