2022-2023学年辽宁省鞍山市高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省鞍山市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．计算的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】直接利用诱导公式进行计算，即可得答案.

【详解】∵.

故选：C.

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，即可得答案.

2．正的边长为1，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，但要注意向量夹角的定义．

【详解】．

故选：B．

3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．13

【答案】A

【分析】先由题意，求出，再由向量模的计算公式，即可求出结果.

【详解】因为，均为单位向量，它们的夹角为，

所以，

因此.

故选：A.

4．把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据周期变换和平移变换的原则即可得解.

【详解】函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），

得函数，

再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，

得.

故选：D.

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.

【详解】.

故选：A

6．已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，

∴不是的充分条件，

当时，，∴,∴成立，

∴是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

7．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.

【详解】由已知可得：.

A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.

8．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据角的范围以及平方关系求出，再利用商数关系求出，最后由两角差的正切公式可得答案.

【详解】因为，，

所以

，

.

故选：D.

【点睛】本题主要考查平方关系、商数关系以及两角差的正切公式，属于基础题.

二、多选题

9．下列选项正确的是（    ）

A．；

B．；

C．若，则，；

D．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为.

【答案】AB

【分析】利用诱导公式得到A正确，转化得到B正确，举反例得到C错误，计算面积为，D错误，得到答案.

【详解】对选项A：，正确；

对选项B：，正确；

对选项C：，，错误；

对选项D：，故，面积为，错误.

故选：AB

10．下列命题中，正确的是（    ）

A．已知向量，，则在上的投影的数量为

B．若，则或

C．若不平行的两个非零向量，，满足，则

D．若与平行，则

【答案】AC

【分析】根据投影公式计算得到A正确，B选项没有考虑，错误，计算得到C正确，D选项没有考虑，错误，得到答案.

【详解】对选项A：投影的数量为，正确；

对选项B：，则或或，错误；

对选项C：，正确；

对选项D：与平行，则或，错误；

故选：AC.

11．已知函数，则下列判断正确的是（    ）

A．为偶函数 B．在上单调递增

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】ACD

【分析】化简得到，计算为偶函数，关于直线对称，关于点对称，在上单调递减，得到答案.

【详解】

.

对选项A：，，正确；

对选项B：，，在上单调递减，错误；

对选项C：当，则，是的对称轴，正确；

对选项D：当时，，故的图象关于点对称，正确.

故选：ACD

12．下列计算结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】ABD

【分析】利用和差公式和同角三角函数关系计算得到ABD正确，计算得到，C错误，得到答案.

【详解】对选项A：，正确；

对选项B：

，正确；

对选项C：，错误；

对选项D：，则，

故，故，正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知向量，满足，，，则______.

【答案】/

【分析】直接利用向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】.

故答案为：

14．已知，则______.

【答案】

【分析】根据同角的三角函数关系，结合二倍角的正弦公式进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

15．已知，则的值为______.

【答案】/

【分析】化简得到，再利用诱导公式计算得到答案.

【详解】

.

故答案为：

16．如图是一个半径为2米的水车，水车圆心距离水面1米.水车按逆时针方向匀速转动，每12秒转一圈，当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，设水车所在平面与水面的交线为，以过点且平行于的直线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，设点距离水面的高度（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数为，则__________________.

【答案】

【分析】设，根据函数的物理意义可求得，根据可求得，再根据函数的周期可求得，即可得解.

【详解】设，

由函数的物理意义可知：，

由可得，所以，

因为则，，

又因为的最小正周期，所以，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，角的终边经过点.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求解即可；

（2）根据诱导公式化简求值即可．

【详解】（1）∵角的终边经过点，

，

，，，

；

（2）．

18．已知向量，

(1)当，求的值；

(2)当，，求向量与的夹角

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解，

（2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解．

【详解】（1）因为向量，，所以，

由得，即，即，

整理得，解得或，

所以或.

（2）因为，，所以，

由，可得，解得，

所以，，

所以，

又，所以．

19．（1）已知，求的值；

（2）已知，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分子分母同除，可构造关于的式子，代入的值即可；

（2）利用同角三角函数关系可求得，根据，利用两角和差余弦公式可求得结果.

【详解】（1）；

（2），，，

.

20．已知为锐角，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；

（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解.

【详解】（1）；

（2）由，得，

因为为锐角，所以，则，

又因，所以，

所以，

所以，

则.

21．设函数.

(1)求的最小正周期和最小值；

(2)若，求的单调递增区间.

【答案】(1)最小正周期为，最小值

(2)，

【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质求解.

（2）利用三角函数的性质以及整体代如法解不等式求解.

【详解】（1）因为，

所以的最小正周期为，

当时，有最小值.

（2）法一、

由解得：，

所以的单调递增区间为，

法二、

由解得：，

所以的单调递减区间为，，

解不等式可得：，

所以的单调递增区间为，.

22．建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.

(1)求的表达式；

(2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.

【答案】(1)

(2)8小时

【分析】（1）直接利用函数图像，求出，进而求出的表达式；

（2）利用条件和由（1）中所求结果建立不等式，再借助的图像与性质即可求出结果.

【详解】（1）如图，

因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，

所以，

所以，又，所以，

所以.

（2）根据题设，由（1）得，即，

由的图像得，

解得，

又因为，

当时，，当时，，

所以或,

所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时.