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福建省高考数学模拟试卷与解析(理科)
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这是一份福建省高考数学模拟试卷与解析(理科)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是≤符合题目要求的.
1．集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2x＜8}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2] B．[﹣2，3） C．[﹣4，3） D．（﹣∞，3]
2．已知i为虚数单位，若（x+2i）（x﹣i）=6+2i，则实数x的值等于（ ）
A．4 B．﹣2 C．2 D．3
3．已知满足线性相关关系的两个变量x，y的取值如表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若回归直线方程为，则a=（ ）
A．3.2 B．2.6 C．2.8 D．2.0
4．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是3x+2y=0，则它的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
5．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是（ ）
A．k≥﹣3 B．k≥﹣2 C．k＜﹣3 D．k≤﹣3
6．数列{an}中，记数列的前n项和为Tn，则T8的值为（ ）
A．57 B．77 C．100 D．126
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．4 D．3
8．设Ω为不等式组（m＞0）表示的平面区域．若Ω的面积为9，则m=（ ）
A．8 B．6 C．4 D．1
9．已知正实数m，若x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，其中a8=180，则m值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
10．已知球O的一个内接三棱锥P﹣ABC，其中△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（ ）
A．y2=4x B．y2=8x C．y2=16x D．
12．已知x＞0，y＞0，且4x++y+=26，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．函数的值域是 ．
14．在1和16之间插入n﹣2（n≥3）个实数，使这n个实数构成递增的等比数列，若记这n个实数的积为bn，则b3+b4+…+bn= ．
15．曲线的对称中心坐标为 ．
16．在△AOB中，OA=1，OB=2，∠AOB=120°，MN是过点O的一条线段，且OM=ON=3，若R），则的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC=sinA．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值时角A，C的值．
18．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E、F分别在CD、AB上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．现将矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF与平面EFBC垂直（如图2）．
（Ⅰ）求证：CD∥面ABF；
（Ⅱ）当AF的长为何值时，二面角A﹣BC﹣F的大小为30°．
19．某研究性学习小组为了解学生每周用于体育锻炼时间的情况，在甲、乙两所学校随机抽取了各50名学生，做问卷调查，并作出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）根据直方图计算：两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数；
（Ⅱ）在这100名学生中，要从每周用于体育锻炼时间不低于10小时的学生中选出3人，该3人中来自乙学校的学生数记为X，求X的分布列和数学期望．
20．已知点在椭圆上，过椭圆C的右焦点F且垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若MN是过椭圆C的右焦点F的动弦（非长轴），点T为椭圆C的左顶点，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2．问k1k2是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由．
21．设函数f（x）=ln（1+x）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=g（x），当x≥0时，f（x）≤，求t的最小值；
（Ⅱ）当n∈N*时，证明：．
四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知D点在⊙O直径BC的延长线上，DA切⊙O于A点，DE是∠ADB的平分线，交AC于F点，交AB于E点．
（Ⅰ）求∠AEF的度数；
（Ⅱ）若AB=AD，求的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过定点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，若直线l和曲线C相交于M、N两点．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，其中a为实常数．
（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，不等式|x﹣2|≥f（x）恒成立，求a的取值范围．
福建省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是≤符合题目要求的.
