高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第1章 再练一课(范围：1.4.1)(含解析)

再练一课(范围：1.4.1)

1．若平面α与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，则平面α与β的位置关系是(　　)

A．平行   B．垂直

C．相交不垂直   D．无法判断

答案　A

解析　∵a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，

∴a＋b＝0，

由此可得a∥b，

∴平面α与β的法向量平行，可得平面α与β互相平行．

2．已知直线l的方向向量a＝(－1,2,4)，平面α的法向量b＝(－2,4,8)，则直线l与平面α的位置关系是(　　)

A．l∥α   B．l⊥α

C．l⊂α   D．l∈α

答案　B

解析　∵b＝2a，∴则b与a共线，可得，l⊥α.

3．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)

A．相交   B．平行

C．在平面内   D．平行或在平面内

答案　D

解析　∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．

4．(多选)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为(　　)

A．(1,1,1)   B.

C.   D.

答案　AD

解析　设D(x，y，z)，

则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)，

＝(－1,1,0)，＝(0，－1,1)．

又DB⊥AC⇔－x＋z＝0，①

DC⊥AB⇔－x＋y＝0，②

AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2，③

联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1,1,1)或.故选AD.

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　)

A．重合   B．垂直

C．平行   D．无法确定

答案　B

解析　＝＋＋，＝＋＝－(＋)．

设正方体的棱长为1，于是·＝(＋＋)·

＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直．

6.如图，在正三棱锥S－ABC中，点O是△ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________．

答案　　

解析　由题意知SO⊥平面ABC，BC⊥平面SAD.

因此平面ABC的一个法向量可以是，平面SAD的一个法向量可以是.

7．若a＝(2x，1,3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.

答案　　－

解析　由题意得＝＝，

∴x＝，y＝－.

8．已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．

答案　

解析　设M(x，y，z)，∵＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)， ＝(x－1，y－2，z＋3)，

由题意，得

∴x＝－，y＝，z＝1，

∴点M的坐标为.

9．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．

求证：AB1⊥平面A1BD.

证明　如图所示，取BC的中点O，连接AO.

因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，

则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2，0)．

所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．

因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.

·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.

所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.

又因为BA1∩BD＝B，BA1，BD⊂平面A1BD，

所以AB1⊥平面A1BD.

10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：

(1)MN∥平面CC1D1D；

(2)平面MNP∥平面CC1D1D.

证明　(1)以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．

由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．

由于＝(0,1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.

又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.

(2)方法一　由于＝(0,2,0)，＝(0,2,0)，所以∥，

即MP∥DC.

由于MP⊄平面CC1D1D，DC⊂平面CC1D1D，

所以MP∥平面CC1D1D.

又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，MN，MP⊂平面CC1D1D，

所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D.

方法二　＝(0,1，－1)，＝(0,2,0)，

设平面MNP的法向量为n＝(x，y，z)，

则

所以取n＝(1,0,0)，

因为＝2n，

所以DA∥n，

所以平面MNP∥CC1D1D.

11．已知＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为(　　)

A．AB⊥α   B．AB⊂α

C．AB与α相交但不垂直   D．AB∥α

答案　D

解析　因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，

所以n⊥.

又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，

所以AB∥α.

12.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点，则CD与AE的位置关系________．

答案　垂直

解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1，，0)，D，P(0,0,2)，E，

所以＝，＝，

所以·＝－1×＋×＋0×1＝0，

所以CD⊥AE.

13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．

答案　

解析　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，

设||＝a，||＝b，点P坐标为(0,0，b)，

则B1(a，0,1)，D(0,1,0)，E，

＝(a，0,1)，＝，

＝(0，－1，b)，

∵DP∥平面B1AE，

∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ，

即(0，－1，b)＝λ(a，0,1)＋μ

＝，

∴

∴b＝λ＝，即AP＝.

14.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.

答案　a或2a

解析　建立空间直角坐标系，如图所示，

依题意得B1(0,0,3a)，D，C(0，a，0)．

＝，

设E(a，0，z)(0≤z≤3a)，

则＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a)．

·＝0，

要使CE⊥平面B1DE，即B1E⊥CE，

得·＝2a2－0＋z2－3az＝0，

解得z＝a或2a.

15.如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a＝________.

答案　2

解析　如图，建立空间直角坐标系Axyz，

则D(0，a，0)，

设Q(1，x，0)(0≤x≤a)，P(0,0，z)，

则＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x，0)，

由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0，

由题意知方程x2－ax＋1＝0只有一解．

∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]，满足题意．

16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.

(1)求证：CD⊥平面PAC；

(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．

(1)证明　因为∠PAD＝90°，

所以PA⊥AD.

又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，

所以PA⊥底面ABCD.

又因为∠BAD＝90°，

所以AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．

(1)＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，

可得·＝0，·＝0，

所以AP⊥CD，AC⊥CD.

又因为AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，

所以CD⊥平面PAC.

(2)解　设侧棱PA的中点是E，则E，＝.

设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则

因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，所以取x＝1，则y＝1，z＝2，

所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．

所以n·＝(1,1,2)·＝0，所以n⊥.

因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD.

综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.