专题02 不等式的性质及基本不等式冲刺高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用）

冲刺高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用）

专题02 相等关系与不等关系（重要考点）

目录一览

1.比较大小基本方法

2.不等式的性质

3.几个重要不等式

①,（当且仅当时取号）.变形公式：

②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.

变形公式：   

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

4.相关不等式常用结论

①平均不等式：

,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

变形公式：

1．（湖南省张家界市2023届高三下学期3月高考模拟数学试题）下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】举例说明即可判断AD；根据不等式的基本性质即可判断B；根据幂函数的性质即可判断C.

【详解】A：若，则，故A错误；

B：若，则，故，两边平方，可得，故B正确；

C：因为在上单调递增，所以若，则，故C正确；

D：若，不妨设，，显然不满足，故D错误.

故选：BC.

2．（辽宁省名校联盟2023届高考模拟数学试题（一））已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由不等式的性质可判断ABD，由0＜a－b＜a－c得，所以可判断C.

【详解】对于A项，，故A项错误；

对于B项，由a＞0与b＞c，得，故B项正确；

对于C项，由题，得－b＜－c，所以0＜a－b＜a－c，所以，所以，故C项正确；

对于D项，由题得，所以，即，故D项正确．

故选：BCD．

3．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（三））已知实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ）

A． B．

C．若，则 D．

【答案】BC

【分析】利用特殊值法、基本不等式和对数函数的单调性即可判断正误.

【详解】A选项：，由于函数在R上单调递增，则，即，

已知，即，若取，，则，故A错误.

B选项：因为，，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，故B正确.

C选项：若，则，且，

，由于函数在上单调递增，

所以，即，故C正确.

D选项：令，，则，故D错误.

故选：BC.

4．（广东省汕头市2022届高三二模数学试题）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（    ）

A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．

【答案】BCD

【分析】利用不等式的基本性质求解.

【详解】解：因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，

所以，

所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，，

故选：BCD

5．（广东省深圳市深圳中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则 D．函数的最小值是2

【答案】BC

【分析】对于A选项，取特殊值即可判断正误；

对于B、C选项，根据不等式的运算性质即可判断正误；

对于D选项，将函数化简为，，然后根据对勾函数的单调性即可判断正误

【详解】对于A选项，取，，，则，故错误；

对于B选项，，，，，故B正确；

对于C选项，，，，，故C正确；

对于D选项，函数，令，

由函数在上单调递增，，故D错误.

故选：BC

6．（辽宁省教研联盟2023届高三第一次调研测试（一模）数学试题）若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性判断选项中的结论是否正确.

【详解】因为，选项A错误；

，

当且仅当，时，取等号，选项B正确；

因为，所以，可得，选项C错误；

设，则D等价于，等价于，因为单调递增，，所以，所以，选项D正确.

故选：BD.

7．（辽宁省辽南协作体2021-2022学年高三下学期第二次模拟考试数学试题）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．

【详解】解：对于非零实数，满足，则，

即，故A一定成立；

因为，故B一定成立；

又，即，所以，故C一定成立；

对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．

故选：ABC

8．（福建省三明市2022届高三高中毕业班质量检测（D卷）数学试题）设，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据条件可得，的符号不能确定，然后依次判断即可.

【详解】因为，，所以，的符号不能确定，

当时，，故A错误，

因为，，所以，故B正确，

因为，所以，故C正确，

因为，所以，所以，所以，故D错误，

故选：BC

9．（云南省红河州2023届高三第一次复习统一检测（一模）数学试题）已知，，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的或转化，即可解不等式得出答案；对于选项CD：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为或，即可根据选项AB求出的范围根据不等式的性质或一元二次函数的值域得出要求的式子的范围.

【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，解得，即，故A不正确；

对于B：由，得，当且仅当时，等号成立即，解得，或（舍去），故B正确；

对于C：，

令，，即，故C正确；

对于D，，令，，即，故D不正确，

故选：BC．

10．（重庆市第八中学校2022届高考模拟（一）数学试题）已知实数，满足，则下列不等关系一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用特殊值法可判断A；利用作差法可判断B；构造函数，利用导数研究其单调性即可判断C；构造函数，利用其单调性即可判断D．

【详解】对于A，令，则，，此时，故A错误；

对于B，，则，故B正确；

对于C，令，，

当时，，单调递增，

因为，则，得，

即，，所以，故C正确．

对于D，函数在上单调递增，

因为，则，即，

所以，故D正确．

故选：BCD．

11．（浙江省温州市环大罗山联盟2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题）已知，且则下列结论一定正确的有（    ）

A． B．

C．ab有最大值4 D．有最小值9

【答案】AC

【分析】A、C选项，分别根据基本不等式计算即可得到；B选项找出反例即可；D选项由基本不等式“1”的代换计算，漏除了4.

