(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第5篇球02（含解析）

  高考数学选填题专项测试02（球）

第I卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（·海南高三）四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且，，，则球O的表面积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】 A   

【解析】

【分析】①根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，②利用补图法可得该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解.

【详解】因为AB，AC，AD两两垂直，且，，，所以四面体ABCD的体积，该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，直径为该长方体的体对角线长，球O的表面积为.故答案为：①1，②

【点睛】此题考查求锥体体积，解决几何体的外接球问题，需要积累常见几何体外接球半径的求解方法，以便于解题中能够事半功倍.

2．（2018·黑龙江高三期末）在直三棱柱中，底面为斜边长为2的直角三角形，顶点，，，，，都在球的球面上，若球的表面积为，则三棱柱体积的最大值为（  ）

A．4 B．3 C．1 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】设，，，可得，设球的半径为，可求得，进而求得，由此得出答案．

【详解】不妨设，，，有，可得，当且仅当“”时取等号，设球的半径为，则，故，又，，三棱锥的体积为．故答案为：2．

【点睛】本题考查球的表面积及三棱锥的体积求法，考查基本不等式的运用，属于基础题．

3．（·广东高三期末）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】三棱锥是正三棱锥，取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为，可求出，然后由可求出半径，进而求出外接球的体积.

【详解】由题意，易知三棱锥是正三棱锥，

取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心.

因为，所以.因为，所以.设三棱锥外接球的半径为，则，解得，故三棱锥外接球的体积是.故选B.

【点睛】本题考查了三棱锥的外接球体积的求法，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.

4. （·广西师大附属外国语学校高三）在平面四边形ABCD中，ΔBCD是边长为2的等边三角形，ΔBAD为等腰三角形，且∠BAD=，以BD为折痕，将四边形折成一个的二面角，并且这个二面角的顶点A，B，C，D在同一个球面上，则这个球的球面面积为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

【分析】作出折叠后的几何图形，结合几何关系求出半径即可得到球的表面积.

【详解】

折成的立体图形如图所示，O为球心，E为BD的中点，∠CEH=，CE=，所以由得，所以，球面积为。

【点睛】此题考查求几何体的外接球，以平面图形的折叠为背景，关键在于弄清折叠过程中不变的几何量.

5．（·山西大同一中高三月考）已知等边的边长为，分别为的中点，将沿折起得到四棱锥．点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可确定当平面平面时，四棱锥的体积最大；根据四棱锥外接球的性质可确定球心的位置，利用勾股定理可求得球的半径及球心到平面的距离，由此可知所求最大值为.

【详解】如图，当四棱锥的体积最大时，平面平面，如图所示：

为等边三角形，，取的中点，则是等腰梯形外接圆圆心．

设是的外心，作平面，平面，则是四棱锥的外接球的球心，且，．设四棱锥的外接球半径，则，解得：.又，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为：.故选：.

【点睛】本题考查立体几何中几何体外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球的性质确定球心的位置，即球心必为过棱锥底面和侧面的外接圆圆心且垂直于底面和侧面的直线的交点的位置.

6．（·宜宾市叙州区第二中学校高三月考）在直三棱柱中，且,，设其外接球的球心为，且球的表面积为，则的面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】 B

【解析】

【分析】先计算球的半径为，确定球心为的中点，根据边角关系得到，计算面积得到答案.

【详解】球的表面积为，如图所示：为中点，连接

，故三角形的外心在中点上，故外接球的球心为的中点.在中：，故；在中：，，故，故.

【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.

7．（·安庆市第二中学高三期末）在三棱锥S﹣ABC中，AB=BC，SA=SC=AC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是(    )

A． B．2π C．π D．6π

【答案】D

【解析】

【分析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.

【详解】设是的中点，连接，由于，所以，所以是二面角S﹣AC﹣B的平面角，所以.在三角形中，由余弦定理得，所以，由于，所以两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为，则体对角线长为.设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.

故选：D

【点睛】本小题主要考查根据二面角的余弦值求边长，考查几何体外接球的有关计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

8．（·山西高三期末）在四棱锥中，底面，为正方形，//，己四棱锥与四棱锥的外接球的半径分别为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】假设正方形的边长，然后利用勾股定理计算，根据墙角模型以及直观想象，可知分别为四棱锥与四棱锥的外接球直径，最后计算可得结果.

