高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第6章 6.2.2 排列数（含解析）

6.2.2　排列数

学习目标　1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题．

知识点一　排列数的定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．

思考　排列与排列数相同吗？

答案　排列数是元素排列的个数，两者显然不同．

知识点二　排列数公式及全排列

1．排列数公式的两种形式

(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.

(2)A＝.

2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.

1．A＝________.

答案　6

2．A＝132，则n＝________.

答案　12

3．A＝20，则x＝________.

答案　2

4．甲、乙、丙三人站成一排，共有________种不同站队方式．(用排列数表示)

答案　A

5.＝________.

答案　

一、排列数公式的应用

命题角度1　利用排列数公式求值

例1－1　计算：A和A.

解　A＝15×14×13＝2 730，

A＝6×5×4×3×2×1＝720.

命题角度2　利用排列数公式化简

例1－2　(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；

(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)．

解　(1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，

∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.

(2)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)＝A.

命题角度3　利用排列数公式证明

例1－3　求证：A－A＝mA.

证明　∵A－A＝－

＝·＝·

＝m·＝mA，

∴A－A＝mA.

反思感悟　排列数公式的选择

(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．

(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．

跟踪训练1　不等式A<6A的解集为(　　)

A．[2,8]  B．[2,6]  C．(7,12)  D．{8}

答案　D

解析　由A<6A，得<6×，

化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，①

又所以2≤x≤8，②

由①②及x∈N*，得x＝8.

二、排队问题

命题角度1　“相邻”与“不相邻”问题

例2－1　3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)男、女各站在一起；

(2)男生必须排在一起；

(3)男生不能排在一起；

(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．

解　(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，

女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，

全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，

由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排法．

(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，

故有A·A＝720(种)不同的排法．

(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法．

(4)先排男生有A种排法，让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法．

命题角度2　定序问题

例2－2　7人站成一排．

(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？

(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？

解　(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法．

(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.

故有＝840(种)不同的排法．

命题角度3　元素的“在”与“不在”问题

例2－3　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．

(1)甲不在首位的排法有多少种？

(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？

(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？

(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？

解　(1)方法一　把元素作为研究对象．

第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法．

第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法．

由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160(种)排法．

方法二　把位置作为研究对象．

第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法；

第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法．

由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160(种)排法．

方法三　(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．

不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)．

(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．

第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法；

第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法．

根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800(种)方法．

(3)把位置作为研究对象．

第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法；

第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法．

根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)方法．

(4)间接法．

总的可能情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法．

反思感悟　排队问题的解题策略

排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．

(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．

(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．

(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．

(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决．

跟踪训练2　三个女生和五个男生排成一排．

(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

解　(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A种不同的排法．因此共有A·A＝4 320(种)不同的排法．

(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同的排法．

(3)方法一　(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法．

方法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14 400(种)不同的排法．

方法三　(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法．

(4)方法一　(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法，因此共有A·A＋A·A·A＝36 000(种)不同的排法．

方法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A·A种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36 000(种)不同的排法．

1．A等于(　　)

A．9×3   B．93

C．9×8×7   D．9×8×7×6×5×4×3

答案　C

2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　)

A．A  B．A  C．A  D．A

答案　C

解析　89×90×91×92×…×100＝＝＝A.

3．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为(　　)

A．144  B．72  C．36  D．12

答案　A

解析　先将老师排好，有A种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有A种排法，故共有AA＝144(种)排法．

4.＝________.

答案　36

解析　＝＝36.

5．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．

答案　210

解析　若1,3,5,7的顺序不定，则4个数字有A＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×A＝210(个)七位数符合条件．

1．知识清单：

(1)排列数、排列数公式．

(2)全排列、阶乘、0！＝1.

(3)排列数的应用：排队问题(相邻、不相邻、定序等问题)．

2．方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法．

3．常见误区：忽视A中“n，m∈N*”这个条件．

1．设m∈N*，且m<15，则A等于(　　)

A．(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)(25－m)

B．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)

C．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)

D．(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)

答案　C

解析　A是指从20－m开始依次小1的连续的6个数相乘，即(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)·(15－m)．

2．已知A－A＝10，则n的值为(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

答案　B

解析　由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.

3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有(　　)

A．A种   B．A种

C．AA种   D．2A种

答案　C

解析　司机、售票员各有A种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有AA种不同的分配方法．

4．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　)

A．20  B．16  C．10  D．6

答案　B

解析　不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16(种)选法．

5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)

A．3×3!  B．3×(3！)3  C．(3！)4  D．9!

答案　C

解析　利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.故选C.

6．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)

答案　1 560

解析　根据题意，得A＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．

7．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．

答案　3 600

解析　不同排法的种数为AA＝3 600.

8．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)

答案　36

解析　文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．

9．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？

(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；

(2)2个唱歌节目互不相邻；

(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．

解　(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440(种)排法．

(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30 240(种)排法．

(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列，共有A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有A·A·A＝2 880(种)排法．

10．用0,1,2,3,4五个数字：

(1)可组成多少个五位数？

(2)可组成多少个无重复数字的五位数？

(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数？

(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？

解　(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)符合要求的数．

(2)方法一　先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种方法，其余四个位置四个数字共有A种方法，故共有A·A＝96(个)符合要求的数．

方法二　先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有A种方法，其余四个数字全排有A种方法，故共有A·A＝96(个)符合要求的数．

(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：

①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A种方法，再填其余位有A种方法，故有2×A·A种方法．

②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2，然后进行全排，有2×A种方法，

所以共有2×A·A＋2×A＝8＋12＝20(个)符合要求的数．

(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位，有A种方法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种方法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A，

故共有A·A·A＝36(个)符合要求的数．

11．(多选)下列各式中与排列数A相等的是(　　)

A.   B．n(n－1)(n－2)…(n－m)

C.   D．A·A

答案　AD

解析　∵A＝，

而A·A＝n·＝，

∴A＝A·A.故选AD.

12．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)

A．9  B．10  C．18  D．20

答案　C

解析　首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A＝20(种)排法，

因为＝，＝，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18.

13．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)

答案　60

解析　将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60(种)．

14．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．

答案　15

解析　将三面旗看作3个元素，“表示的信号”则是表示的3个元素中每次取出1个、2个或3个元素排列起来，分三类完成：第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法．

根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．

15．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有________种．

答案　1 008

解析　由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有AA＝1 440(种)，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有AA＝48(种)．

因此，满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．

16．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？

解　由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，所以A－A＝62，

即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，

所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，

因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，

所以

解得m＝2，n＝15，

故原有15个车站，现有17个车站．