【详解】A选项，，A正确；

B选项，找反例，当时，，，，B不正确；

C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确；

D选项，，D不正确.

故选：AC.

12．（2022年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（二））已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用不等式的性质及其基本不等即可求解.

【详解】对于选项,∵，，，∴，解得，同理可知，则不正确，正确；

对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，∴，

则正确；

对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，

∴，则正确．

故选：.

13．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（三））已知x，y均为正实数，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由基本不等式判断各选项．

【详解】A选项：，所以，当且仅当，即，时取等号，故A错误；

B选项：，由A知，则，故B正确；

C选项：，当且仅当，即，时取等号，故C正确；

D选项：由，得，即，当且仅当，即，时取等号，故D错误.

故选：BC．

14．（2023年全国新高考数学仿真模拟卷（一）数学试题）已知,,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】两式平方再作差,利用基本不等式即可得大小关系,进而得选项A,B正误,两式相除,由于,将分子分母同时除以,再利用基本不等式即可求出其范围.

【详解】解:由题知,

所以,

当且仅当时取等,

因为,所以,

即,故,

即选项A错误,选项B正确;

因为,

所以,

当且仅当,即时取等,

所以可得,

故选项C正确,选项D错误.

故选:BC

15．（辽宁省葫芦岛市2022届高三下学期第二次模拟考试数学试题）已知，，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】AB选项，利用基本不等式进行求解；CD选项，利用作差法比较大小.

【详解】，即，所以，

因为，所以由基本不等式得：，所以，

解得：，A正确；

，当且仅当时等号成立，故B正确；

，

因为，所以，所以，C错误；

，

因为，而可能比1大，可能比1小，所以符号不确定，所以D错误，

故选：AB

16．（湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2022届高三下学期5月三模数学试题）若，且，则下列不等式恒成立的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由基本不等式对选项逐一判断

【详解】因为，，当且仅当时等号成立，

则或，当且仅当时等号成立，

则，

当且仅当时等号成立，

则，

当且仅当时等号成立，故AC错误，D正确.

对于B选项，，

当且仅当时等号成立，故B正确.

故选：BD

17．（东北三省三校2023届高三第一次联合模拟考试数学试题）已知实数a，b满足，下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意可得，对A：根据不等式性质分析运算；对B：利用基本不等式分析运算；对C：换元结合二次函数分析运算；对D：构建，利用导数结合基本不等式判断原函数的单调性，即可得结果.

【详解】由，

可得，

对A：∵，则，

故，A正确；

对B：由选项A可得：，

当且仅当，即时，等号成立，

故，B正确；

对C：，

令，则，C错误；

对D：，等价于，

构建，则当时恒成立，

则在上单调递增，

由选项A可知：，则，

故，D正确；

故选：ABD.

18．（安徽省宿州市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题）已知，且，则下列不等关系成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C正确；将不等式化简整理可得，构造函数利用函数单调性即可证明D错误.

【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，即A正确；

易知，当且仅当时，等号成立，即B正确；

由重要不等式和对数运算法则可得：

，当且仅当且仅当时，等号成立，即C正确；

由可得，所以，

若，即证明，即

即需证明，

令函数，则，

当时，，即在上单调递增，

所以时，解不等式可得即可，即时不等式成立；

当时，，即在上单调递减，解不等式可得，即时不等式才成立；

综上可知，当时，不等式才成立，所以D错误.

故选：ABC

19．（重庆市南开中学2023届高三第六次质量检测数学试题）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；

乙：第一次涨幅，第二次涨幅；

丙：第一次涨幅，第二次涨幅.

其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（    ）

A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多

C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多

【答案】BC

【分析】不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解.

【详解】方案甲：两次涨幅后的价格为：；

方案乙：两次涨幅后的价格为：；

方案丙：两次涨幅后的价格为：；

因为，由均值不等式，当且仅当时等号成立，

故，因为，所以，，

所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，

故选：.

20．（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年上学期12月测试（新课改版）数学试题）已知，，且，下列结论中恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】直接利用基本不等式求的取值范围，再根据对数函数单调性与对数运算即可判断A；根据基本不等式“1”的巧用求最值即可判断B；利用等式换元，构造函数，求导确定单调性，即可判断C；利用已知等式换元，结合二次函数的性质求最值即可判断D.

【详解】对于A，因为，，且，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，

由于函数在上单调递减，所以，故A不正确；

对于B，因为，，且，所以，

当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；

对于C，因为，，且，所以，则，

设，则恒成立，所以在上单调递增，则，则，即，故C正确；

对于D，因为，，且，所以，则，

所以，当时，等号成立，故D不正确.

故选：BC.