第1章 勾股定理 北师大版数学八年级上册单元闯关双测B卷(含答案)

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第一章 勾股定理（测能力）——2022-2023学年北师大版数学八年级上册单元闯关双测卷 【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.李老师想用三根木条做一个直角三角尺作为教具，以下四组木条中，哪一组的三根木条能够刚好做成？(   )A.、、 B.5、12、13 C.4、5、6 D.1、2、32.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE和EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是(   )A.  B.C. D.3.如图，有一长方形空地ABCD，如果米，米，那么要从A走到C，至少要走(   )A.6米 B.8米 C.10米 D.14米4.如果正整数a，b，c满足等式，那么正整数a，b，c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为(   )A.47 B.62 C.79 D.985.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(   )A.52 B.42 C.76 D.726.如图，分别以直角的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，若，，则(   )A.9 B.5 C.45 D.537.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知米，米，他们踩坏了______米的草坪，只为少走________米路(   )A.20，50 B.50，20 C.20，30 D.30，208.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺寸），则AB的长是(   )A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸9.将一根24cm长的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在水里的长度为h cm，则h的取值范围是(   )A. B. C. D.10.如图，一架梯子25米，斜靠在一面垂直于地面的墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了(   )A.4米 B.6米 C.8米 D.10米二、填空题（每小题4分，共20分）11.已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为_________.12.图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是______________dm.13.如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的周长为________.14.若一个三角形的三边长分别是12,16和20，则这个三角形最长边上的高是___________.15.如图，在一款名为超级玛丽的游戏中，马里奥到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度__________.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）如图，E为AB的中点，于点E，，，，求证：.17.（8分）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打贏疫情防控阻击战的坚定决心.如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶.（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？18.（10分）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三部分，若以AM，MN，NB这三个部分为边的三角形是一个直角三角形，则称M，N是线段AB的勾股分割点.（1）若，，，则M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.（2）已知M，N是线段AB的勾股分割点，且线段AM为直角边.若，，求线段BN的长.19.（10分）某市进行老城区道路改造，原来从小明家A地到商场F地需要沿着连续多次直角拐弯行进，造成出行困难（行走各段路程数据如图所示），道路改造后可从小明家A地直达商场F地.求从小明家到商场的路程比原来缩短了多少米.20.（12分）阅读理解：【问题惰境】小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图（1），利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：.化简证得勾股定理.【初步运用】（1）如图（1），若，则小正方形面积：大正方形面积=____________.（2）现将图（1）中上方的两直角三角形向内折叠，如图（2），若，，此时空白部分的面积为__________.【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图（3）的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a，b，c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程.知识补充：如图（4），含60°的直角三角形，对边y：斜边定值k.21.（12分）如图，在中，，，P是内一点，且，，，求的大小.
答案以及解析1.答案：B解析：A.，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B.，能构成直角三角形，故此选项符合题意；C.，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D.，不能构成三角形，故此选项不符合题意.故选B.2.答案：D解析：从整体看，可按梯形的面积公式计算梯形的面积；从部分看，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，故选D.3.答案：C解析：由四边形ABCD是长方形可得，米，如图，连接AC，，米.要从A走到C，至少要走10米.故选C.4.答案：C解析：由题可得，，，…，，，，当时，，，，，故选C.5.答案：C解析：设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则，.“数学风车”外围的周长是.故选C.6.答案：A解析：在中，，，，，.，，.故选A.7.答案：B解析：在中，米，米，，米，（米），他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米路.故选B.8.答案：C解析：由题知AB的中点为O，过D作于E，如图所示.由题意得，寸，寸，设寸，则寸，寸，在中，，即，解得，，寸，故选C.9.答案：C解析：当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没在水中的长度最短，为8 cm；AD是筷子，AB长是杯子底面直径，BC长是杯子高，当筷子如下图斜放于杯中时，浸没在水中的部分最长.由题意得cm，cm，是直角三角形.在中，根据勾股定理，得cm，.故选C.10.答案：C解析：如图，由题意知米，米，米，在直角中，，米，（米），在直角中，，米，米.故选C.11.答案：等腰直角三角形解析：因为，所以，，即，，所以的形状为等腰直角三角形.12.答案：25解析：如图所示.三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为，蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长.设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为x，由勾股定理得，解得.故蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm.故答案为25.13.答案：24解析：∵直角三角形的三边长为三个连续的偶数,∴可设最小的直角边长为x,则另一直角边长为,斜边长为.根据勾股定理得,解得(不合题意,舍去),周长为6+8+10=24.故答案是24.14.答案：解析：因为，所以此三角形为直角三角形，且20为直角三角形的斜边长.设这个三角形最长边上的高是h，根据三角形的面积公式，得，解得.15.答案：2米解析：如图，作，，，，在和中，，，，，即（m），m.（m），m，m，m，易知m，又m，（m）.马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米.16.答案：证明：E为AB的中点，于点E，，，，又，，，.17.答案：（1）村庄A能听到宣传，理由：村庄A到公路MN的距离AB为800米米，村庄A能听到宣传.（2）如图，假设当宣讲车行驶到P点时，村庄A开始听到宣传，行驶到Q点时，村庄A听不到宣传，则米，又米，，米，米，村庄A总共听到宣传的时间为分钟，村庄A总共能听到4分钟的宣传.18.答案：解：（1）M，N是线段AB的勾股分割点.理由如下：因为，，所以，所以以线段AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，所以M，N是线段AB的勾股分割点.（2）设，则.分两种情况讨论：①当MN为最长线段时，依题意，得，即，解得；②当BN为最长线段时，依题意，得，即，解得.综上所述，线段BN的长为8或10.19.答案：如图所示，过点A作于H，则在中，（米），（米），由勾股定理得米，故改造后小明家与商场的距离为100米，改造前小明家与商场的距离为（米），缩短距离：（米）.答：从小明家到商场的路程比原来缩短了80米.解析：20.答案：【初步运用】（1）由题意得，，，小正方形面积：大正方形面积.故答案为.（2）空白部分的面积为.故答案为28.【迁移运用】结论：.推导过程如下：由题意得大等边三角形面积=三个全等三角形面积+小等边三角形面积，即，，.21.答案：如答图，过点C作，并截取，连接BE，PE，则，所以.因为，，所以，所以.在中，由，，得，且.在中，，所以为直角三角形，且，所以.