小题狂练模拟（一）-冲刺高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用）

冲刺高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用）

【小题狂练模拟一】

一、单选题

1．在复平面内，复数，则对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】先求得共轭复数，再根据复数的几何意义求解.

【详解】因为复数，

所以，

所以对应的点位于第四象限

故选：D

2．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用对数的单调性解不等式求集合A，再由集合的交、补运算求集合即可.

【详解】由，故，

所以.

故选：D

3．凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ）

A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍

【答案】A

【分析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得的值.

【详解】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则，

上述两个等式作差可得，则，故.

故选：A.

4．过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在，由点到直线距离公式列出方程，求出直线斜率，得到直线方程.

【详解】若直线斜率不存在，即，此时，两点到直线的距离分别为3和5，故距离不相等，舍去；

若直线斜率存在时，设直线方程为，

由得：或，

故直线方程为或，

整理得或.

故选：D

5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（    ）

A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸

【答案】C

【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．

【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．

积水深9寸，水面半径为寸，

则盆中水的体积为（立方寸）．

平地降雨量等于（寸．

故选：C．

6．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（    ）

A．756 B．748 C．782 D．764

【答案】D

【分析】根据已知条件得即求，由正态曲线的对称性可得答案.

【详解】因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，

所以，即，即求，

由，得，

所以，

那么成绩落在的人数大约为.

故选：D.

7．已知 则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件得到，则，后由函数的单调性比较大小即可.

【详解】因为.

注意到，

因为在上单调递减，所以，所以.

因为均在上单调递减，所以.

又在上单调递增，所以.

综上可知，.

故选：B.

8．已知函数在上满足如下条件：（1）；（2）；（3）当时，.若恒成立，则实数的值不可能是（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】B

【分析】构造，求导后得到当时，为减函数，根据函数是奇函数得到是偶函数，且，考虑时，，求出，考虑时，，求出，得到答案.

【详解】设，则，

因为当时，，所以当时，有恒成立，

即此时0，函数为减函数，

因为在上满足，所以函数是奇函数，

又，所以，

又，故是偶函数，所以，

且在上为增函数，

当时，，即，等价为，即，得；

当时，，即，等价为，即，

此时函数为增函数，得，

综上不等式的解集是，

结合选项可知，实数的值可能是，，1.

故选：B

【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：

比如：若，则构造，

若，则构造，

若，则构造，

若，则构造.

二、多选题

9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：

则下列结论中正确的是（    ）

A．招商引资后，工资性收入较前一年增加

B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍

C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的

D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍

【答案】AD

【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.

【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则

对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资性收入增加了，故A正确；

对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；

对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；

对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.

故选：AD.

10．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．以为直径的圆与准线相交

C．设，则

D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条

【答案】ACD

【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得，即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.

【详解】抛物线焦点，准线，

由题意，故A正确；

因为，则以为直径的圆的半径，

线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，

所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；

抛物线的焦点为，，

当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；

对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，

当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，

当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，

当时，则，解得，

综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．

故选：ACD．

11．在单位正方体中，O为底面ABCD的中心，M为线段上的动点（不与两个端点重合），P为线段BM的中点，则（    ）

A．直线DP与OM是异面直线 B．三棱锥的体积是定值

C．存在点M，使平面BDM D．存在点M，使平面BDM

【答案】BC

【分析】选项A易判断，由可判断B，当M为中点时，可得平面BDM，即可判断C，当M与重合时，面BDM，然后可判断D.

【详解】

A项：因为相交，所以DP，OM共面，故错误；

B项：因为，是正方体，

所以，因为平面，平面，

所以平面，所M到面的距离不变，所以为定值，故正确；

C项：当M为中点时，OM为的中位线，，

因为平面BDM，平面BDM，

所以平面BDM，故正确；

D项：当M与重合时，因为，平面，

所以平面，因为平面，所以，

同理可证，因为，平面BDM，所以平面BDM，

又因为M不与端点重合，故错误．

故选：BC

12．1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是(   )

A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则

B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列

C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)

D．若最初有个桃子,则必有的倍数

【答案】ABD

【分析】设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，则,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,根据与关系即可判断A的正误;由A构造等比数列即可判断B的正误;根据B求出数列的通项公式,将代入求解即可判断C;根据题意,,又为等比数列,判断D的正误.

【详解】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则

,

若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则

,

所以,

即,故A正确;

由A，,

则,

即是等比数列,

若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,

所以是以为公比的等比数列,故B正确.

由B知,是等比数列,

所以,

即,

若最初有个桃子,即,

所以,故C错误;

根据题意:,

因为以为公比的等比数列,

所以,

化简得,

因为,且为正整数,

所以,

即必有的倍数,故D正确.

故选:ABD.

三、填空题

13．已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为______．

【答案】3

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理求解即可.

【详解】由及双曲线的定义可得，

所以，，因为，在中，

由余弦定理可得，

即，所以，

即，解得或（舍去）.

故答案为：3

14．设函数，使成立的充要条件是（其中I为某区间），则区间__________．

【答案】

【分析】根据题意判断的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式即可.

【详解】∵，故函数在定义域内为偶函数，

当时，则在上单调递增，

故在上单调递减，

若，等价于，等价于，

整理得，解得，

则使成立的充要条件是，即.

故答案为：.

15．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由向量的数量积公式得出，求出的最大值和最小值即可得出结果.

【详解】由线段EF的中点为点B，得出.

.当点P位于点A或点C时，取最大值8.

当点P位于的中点时，取最小值，即，

∴的取值范围为，∴的取值范围为.

故答案为：.

16．若存在直线与曲线，都相切，则的范围是__________.

【答案】

【分析】设直线与相切于点，，结合导数的几何意义可求得切线方程；根据该方程的唯一性可得方程组，整理得到；令，利用导数可求得的值域，由此可得的范围.

【详解】设该直线与相切于点，

，，

该切线方程为：，即；

设该直线与相切于点，

，，

该切线方程为：，即，

，则；

令，；

当时，；当时，；

在，上单调递减；在，上单调递增；

又，，，的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解.