1．集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2x＜8}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2] B．[﹣2，3） C．[﹣4，3） D．（﹣∞，3]
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出集合A，B，取交集即可．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}={x|﹣2≤x≤4}，
B={x|2x＜8}={x|x＜3}，
则A∩B=[﹣2，3）．
2．已知i为虚数单位，若（x+2i）（x﹣i）=6+2i，则实数x的值等于（ ）
A．4 B．﹣2 C．2 D．3
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：（x+2i）（x﹣i）=6+2i，
∴x2+2+xi=6+2i，
∴，解得x=2．
故选：C．
3．已知满足线性相关关系的两个变量x，y的取值如表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若回归直线方程为，则a=（ ）
A．3.2 B．2.6 C．2.8 D．2.0
【考点】线性回归方程．
【分析】求出数据中心，代入回归方程解出a．
【解答】解：， =4.5．
∴4.5=0.95×2+a，解得a=2.6．
故选：B．
4．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是3x+2y=0，则它的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线的渐近线方程是3x+2y=0可知=，由此可以求出该双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线的渐近线方程是3x+2y=0，
∴=，
设a=2k，b=3k，则c=k，∴e==．
故选：C．
5．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是（ ）
A．k≥﹣3 B．k≥﹣2 C．k＜﹣3 D．k≤﹣3
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行结果，分析不满足输出条件继续循环和满足输出条件退出循环时，变量k值所要满足的要求，可得答案．
【解答】解：当k=1时，S=﹣2，k=0不满足输出条件；
当k=0时，S=﹣2，k=﹣1，不满足输出条件；
当k=﹣1时，S=0，k=﹣2，不满足输出条件；
当k=﹣2时，S=4，k=﹣3，不满足输出条件；
当k=﹣3时，S=10，k=﹣4，满足输出条件，；
分析四个答案后，只有A满足上述要求
故选A
6．数列{an}中，记数列的前n项和为Tn，则T8的值为（ ）
A．57 B．77 C．100 D．126
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】通过对an+1=两边同时取倒数，整理可知数列{}是首项为2、公差为3的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．
【解答】解：∵an+1=，
∴==+3，
又∵=2，
∴数列{}是首项为2、公差为3的等差数列，
∴T8=2×8+×3=100，
故选：C．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．4 D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】两条三视图判断几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图知，几何体的形状如图，底面是边长为2的正方形，PA垂直底面，PA=2，ED垂直底面，DE=1，
几何体的体积为：VP﹣ABCD+VP﹣CDE=+=．
故选：A．
8．设Ω为不等式组（m＞0）表示的平面区域．若Ω的面积为9，则m=（ ）
A．8 B．6 C．4 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域的面积确定a的取值．
【解答】解坐标不等式对应的平面区域如图（阴影部分），
由图象可知A（﹣2，2），B（m，m+4），C（m，﹣m），此时三角形ABC的面积为×（m+2）|×（2m+4）=9，
所以要使阴影部分的面积为9，则m＞0．解得，m=1．
故选：D．
9．已知正实数m，若x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，其中a8=180，则m值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据题意，x10=[m﹣（m﹣x）]10，利用二项式展开式定理求出展开式的第8项系数，列出方程求出m的值．
【解答】解：∵x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，
且x10=[m﹣（m﹣x）]10
=•m10﹣•m9•（m﹣x）+•m8•（m﹣x）2﹣…+•m2•（m﹣x）8﹣•m•（m﹣x）9+•（m﹣x）10
=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a10（x﹣1）10，
∴a8=m2=180，
即45m2=180，
解得m=2或m=﹣2（不合题意，舍去），
∴m的值为2．
故选：B．
