2018-2019学年四川省宜宾市叙州区高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年四川省宜宾市叙州区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、单选题（每小题5分，共60分）

1．（5分）设全集，集合，3，，，3，，则　　

A．，2，7， B．，5， C．，4，5， D．，3，4，5，

2．（5分）已知复数满足，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知中，，，则等于　　

A． B． C．或 D．或

4．（5分）已知随机变量服从正态分布，，，则　　

A．0.89 B．0.78 C．0.22 D．0.11

5．（5分）已知向量，，若，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

6．（5分）设等差数列的前项和为，若，，，则　　

A．3 B．4 C．5 D．6

7．（5分）如图所示的程序框图，输出的的值为　　

A． B．2 C． D．

8．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

9．（5分）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第一天走的路程为　　

A．192里 B．96里 C．63里 D．6里

10．（5分）函数在区间，内是增函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C． D．

11．（5分）已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于、两点，为坐标原点，且的面积为，则双曲线的离心率为　　

A． B．4 C．3 D．2

12．（5分）已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，上单调，则的最大值为　　

A．11 B．9 C．7 D．5

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．（5分）已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为　 　．

14．（5分）已知实数，满足不等式组，则是最小值为　　．

15．（5分）为过抛物线焦点的一条弦，设，，，，以下结论正确的是　 　，

①，且

②的最小值为4

③以为直径的圆与轴相切．

16．（5分）当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　 　．

三、解答题（共60分，第17～21题为必考题）

17．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

18．（12分）2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在，内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．

表1：设备改造后样本的频数分布表

（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；

（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；

（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在，内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在，或，内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望．

附：

19．（12分）如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，，线段、上分别有一点、且满足，．

（1）求证：；

（2）求点到直线的距离；

（3）求二面角的平面角的余弦值．

20．（12分）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．

（1）为坐标原点，求证：；

（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值

21．（12分）定义在上的函数满足，．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间；

（3）如果、、满足，那么称比更靠近．当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由．

选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为实数．

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线与曲线有公共点，求的取值范围．

23．已知函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围．

2018-2019学年四川省宜宾市叙州区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、单选题（每小题5分，共60分）

