2021-2022学年湖北省黄石市五校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省黄石市五校联考八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 、、是某三角形三边的长，则等于

A.  B.  C.  D.

3. 下列说法正确的是

A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B. 对角线相等的平行四边形是菱形
C. 有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形

4. 设的整数部分为，小数部分为，则的值是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，中，，，，把沿直线向右平移个单位长度得到，则四边形的面积是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，、、分别是各边中点，则以下说法错误的是

A. 和的面积相等
B. 四边形是平行四边形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若，则四边形是矩形
 

8. 如图，图中有一长、宽、高分别为，，的木箱，在它里面放入一根细木条木条的粗细，变形忽略不计，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
    四边形是菱形；
    平分；
    线段的取值范围为；
    当点与点重合时，．
    以上结论中，你认为正确的有个．

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共28分）

11. 计算的结果等于______．
12. 已知，满足等式，则______．
13. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为______ ．
    
     

14. 如图，平行四边形中，、交于，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为，则的长为______．

15. 已知，，则______．
16. 如图，在四边形中，，，，，则的度数______．
    
     

17. 在矩形中，，将矩形沿某直线折叠，使点与点重合，折痕与直线交于点，且，则矩形的面积为______ ．
18. 如图，正方形中，点在边上，点在边上，若，，则下列结论：
    ；
    ；
    ；
    ；
    ；
    ：：：：；
    ：：．
    其中结论正确的序号有______．

三．解答题（本题共7小题，共62分）

19. 计算：；
    先化简，再求值，其中．
20. 如图，，，，，求阴影部分的面积．

21. 如图，点是的中点，四边形是平行四边形．
    求证：四边形是平行四边形；
    如果，求证：四边形是矩形．

22. 如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
    城是否受到这次台风的影响？为什么？
    若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？

23.  问题解决：如图，在矩形中，点，分别在，边上，，于点．
    
    求证：四边形是正方形；
    延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
    类比迁移：如图，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长．

24. 如图，在长方形中，，，点是边上的一点，、分别长、，满足动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点设运动时间为．
    ______，______；
    为何值时，把四边形的周长平分？
    另有一点从点出发，按照的路径运动，且速度为，若、两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求为何值时，的面积等于．

25. 将正方形放置在平面直角坐标系中，与原点重合，点的坐标为，点的坐标为，并且实数，使式子成立．
    直接写出点、的坐标：______，______．
    ，且交正方形外角的平分线于点．
    如图，求证；
    如图，连接交于点，作交于点，作交于点，连接，求四边形的面积．
    如图，连接正方形的对角线，若点在上，点在上，且，请直接写出的最小值______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.符合最简二次根式的意义，因此选项C符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的意义和化简方法是正确解答的前提．
 

2.【答案】

【解析】解：、、是某三角形三边的长，
，
故，


．
故选：．
直接利用三角形三边关系得出的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
B、对角线垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
C、有一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，如筝性，原命题是假命题；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
故选：．
利用正方形、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形、菱形的判定方法．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，
的整数部分为，小数部分为，
，，
，
故选：．
根据算术平方根得到，所以，于是可得到，，然后把与的值代入中计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
 

5.【答案】

【解析】解：把沿直线向右平移个单位长度得到，
，，，，
，，
四边形是矩形，
四边形的面积，
故选：．
根据平移的性质得到，，，，由勾股定理得到，根据梯形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，梯形的面积，平移的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较典型，但难度不大．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得 根据菱形的性质得 为 的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．
【解答】
解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
菱形 的面积 ．
故选 C ．   

7.【答案】

【解析】解：连接，
、、分别是各边中点，
，，
设和间的距离为，
，，
，
故本选项不符合题意；
B.、、分别是各边中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C.、、分别是各边中点，
，，
若，则，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
故本选项符合题意；
D.四边形是平行四边形，
若，则四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可．
本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确构建直角三角形是解题关键．
直接利用勾股定理得出 ， 的长，进而得出答案．
【解答】
解：如图所示：连接 ， ，

由题意可得：在 中，
，
在 中，
，
故能放入的细木条的最大长度为： ．
故选 C ．   

9.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，
于点，于点，
四边形是矩形，
连接，则，
当时，的值最小，
，，
，
，
，
，
故选：．
由条件可知四边形是矩形，连接，则，当时，的值最小，可由求出的值即可．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形面积；熟练掌握菱形的性质，证明四边形为矩形是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：与，与都是矩形的对边、的一部分，
，，
四边形是平行四边形，
由翻折的性质得，，
四边形是菱形，故正确；
，
只有时平分，故错误；
点与点重合时，设，则，
在中，，
即，
解得，
点与点重合时，，
，
线段的取值范围为，故正确；