10．已知球O的一个内接三棱锥P﹣ABC，其中△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】取△ABC的中心E，则OE⊥平面ABC，所以P到平面ABC的距离h=2OE，利用正三角形的性质和勾股定理求出OE，代入棱锥的体积公式计算．
【解答】解：设△ABC的中心为E，AB中点为D，连结OE，则OE⊥平面ABC，
∴OE⊥CE．
∵O是PC的中点，∴P到平面ABC的距离h=2OE．
由正三角形的性质可得CD=，CE==．
∴OE===．
∴h=．
∴三棱锥的体积V===．
故选B．
11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（ ）
A．y2=4x B．y2=8x C．y2=16x D．
【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．
【分析】先设抛物线的准线与x轴的交点为D，根据抛物线的性质可知|AF|=|AC|，根据F是AB的中点可知|AC|=2|FD|，|AB|=2|AF|进而得到|AF|和|AB|关于p的表达式，进而得到|BC|，最后根据=48，求得p．
【解答】解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，
故|AF|=|AC|=2|FD|=2p，
|AB|=2|AF|=2|AC|=4p，
∴∠ABC=30°，||=2p，
=4p•2p•cos30°=48，
解得p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x．
故答案为：y2=4x
12．已知x＞0，y＞0，且4x++y+=26，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【考点】基本不等式．
【分析】设4x+y=m∈（0，26）．由于x＞0，y＞0，且4x++y+=26，可得： +=26﹣m．变形为：26﹣m=（4x+y），利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设4x+y=m∈（0，26）．
∵x＞0，y＞0，且4x++y+=26，
∴+=26﹣m．
∴26﹣m=（4x+y）=≥=，当且仅当y=6x时取等号．
化为：m2﹣26m+25≤0，
解得1≤m≤25，
∴函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差=25﹣1=24．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．函数的值域是 [﹣，1] ．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域得出结论．
【解答】解：∵x∈[0，]，x﹣∈[﹣，]，
∴f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）∈[﹣，1]，
故答案为：[﹣，1]．
14．在1和16之间插入n﹣2（n≥3）个实数，使这n个实数构成递增的等比数列，若记这n个实数的积为bn，则b3+b4+…+bn= ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】求出等比数列的公比，求出bn，代入等比数列数列的求和公式．
【解答】解：设插入n﹣2个数后组成的等比数列的公比为q，则q=，
∴bn=1•q•q2•q3•…•qn﹣1=q=16=4n．
∴b3+b4+…+bn=43+44+45+…+4n=．
故答案为：．
15．曲线的对称中心坐标为 （0，3） ．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的图象即可求出．
【解答】解： =3+，
当x=0时， =0，
∴函数的对称中心为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
16．在△AOB中，OA=1，OB=2，∠AOB=120°，MN是过点O的一条线段，且OM=ON=3，若R），则的最小值为 ﹣ ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】问题转化为求的最小值，通过解三角形求出即可．
【解答】解：由题意可得•=（﹣）•（﹣）=•﹣•（+）+．
由于MN是过点O的一条线段，且OM=ON=3，
∴+=， •=﹣3×3=﹣9，
要求•最小值，问题就是求OC2的最小值，
因为C在AB线段上，如图示：
那么OC⊥AB时，||最小，
由AB2=1+4+2=7，得AB=，
∴OC2=4﹣BC2=1﹣，解得BC=，
∴OC2=，
∴则的最小值是﹣9+=﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC=sinA．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值时角A，C的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知及三角形内角和定理，两角和与差的正弦函数公式化简可得2sinAcosB=sinA，由于sinA≠0，即可解得cosB的值，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理及基本不等式可得：a2+c2﹣ac=4，且ac≤，从而可得4≥（1﹣）（a2+c2），即可解得a2+c2的最大值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵由已知及C=π﹣（A+B）可得：
sin（A﹣B）+sinC=sin（A﹣B）+sin（A+B）