【解答】解：全集，1，2，3，4，5，6，7，，

集合，3，，

，2，4，5，6，；

，3，，

，1，4，5，6，；

，4，5，．

【解答】解：由复数满足，

得，

故选：．

【解答】解：中，，，，

由正弦定理得：，

，，

则．

故选：．

【解答】解：随机变量服从正态分布，，

这组数据对应的正态曲线的对称轴

，

，

故选：．

【解答】解：向量，，

若，则，

解得；

，

，

，

；

，

与的夹角为．

故选：．

【解答】解：，，

所以公差，

，

，，因此不能为0，

得，

所以，解得，

另解：等差数列的前项和为，即有数列成等差数列，

则，，成等差数列，

可得，

即有，

解得．

又一解：由等差数列的求和公式可得，

，，

可得，，

解得．

故选：．

【解答】解：时，，

时，，

时，，

，，

所以是以3为周期的循环．

故当 012时，．

故选：．

【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，

其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，

如图所示：

由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，

可得底面外接圆的半径为：，

由棱柱高为4，可得球心距为2，

故外接球半径为：，

故外接球的表面积，

故选：．

【解答】解：根据题意，设此人每天所走的程为数列，其首项为，即此人第一天走的路程为，

又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项，为公比的等比数列，

又由，即有，

解可得：；

即此人第一天走了192里；

故选：．

【解答】解：，

，

函数在区间，内是增函数，

（1），

．

故选：．

【解答】解：抛物线的准线方程为，

双曲线的左焦点为

时，代入双曲线方程，由，可得，

的面积为，

，

，

．

故选：．

【解答】解：为的零点，为图象的对称轴，

，即，

即，

即为正奇数，

在，上单调，则，

即，解得：，

当时，，，

，

，

此时在，不单调，不满足题意；

当时，，，

，

，

此时在，单调，满足题意；

故的最大值为9，

故选：．

二、填空题（每小题5分，共20分）

【解答】解：关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，

．

解得，再根据，可得，

令可得展开式的系数之和为，

故答案为：1．

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域：

得到如图的阴影部分，由解得设，将直线进行平移，

当经过点时，目标函数达到最小值，

．

故答案为：

【解答】解：因为直线过抛物线的焦点，故可设直线的方程为，

由，得，

则，，

，故①正确；

由抛物线定义得，，

当且仅当时取等号，所以的最小值为4，故②正确；

，则圆心，，圆心到轴的距离，直径，半径，，

所以以为直径的圆与轴相切，故③正确；

故答案为：①②③．

【解答】解：当时，不等式对任意恒成立；

当时，可化为，

令，则，

当时，，在，上单调递增，

（1），；

当时，可化为，

由式可知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，

，；

综上所述，实数的取值范围是，即实数的取值范围是，．

故答案为：，．

三、解答题（共60分，第17～21题为必考题）

【解答】解：（1）；

；

根据正弦定理得，

；

；

又；

；

（2）；

；

；

又，；

由余弦定理得，；

；

解得；

．

【解答】解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．

完成下面的列联表：

将列联表中的数据代入公式计算得：

．

，

有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．

（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．

可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，

设备改造后产品为合格品的概率约为；

设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．

（3）由表1知：

一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；

二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；

三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为．

由已知得：随机变量的取值为：240，300，360，420，480．

，

，

，

，

．

随机变量的分布列为：

．

【解答】（1）证明：如图，过点在平面内作于，

则由平面侧面，

且平面侧面，

平面，

又平面，．

三棱柱是直三棱柱，底面，．

又，侧面，

又侧面，．（4分）

（2）解：由（Ⅰ）知，以点为坐标原点，

以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

，0，，，3，，，0，，，3，

线段、上分别有一点、，满足，，

，2，，，1，，

，．

，，

点到直线的距离．（8分）

（3）解：，

设平面的法向量，

则，取，得，，，

由题意知平面的法向量，

设二面角的平面角为，

是钝角，，

二面角的平面角的余弦值为．（12分）

【解答】（1）证明：由抛物线，得其焦点，

当直线斜率不存在时，不妨设为第一象限的点，可得，，

则；

当直线的斜率存在时，设直线方程为，

联立，得．

设，，，，

则，，

．

．

综上，；

（2）解：设直线方程为．

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得．

设，，，，

，．

由点与原点关于点对称，得是线段的中点，

从而点与点到直线的距离相等，

四边形的面积等于．

，

时，四边形的面积最小，最小值是4．

【解答】解：（1）（1），所以（1）（1），即．又，

所以（1），所以．（4分）

（2），

，

．（5分）

①当时，，函数在上单调递增；（6分）

②当时，由得，

时，，单调递减；时，，单调递增．

综上，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（8分）

（3）解：设，，在，上为减函数，又（e），当时，，当时，．，，在，上为增函数，又（1），，时，，在，上为增函数，（1）．

①当时，，

设，则，在，上为减函数，

（1），

，，，比更靠近．

②当时，，

设，则，，在时为减函数，

，在时为减函数，（e），

，比更靠近．

综上：在，时，比更靠近．（12分）

选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.

【解答】解：（1）因为，

所以，．

由

平方得：

又

两式相减得，

故曲线的普通方程为，，．

另由得的直角坐标方程为．

（2）如图，当直线过点时，；

当直线与相切时，

由得，

由△得，

从而，曲线与曲线有公共点时，．

【解答】解：（Ⅰ）依题意，．

故不等式的解集为，，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当时，取最小值1，

对于恒成立，

，

，

解之得，

实数的取值范围是，．

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日期：2019/12/17 21:20:08；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267