高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第7章 7.1.2 全概率公式（含解析）

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7.1.2　全概率公式学习目标　1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.2.了解贝叶斯公式(不作考试要求)．知识点一　全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式．*知识点二　贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.1．若P(A)>0，P()>0，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．(　√　)2．若A1，A2，A3互斥且P(A1)>0，P(A2)>0，P(A3)>0，则P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．(　×　)一、两个事件的全概率问题例1　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解　如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝. 反思感悟　两个事件的全概率问题求解策略(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)．(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．跟踪训练1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．解　记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，(1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝.(2)P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.二、多个事件的全概率问题例2　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．解　用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.   反思感悟　“化整为零”求多事件的全概率问题(1)如图，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．跟踪训练2　甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，这2个产品都是次品的事件数为C＝3，∴这2个产品都是次品的概率为.(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.三、条件概率在生产生活中的应用例3　设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件．(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．解　记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”．则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题设，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.(1)由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝3.5%.(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得P(A1|B)＝＝＝.反思感悟　条件概率的内含(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系．(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重．跟踪训练3　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解　设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.(1)由全概率公式得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝＝＝，P(B2|A)＝＝＝，P(B3|A)＝＝＝.由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．1．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，由题设易知P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，于是P(B)＝×＋×＝.2．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　设Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1,2，B＝“任意取出一个零件是合格品”．则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝(1－0.03)＋(1－0.02)＝＝.3．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是(　　)A．0.013  B．0.04  C．0.002  D．0.003答案　A解析　设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.4．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________．答案　解析　设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝·＋·＋·＝.5．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则：(1)某人化验结果为阳性的概率为________；(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．答案　(1)1.47%　(2)解析　A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”．(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.(2)P(B|A)＝＝＝.1．知识清单：(1)全概率公式．(2)贝叶斯公式．2．方法归纳：化整为零、转化化归．3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为(　　)A．0.85  B．0.65  C．0.145  D．0.075答案　C解析　设A1＝“他乘火车来”，A2＝“他乘船来”，A3＝“他乘汽车来”，A4＝“他乘飞机来”，B＝“他迟到”．则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，由全概率公式得P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　)A．0.8  B．0.532  C．0.482 5  D．0.312 5答案　C解析　设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.3．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是(　　)A．0.012 45  B．0.057 86  C．0.026 25  D．0.028 65答案　C解析　用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25.4．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　设A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝×＋×＋×＝.5．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为(　　)A．0.59  B．0.41  C．0.48  D．0.64答案　A解析　设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是红球”，则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.6．袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．答案　解析　设A＝“第一次取到1号球”，则＝“第一次取到的是非1号球”；B＝“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝·＋·＝.7．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．答案　64%解析　记A为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”．依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%，于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.8．设盒中装有5只灯泡，其中3只是好的，2只是坏的，现从盒中随机地摸出两只，并换进2只好的之后，再从盒中摸出2只，则第二次摸出的2只全是好的概率为________．答案　0.55解析　Ai＝“第一次摸出i只好的”(i＝0,1,2)，A＝“第二次摸出的2只全是好的”，则A＝AA2∪AA1∪AA0，∵P(A0)＝＝，P(A|A0)＝1，P(A1)＝＝，P(A|A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A|A2)＝＝，∴第二次摸出的2只全是好的的概率为P(A)＝P(A2)·P(A|A2)＋P(A1)P(A|A1)＋P(A0)P(A|A0)＝×＋×＋＝0.55.9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？解　记事件A＝“最后从2号箱中取出的是红球”；事件B＝“从1号箱中取出的是红球”．则事件＝“从1号箱中取出的是白球”．P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝.(1)P(A|B)＝＝.(2)∵P(A|)＝＝，∴P(A)＝P(AB)＋P(A )＝P(A|B)P(B)＋P(A|)·P()＝×＋×＝.10．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任选一个地区抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．解　设Ai＝“此人来自第i个地区”，i＝1,2,3(分别对应甲、乙、丙三个地区)，B＝“感染此病”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，∴P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，∴P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.由全概率公式得(1)P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝.(2)P(A2|B)＝＝.11．设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝＋＋＋＝.12．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为第k箱，k＝1,2,3分别表示英语书，数学书，语文书．由全概率公式，得P(A)＝(Bk)P(A|Bk)＝·＋·＋·＝＝.13．若从数字1,2,3,4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　设事件Ai表示取出数字i，i＝1,2,3,4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，事件B表示取到y＝2，则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝，∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×＝.14．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，则(1)先取出的零件是一等品的概率为________；(2)两次取出的零件均为一等品的概率约为________．答案　(1)　(2)0.22解析　设Ai＝“任取的一箱为第i箱零件”，i＝1,2,3，Bj＝“第j次取到的是一等品”，j＝1,2，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝.P(B1|A1)＝＝0.4，P(B1|A2)＝＝0.4，P(B1|A3)＝＝0.6，由全概率公式得P(B1)＝(Ai)P(B1|Ai)＝×(0.4＋0.4＋0.6)＝.(2)因为P(B1B2|A1)＝≈0.155 1，P(B1B2|A2)＝≈0.151 7，P(B1B2|A3)＝≈0.353 8.由全概率公式得P(B1B2)＝(Ai)P(B1B2|Ai)≈(0.155 1＋0.151 7＋0.353 8)≈0.22.15．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.(1)P2的值为________；(2)若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为________．答案　(1)　(2)Pn＝－Pn－1＋解析　(1)P2＝×＋×＝.(2)Pn＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝－×Pn－1＋.16．玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购买该箱玻璃杯，否则退回．求顾客买下该箱玻璃杯的概率．解　设Ai＝“该箱玻璃杯有i个次品(i＝0,1,2)”，B＝“顾客买下该箱玻璃杯”，则Ω＝A0∪A1∪A2，且A0，A1，A2两两互斥，由题意知，P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1，P(B|A0)＝1，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝.∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.8×1＋0.1×＋0.1×＝.