=sinAcosB﹣cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB
=2sinAcosB=sinA…3分
∵A是三角形的内角，sinA≠0，
∴cosB=…4分
∴由B∈（0，π），可得B=…5分
（Ⅱ）∵由余弦定理可得：a2+c2﹣ac=4，且ac≤，…7分
∴4=a2+c2﹣ac≥（a2+c2）﹣（a2+c2）=（1﹣）（a2+c2），…9分
∴a2+c2≤=8（当且仅当a=c时，等号成立），…11分
∴当A=C=时，a2+c2的最大值是8…12分
18．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E、F分别在CD、AB上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．现将矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF与平面EFBC垂直（如图2）．
（Ⅰ）求证：CD∥面ABF；
（Ⅱ）当AF的长为何值时，二面角A﹣BC﹣F的大小为30°．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出CE∥面ABF，DE∥面ABF，由此能证明面CDE∥面ABF，从而CD∥面ABF．
（Ⅱ）过F作CB的垂线，交CB的延长线于H点，连结AH，推导出∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角，由此能求出AF的长．
【解答】证明：（Ⅰ）∵CE∥BF，CE⊄面ABF，BF⊂面ABF，
∴CE∥面ABF，
又DE∥AF，DE⊄面ABF，AF⊂面ABF，
∴DE∥面ABF，
∵DE∩CE=E，且DE、CE⊂面CDE，
∴面CDE∥面ABF，
又CD⊂面CDE，∴CD∥面ABF．
解：（Ⅱ）过F作CB的垂线，交CB的延长线于H点，连结AH，
∵面ADEF⊥面EFBC，AF⊥EF，
∴AF⊥面EFBC，CB⊂面EFBC，
∴CB⊥AF，CB⊥面AF，
∴AH⊥CH，
∴∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角，
∴∠AHF=30°，
∵BC=1，CE=2，且BE⊥BC，∴∠BCE=60°，
在直线梯形EFBC中，BF=2﹣cos60°=，
∴FH==，
在直角三角形AHF中，AF=FH．
19．某研究性学习小组为了解学生每周用于体育锻炼时间的情况，在甲、乙两所学校随机抽取了各50名学生，做问卷调查，并作出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）根据直方图计算：两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数；
（Ⅱ）在这100名学生中，要从每周用于体育锻炼时间不低于10小时的学生中选出3人，该3人中来自乙学校的学生数记为X，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数．
（Ⅱ）每周体育锻炼时间不低于10个小时的学生中，甲校有2人，乙校有4人，X的所有可能取值有1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得甲校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数为：
=0.12×5.5+0.24×6.5+0.32×7.5+0.20×8.5+0.08×9.5+0.04×10.5=7.5．
乙校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数为：
=0.08×5.5+0.24×6.5+0.28×7.5+0.24×8.5+0.08×9.5+0.08×10.5=7.74．
（Ⅱ）每周体育锻炼时间不低于10个小时的学生中，甲校有2人，乙校有4人，
X的所有可能取值有1，2，3，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列为：
X
1
2
3
P
EX=．
20．已知点在椭圆上，过椭圆C的右焦点F且垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若MN是过椭圆C的右焦点F的动弦（非长轴），点T为椭圆C的左顶点，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2．问k1k2是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）根据条件便可以得到，解出a，b便可得出椭圆C的方程为；
（Ⅱ）可设直线MN的方程为x=ty+1，带入椭圆方程并整理便可得到（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，从而由韦达定理可得到，而，这样即可求得，即得出k1k2为定值，并得出该定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，，
解得；
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）由题意知，T（﹣2，0），F（1，0），设直线MN的方程为x=ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2）；
将方程x=ty+1带入椭圆方程并化简得：
（3t2+4）y2+6ty﹣9=0；
∴；
∴
=
=
=
=；
∴k1k2为定值，定值为．
21．设函数f（x）=ln（1+x）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=g（x），当x≥0时，f（x）≤，求t的最小值；