【详解】设正方形的边长为，如图

由底面，//，所以底面，又，所以可知，根据墙角模型，将四棱锥补全是长方体，为该长方体的一条体对角线，所以四棱锥的外接球的直径为，同理四棱锥的外接球的直径为

，，所以

所以，故选：B

【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，熟悉墙角模型，可快速找到外接球的球心，属基础题.

9．（·山西高三月考）三棱锥中，底面为非钝角三角形，其中，，则三棱锥的外接球体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】由已知条件可求出的值，可得出为直角三角形，且，可得球心及球的半径，可得三棱锥的外接球体积.

【详解】因为，为非钝角三角形，故，由余弦定理得，解得，可得

故为直角三角形，其中；故，故，

此时，注意到球心即为线段AC的中点O（此时点O到的距离均为4），故所求球体的体积，故选：C.

【点睛】本题主要考查球与几何体的切、接问题，属于基础题，求出为直角三角形，且后求出球心位置与半径是解题的关键.

10．（·江西省宁都中学高三月考）在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得 ，在 及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可

【详解】设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.

因为，所以，解得.因为，所以.设，易知平面ABC，则.因为，所以，即，解得.所以球Q的半径.故选：A

【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题

11．（·四川省金堂中学校高三）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，异面直线与所成角为，点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得，∠CDO=30°，可得的长，结合可得三棱锥O-BCD外接球半径R的值，可得其表面积.

【详解】如图，过点D作,由，，且，

可得四边形为矩形，,，由，由于AB∥OD，异面直线CD与AB所成角为30°，平面,故∠CDO=30°，则，

设三棱锥O-BCD外接球半径为R，结合可将以、、为相邻三条棱补成一个长方体，可得：，该球的表面积为：.

【点睛】本题主要考查球与几何体的切、接问题，属于基础题型.

12．（·江西南昌十中高三）在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.

【详解】在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接.由，得，，由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面，平面，，

，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，三棱锥外接球的表面积为.故答案为：

【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.

第II卷（非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13. （·福建高三期末）如图1，在矩形中，分别为的中点.将四边形沿折起使得二面角的大小为120°（如图2），则_______；三棱锥的外接球表面积为_________.

【答案】       

【解析】

【分析】由二面角的定义得出二面角的平面角为，再由余弦定理求出；利用正弦定理以及线面垂直的判定定理得出其外接球的半径，最后由球的表面积公式即可得出答案.

【详解】由二面角的定义可知，二面角的平面角为，由余弦定理可得，因为，，平面，所以平面，又，则平面

的外接圆半径为，则三棱锥的外接球的半径，则三棱锥的外接球的表面积为

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了已知面面角求其他以及求球的表面积，属于中档题.

14. （·榆树市第一高级中学校高三期末）在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，AB2+4BD2=6，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是______.

【答案】.

【解析】

【分析】先证明一条侧棱垂直于底面，可得外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，再由求得外接球的半径，进而求出外接球的表面积.

【详解】因为将沿折成直二面角，，面面面，

所以面.所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，

设外接球的半径为，底面外接圆的半径为，则，在中，由题意知，所以，所以，而，所以，所以外接球的表面积为.故答案为：

【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查几何体外接球表面积的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

15. （·湖北高三期末）已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为，PA平面ABC，，，则三棱锥体积的最大值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据三棱锥的外接球的表面积可求得底面的外接圆面积,进而利用正弦定理与求得长度,再根据余弦定理与面积公式求解底面的最大值即可.

【详解】由题,设底面外接圆直径为,则因为平面且,

故.在底面中利用正弦定理有,解得.

在中用余弦定理有,化简得

,即,

根据基本不等式有,解得.故三棱锥体积.故答案为：

【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的问题,需要根据题意建立三棱锥高与底面外接圆半径以及三角形的关系,并利用基本不等式求最值.属于中档题.

16. （·湖北高三月考（理））在三棱锥S- ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=，SB=2，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C的余弦值为____．

【答案】

【解析】

【分析】证明，，得到为二面角的平面角，计算故，，得到，得到答案.

【详解】球的表面积为，故，，故.的外接圆圆心为中点，；的外接圆圆心为三角形中心，.设球心为，则平面，平面，与交于点，易知为中点，连接，，易知，，故为二面角的平面角.故，，，.，故，，故.故，.故答案为：.

【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.