2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练58 绝对值不等式

课时规范练58　绝对值不等式

基础巩固组

1.设函数f(x)=|x-a|+|x-4|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)<7的解集;

(2)若∃x0∈R,f(x0)<|a+3|,求a的取值范围.

2.(2020全国Ⅱ,文23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;

(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.

3.已知函数f(x)=|2x+1|-|2x-3|.

(1)在如图所示的网格图中画出函数f(x)的图象;

(2)若实数m满足f(2m-1)<f(2m+1),求m的取值范围.

4.(2022陕西宝鸡二模)已知函数f(x)=lg(|x-m|+|x-2|-3)(m∈R).

(1)当m=1时,求函数f(x)的定义域;

(2)若不等式f(x)≥0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

综合提升组

5.已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.

(1)求不等式f(x)≤2的解集;

(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.

6.已知函数f(x)=|2x-4|+|x+a|(a>0).

(1)若a=1,求不等式f(x)≥5的解集;

(2)若f(x)≥a2-2a+4恒成立,求实数a的取值范围.

创新应用组

7.(2022山西晋城二模)已知f(x)=|2x-2|+|x-3|.

(1)求不等式f(x)≤5的解集;

(2)若不等式f(x)≥a2-3a-|x-3|对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.

8.(2022河南郑州三模)已知函数f(x)=|3x-a|+|x+1|.

(1)若a=2,求不等式f(x)≤6x的解集;

(2)当a>时,函数f(x)的图象与直线y=a所围成图形的面积为,求实数a的值.

参考答案

课时规范练58　绝对值不等式

1.解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x-4|=

故不等式f(x)<7的解集为(-1,6).

(2)∵f(x)=|x-a|+|x-4|≥|(x-a)-(x-4)|=|a-4|,当且仅当(x-a)(x-4)≤0时,等号成立.

∴|a-4|<|a+3|,则a2-8a+16<a2+6a+9,解得a>.

故a的取值范围为,+∞.

2.解(1)当a=2时,f(x)=

因此,不等式f(x)≥4的解集为.

(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,

故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f(x)≥4.

所以当a≥3或a≤-1时,f(x)≥4.

当-1<a<3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.

所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).

3.解 (1)由已知条件可得,f(x)=

作出函数图象如图所示.

(2)由(1)的图象可得,实数m满足-<2m-1<或-<2m+1<,解得-<m<.

所以实数m的取值范围为-.

4.解(1)当m=1时,f(x)=lg(|x-1|+|x-2|-3),即|x-1|+|x-2|-3>0,即等价于

解得故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(3,+∞).

(2)由f(x)≥0对于x∈R恒成立,得|x-m|+|x-2|-3≥1,即|x-m|+|x-2|≥4,

又|x-m|+|x-2|≥|m-2|,当且仅当(x-m)(x-2)≤0时,等号成立,

即|m-2|≥4,

解得m≤-2或m≥6.

故实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).

5.解 (1)由f(x)≤2,得

解得0≤x≤5,故不等式f(x)≤2的解集为[0,5].

(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=

作出函数f(x)的图象,如图所示,

直线y=kx-2过定点C(0,-2),

当此直线经过点B(4,0)时,k=;当此直线与直线AD平行时,k=-2,故由图可知k∈(-∞,-2)∪,+∞.

6.解 (1)若a=1,不等式f(x)≥5即为|2x-4|+|x+1|≥5,

等价为

或

或

解得x≤-1或-1<x≤0或x≥,所以原不等式的解集为(-∞,0]∪,+∞.

(2)若f(x)≥a2-2a+4恒成立,

即为(|2x-4|+|x+a|)min≥a2-2a+4,a>0,而|2x-4|+|x+a|=|x-2|+(|x-2|+|x+a|)≥|2-2|+|x-2-x-a|=|a+2|=a+2,

当且仅当x=2时,等号成立,所以a2-2a+4≤a+2,即a2-3a+2≤0,解得1≤a≤2,即a的取值范围是[1,2].

7.解(1)当x<1时,由f(x)≤5,得2-2x+3-x≤5,解得0≤x<1;

当1≤x<3时,由f(x)≤5,得2x-2+3-x≤5,解得1≤x<3;

当x≥3时,由f(x)≤5,得2x-2+x-3≤5,解得3≤x≤.

综上,不等式f(x)≤5的解集为0,.

(2)由f(x)≥a2-3a-|x-3|,得|2x-2|+2|x-3|≥a2-3a,即|x-1|+|x-3|≥(a2-3a),

|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2,当且仅当(x-1)(x-3)≤0时,等号成立,

所以2≥(a2-3a),解得-1≤a≤4,所以实数a的取值范围为[-1,4].

8.解(1)当a=2时,f(x)=

由f(x)≤6x,得

解得x∈⌀或≤x≤或x>,

所以原不等式的解集为,+∞.

(2)f(x)=|3x-a|+|x+1|=所以f(x)的图象如图所示,

故令-2x+a+1=a,得x=,即A,a,令4x+1-a=a,得x=,即C,a.

因为B+1,

所以△ABC的面积为S=a--1=a2-a+=,解得a=2.