（Ⅱ）当n∈N*时，证明：．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程，即g（x）=x．由题意可得ln（x+1）﹣≤0，x≥0恒成立．设h（x）=ln（x+1）﹣，x≥0，求出导数，求得单调区间，可得最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ln（1+x）＜，x≥0，x=0时取得等号．取x=，ln＜=+（﹣），运用对数的运算性质和累加法，及不等式的性质，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=，
f（0）=0，f′（0）=1，切线的方程为y=x，即g（x）=x，
当x≥0时，f（x）≤，即为
ln（x+1）﹣≤0，x≥0恒成立．
设h（x）=ln（x+1）﹣，x≥0，
h（x）≤0，h（1）≤0即t≥﹣1+2ln2＞0．
h′（x）=﹣==﹣，
当0＜t＜时，0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）递增，
故0＜x＜时，h（x）＞h（0）=0，与x≥0，h（x）≤h（0）=0，相矛盾，则0＜t＜不合题意．
当t=时，h′（x）=﹣＜0，h（x）在[0，+∞）递减，
故当x≥0时，h（x）≤h（0）=0，因此t的最小值为；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得ln（1+x）＜，x≥0，x=0时取得等号．
取x=，ln＜=+（﹣），
则ln＜+（﹣），（1）
ln＜+（﹣），（2）
…，ln＜+（﹣），（n）
将n个不等式相加，由对数的运算性质，可得
ln2=ln（•…）＜++…++（﹣），
则．
四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知D点在⊙O直径BC的延长线上，DA切⊙O于A点，DE是∠ADB的平分线，交AC于F点，交AB于E点．
（Ⅰ）求∠AEF的度数；
（Ⅱ）若AB=AD，求的值．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理、角平分线的性质证明∠AEF=∠AFE，由BC为⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，可得∠AFE的度数；
（Ⅱ）证明△ACD∽△BAD，根据三角形相似的性质可得=，又由AB=AD，可得AD：BD=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为AC为⊙O的切线，所以∠B=∠DAC
因为DE是∠ADB的平分线，所以∠ADE=∠EDB
所以∠B+∠EDB=∠DAC+∠ADE，即∠AEF=∠AFE，
又因为BC为⊙O的直径，所以∠BAC=90°．所以∠AEF==45°；
（Ⅱ）因为∠B=∠DAC，所以∠ADB=∠CDA，所以△ACD∽△BAD，
所以=，
又因为AB=AD，所以∠B=∠ADB=30°，
Rt△BAC中， ==tan30°=．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过定点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，若直线l和曲线C相交于M、N两点．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）根据极坐标方程，参数方程和普通坐标之间的关系进行转化求解即可，
（Ⅱ）在直角坐标系下，练习直线方程和抛物线方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解，结合等比数列的定义进行证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，
即y2=2x，
由，两式相减，消去参数t得x﹣y﹣2=0．
（Ⅱ）由得（x﹣2）2=2x，即x2﹣6x+4=0，得x=3±，
则M（3+，1+），N（3﹣，1﹣），
由两点间的距离公式得|MN|==2，
同理|PM|=5，|PN|=5﹣，
则有|MN|2=|PM||PN|，
故|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，其中a为实常数．
（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，不等式|x﹣2|≥f（x）恒成立，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，得到|a+1|=2，解出a的值即可；（Ⅱ）问题转化为|x+a|≤1，求出x的范围，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣1|+|x+a|≥|（x﹣1）﹣（x+a）|=|a+1|，
当且仅当（x﹣1）（x+a）≤0时取等号，
∴f（x）min=|a+1|，
由|a+1|=2，解得：a=1或a=﹣3；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1+|x+a|，
而|x﹣2|=﹣x+2，
由|x﹣2|≥f（x）恒成立，
得﹣x+2≥﹣x+1+|x+a|，
即|x+a|≤1，解得：﹣1﹣a≤x≤1﹣a，
由题意得[0，1]⊆[﹣1﹣a，1﹣a]，
则，即﹣1≤a≤0．
福建省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是≤符合题目要求的.
