(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第4篇数学文化03（含解析）

  高考数学选填题专项测试03（数学文化）

第I卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（·安徽六安一中高三）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：

3.1415926＜＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6随机选取两位数字，整数部分3不变，那么得到的数字大于3.14的概率为               （     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】选择数字的方法有： 种，其中得到的数字不大于3.14的数字为： ，

据此可得：得到的数字大于3.14的概率为 .本题选择A选项.

点睛： 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P( )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．

2．（·重庆八中高三）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】利用古典概型概率计算方法，结合组合数的计算，计算出所求概率.

【详解】由题意，5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p.故选：B.

【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题.

3．（·吉林省实验高三）我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的，分别为（    ）

A．30，8900 B．31，9200 C．32，9500 D．33，9800

【答案】D

【解析】

【分析】根据算法的功能，可知输出的，是方程组的解，解方程即可.

【详解】根据算法的功能，可知输出的，是方程组的解，解此方程可得

【点睛】本题考查程序框图，考查运算求解能力，属于基础题.

4．（·湖北高三）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.

【详解】所有的情况数有：种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：

，共种，

所以目标事件的概率.故选：C.

【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.

5．（·河南鹤壁高中高三）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋元时期数学家朱世杰在（四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为（    ）

A．55 B．220 C．285 D．385

【答案】B

【解析】

【分析】根据“三角形数”的特征可得通项公式，计算其前项和，再将10代入即可得结果.

【详解】“三角形数”的通项公式，前项和公式为：，当时，.故选：B.

【点睛】本题主要考查以数学文化为背景，考查数列知识及运算能力，求出是解题的关键，属于中档题.

6．（·河南鹤壁高中高三）用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设为某某”.如图2所示的天元式表示方程，其中，，…，，表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.

试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果.

【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为.故选：C.

【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.

7．（·全国高三月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（    ）

A．96里 B．72里 C．48里 D．24里

【答案】B

【解析】

【分析】人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，计算，代入得到答案.

【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，

则，解得，从而可得，故.故选：.

【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

8．（·安徽六安一中高三）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926＜＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（    ）

A．2280 B．2120 C．1440 D．720

【答案】A

【解析】

【分析】整体上用间接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6这7位数字随机排列的种数，注意里面有两个1，多了 倍，要除去，再减去小于3.14的种数，小于3.14的数只有小数点前两位为11或12，其他全排列.

【详解】由于1，4，1，5，9，2，6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有，故得到的数字大于3.14的不同情况有.故选：A

【点睛】本题主要考查数字的排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

9．（·安徽高三）在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：，其中，，，例如：，，，.试用上述公式估计的近似值为（精确到0.001）（    ）

A．1.601 B．1.642 C．1.648 D．1.647

【答案】C

【解析】

【分析】根据泰勒级数公式，令，代入即可求解.

【详解】由题意，只需要精确到0.001即可，令，代入可得，

，所以的近似值为1.648，

【点睛】本题考查了新定义的简单应用，理解题意并正确则合适的值即可，属于基础题.

10．（·安徽高三）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二.问物几何?”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：求正整数，使除以3余2，除以5余2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的所有正整数数列、，满足被3除余2，，满足被5除余2，，把数列与相同的项从小到大组成一个新数列，记为，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意先求得数列、、的通项公式，即可比较各选项判断是否正确.

【详解】由条件可知，，，

对于A，，所以A错误；对于B，，所以B错误；对于C，，所以C正确；对于D，，所以D错误；故选：C.

【点睛】本题考查了等差数列在实际问题中的应用，属于基础题.

11．（·湖北高三）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：

①曲线有四条对称轴；②曲线上的点到原点的最大距离为；

③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；

④四叶草面积小于.其中，所有正确结论的序号是（  ）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④

【答案】C

【解析】

【分析】

①利用之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于.

【详解】

①：当变为时， 不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

综上可知：有四条对称轴，故正确；

②：因为，所以，所以，所以，取等号时，所以最大距离为，故错误；

③：设任意一点，所以围成的矩形面积为，因为，所以，所以，取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确；

④：由②可知，所以四叶草包含在圆的内部，因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确.故选：C.

【点睛】本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中去分析证明.

12．（·河北高三（理））2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为（）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意分别求出事件A：检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B：检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.

【详解】设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”,事件B：检测6个人确定为“感染高危户”,

∴,.即

设,则

∴

当且仅当即时取等号,即.故选：A．

【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.

第II卷（非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13. （·河北高三）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序.

【答案】32

【解析】

【分析】按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出.

【详解】①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有种；

②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；

③若“角”在第二个或第四个位置上,则有种；综上，共有种.故答案为：32．

【点睛】本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题.

14. （·河南高三）将一块正方形纸片先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为的四棱锥模型，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则正方形纸片的边长为______.

【答案】6

【解析】

【分析】正三角形的边长为，根据四棱锥的体积公式，可以求出正三角形的边长，设正方形纸片的边长为，又四棱锥的斜高为，根据折叠中的不变性进行求解即可.

【详解】四棱锥正视图为正三角形，设正三角形的边长为，其高为，即四棱锥的高为，

则，，设正方形纸片的边长为，又四棱锥的斜高为，由已知折叠过程可得，，则，.故答案为：6.

【点睛】本题考查了四棱锥的体积公式，考查了图形折叠的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.

15. （·江苏海安高级中学高三）公元五世纪张丘建所著张丘建算经卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月天共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺匹丈，1丈尺

【答案】

【解析】

分析：设该女子织布每天增加尺，由等差数列前项和公式求出即可.

详解：设该女子织布每天增加尺，由题意知，尺，尺，又由等差数列前项和公式得，解得尺，故答案为

点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.

16. （·湖北高三）“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数经过7次运算后首次得到1，则的所有不同取值的集合为____________.

【答案】

【解析】

【分析】由题,设第7次的运算结果为,分别讨论第6次为奇数和偶数的情况,即可推导第6次的结果,依次类推,经过7次运算后得到所求,求解过程中需注意,正整数经过7次运算后首次得到1,则运算过程中出现非正整数及1均不符合条件.

【详解】由题,由正整数经过7次运算后首次得到1,即可设第7次的运算结果为,若第6次为奇数,则,解得,不符合；若第6次为偶数,则,解得；若第5次为奇数,则,解得,不符合；若第5次为偶数,则,解得；若第4次为奇数,则,解得,不符合；若第4次为偶数,则,解得；若第3次为奇数,则,解得,不符合；

若第3次为偶数,则,解得；若第2次为奇数,则,解得①；若第2次为偶数,则,解得②；第1次为奇数,则①,解得,不符合；②,解得,不符合；第1次为偶数,则①,解得③；②,解得④；

若为奇数,则③,解得；④,解得；若为偶数,则③,解得；④,解得.综上,的所有不同取值的集合为,故答案为:

【点睛】本题考查合情推理,考查理解分析能力与分类讨论思想.