过点作于，
则，
由勾股定理得，
，故正确；
综上所述，结论正确的有共个．
故选：．
先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；
根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时平分，判断出错误；
点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点与点重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出正确；
过点作于，求出，再利用勾股定理列式求解得到，判断出正确．
本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于判断出最小和最大时的两种情况．
 

11.【答案】

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用平方差公式计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，
．
，，
当时，，．
，．
．
故答案为：．
根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方解决此题．
本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方是解决本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：菱形中，对角线，相交于点，
，，，
，
，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
由菱形的性质可得：，，，借助勾股定理求出，再证明是的中位线即可求解．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟记各性质是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：由作法得垂直平分，
则，
的周长为，
，
，
即，
四边形为平行四边形，
，，
，
．
故答案为：．
利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，利用等线段代换，由的周长为得到，接着利用平行四边形的性质得到，，所以，于是可求出的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作已知线段的垂直平分线也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
 

15.【答案】

【解析】解：当，时，






，
故答案为：．
对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

16.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：．
在等腰中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

17.【答案】或

【解析】解：将此长方形折叠，使点与点重合，









．
在中，．
，
解得．
或，
矩形的面积为为或．
故答案为或
根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理可以求点，然后根据矩形的面积即可求得．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的应用等，解直角三角形求得是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，过点作于．
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，，
，
，，，
≌，≌，
，，，故正确，
，
，，
，故正确，
，，
，
，
，
，
，故正确，
，
可以假设，则，，设，则，，
，

解得，
，故正确，
，故正确，
，，，
：：：：，故正确，
，
：：，故正确．
故答案为．
如图，过点作于利用角平分线的性质定理证明，再利用证明≌，≌，利用全等三角形的性质，一一判断即可得出正确，设则，，设，则，利用勾股定理求出即可判断正确．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：

；



，
当时，原式．

【解析】根据负整数指数幂、绝对值和二次根式的化简可以解答本题；
先算括号内的式子，然后计算出括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算、负整数指数幂，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：在中，，
，，
，即可判断为直角三角形，
阴影部分的面积．
答：阴影部分的面积．

【解析】先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形为直角三角形．
 

21.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，
，且．
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形；
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．

【解析】根据平行四边形的性质得到，且，根据点是的中点，得到，等量代换得，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：由点向作垂线，垂足为，
在中，，，则，
因为，所以城要受台风影响；

设上点，千米，则还有一点，有
千米．
因为，所以是等腰三角形，
因为，所以是的垂直平分线，，
在中，千米，千米，
由勾股定理得，千米，
则千米，
遭受台风影响的时间是：小时．

【解析】点到直线的线段中垂线段最短，故应由点向作垂线，垂足为，若则城不受影响，否则受影响；
点到直线的长为千米的点有两点，分别设为、，则是等腰三角形，由于，则是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；

解：是等腰三角形，
理由：由知四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
是等腰三角形；
解：延长到点，使，连接，

四边形是菱形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．

【解析】根据矩形的性质得，由等角的余角相等可得，利用可得≌，由全等三角形的性质得，即可得四边形是正方形；
根据矩形的性质得，，利用可得≌，由全等三角形的性质得，由已知可得，即可得是等腰三角形；
延长到点，使，连接，利用可得≌，由全等三角形的性质得，，由已知可得，可得是等边三角形，则，等量代换可得．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，，
，；
故答案为：，；
，，
，
，
把四边形的周长平分，
，
点在上，，
；
解：点在上，
，
；
相遇前，点在上，

；
相遇后，点在上，

；
综上所述，当或或时，的面积等于．
由非负性可求，的值；
先求出，可得，可求，即可求解；
分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了矩形的性质，非负性，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：实数，使式子成立，
，
，，
，
，；
故答案为：，；
取的中点，连接，

，
，
，
，为的中点，，
，，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
延长，并在延长线上截取，连接，

四边形是正方形，
，，
≌，
，，，
由知，
为等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
同理可得，
，
又，
设，则，
，
，
在中，，
解得，
，
．
在外角平分线上取点，使，

，
，
≌，
，
，
当，，三点共线时，值最小，即为的长，
过点作轴于点，
在中，，
的最小值为，
故答案为：．
由算术平方根的意义可得出，，则可得出答案；
取的中点，连接，证明≌，由全等三角形的性质可得出；
延长，并在延长线上截取，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，，证明≌，得出，同理可得，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案；
在外角平分线上取点，使，证明≌，得出，当，，三点共线时，值最小，即为的长，过点作轴于点，由勾股定理求出，则可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．