1．集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2x＜8}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2] B．[﹣2，3） C．[﹣4，3） D．（﹣∞，3]
2．已知i为虚数单位，若（x+2i）（x﹣i）=6+2i，则实数x的值等于（ ）
A．4 B．﹣2 C．2 D．3
3．已知满足线性相关关系的两个变量x，y的取值如表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若回归直线方程为，则a=（ ）
A．3.2 B．2.6 C．2.8 D．2.0
4．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是3x+2y=0，则它的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
5．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是（ ）
A．k≥﹣3 B．k≥﹣2 C．k＜﹣3 D．k≤﹣3
6．数列{an}中，记数列的前n项和为Tn，则T8的值为（ ）
A．57 B．77 C．100 D．126
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．4 D．3
8．设Ω为不等式组（m＞0）表示的平面区域．若Ω的面积为9，则m=（ ）
A．8 B．6 C．4 D．1
9．已知正实数m，若x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，其中a8=180，则m值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
10．已知球O的一个内接三棱锥P﹣ABC，其中△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（ ）
A．y2=4x B．y2=8x C．y2=16x D．
12．已知x＞0，y＞0，且4x++y+=26，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．函数的值域是 ．
14．在1和16之间插入n﹣2（n≥3）个实数，使这n个实数构成递增的等比数列，若记这n个实数的积为bn，则b3+b4+…+bn= ．
15．曲线的对称中心坐标为 ．
16．在△AOB中，OA=1，OB=2，∠AOB=120°，MN是过点O的一条线段，且OM=ON=3，若R），则的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC=sinA．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值时角A，C的值．
18．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E、F分别在CD、AB上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．现将矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF与平面EFBC垂直（如图2）．
（Ⅰ）求证：CD∥面ABF；
（Ⅱ）当AF的长为何值时，二面角A﹣BC﹣F的大小为30°．
19．某研究性学习小组为了解学生每周用于体育锻炼时间的情况，在甲、乙两所学校随机抽取了各50名学生，做问卷调查，并作出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）根据直方图计算：两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数；
（Ⅱ）在这100名学生中，要从每周用于体育锻炼时间不低于10小时的学生中选出3人，该3人中来自乙学校的学生数记为X，求X的分布列和数学期望．
20．已知点在椭圆上，过椭圆C的右焦点F且垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若MN是过椭圆C的右焦点F的动弦（非长轴），点T为椭圆C的左顶点，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2．问k1k2是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由．
21．设函数f（x）=ln（1+x）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=g（x），当x≥0时，f（x）≤，求t的最小值；
（Ⅱ）当n∈N*时，证明：．
四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知D点在⊙O直径BC的延长线上，DA切⊙O于A点，DE是∠ADB的平分线，交AC于F点，交AB于E点．
（Ⅰ）求∠AEF的度数；
（Ⅱ）若AB=AD，求的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过定点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，若直线l和曲线C相交于M、N两点．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，其中a为实常数．
（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，不等式|x﹣2|≥f（x）恒成立，求a的取值范围．
福建省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是≤符合题目要求的.
1．集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2x＜8}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2] B．[﹣2，3） C．[﹣4，3） D．（﹣∞，3]
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出集合A，B，取交集即可．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}={x|﹣2≤x≤4}，
B={x|2x＜8}={x|x＜3}，
则A∩B=[﹣2，3）．
2．已知i为虚数单位，若（x+2i）（x﹣i）=6+2i，则实数x的值等于（ ）
A．4 B．﹣2 C．2 D．3
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：（x+2i）（x﹣i）=6+2i，
∴x2+2+xi=6+2i，
∴，解得x=2．
故选：C．
3．已知满足线性相关关系的两个变量x，y的取值如表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若回归直线方程为，则a=（ ）
A．3.2 B．2.6 C．2.8 D．2.0
【考点】线性回归方程．
【分析】求出数据中心，代入回归方程解出a．
【解答】解：， =4.5．
∴4.5=0.95×2+a，解得a=2.6．
故选：B．
4．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是3x+2y=0，则它的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线的渐近线方程是3x+2y=0可知=，由此可以求出该双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线的渐近线方程是3x+2y=0，
∴=，
设a=2k，b=3k，则c=k，∴e==．
故选：C．
5．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是（ ）
A．k≥﹣3 B．k≥﹣2 C．k＜﹣3 D．k≤﹣3
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行结果，分析不满足输出条件继续循环和满足输出条件退出循环时，变量k值所要满足的要求，可得答案．
【解答】解：当k=1时，S=﹣2，k=0不满足输出条件；
当k=0时，S=﹣2，k=﹣1，不满足输出条件；
当k=﹣1时，S=0，k=﹣2，不满足输出条件；
当k=﹣2时，S=4，k=﹣3，不满足输出条件；
当k=﹣3时，S=10，k=﹣4，满足输出条件，；
分析四个答案后，只有A满足上述要求
故选A
6．数列{an}中，记数列的前n项和为Tn，则T8的值为（ ）
A．57 B．77 C．100 D．126
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】通过对an+1=两边同时取倒数，整理可知数列{}是首项为2、公差为3的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．
【解答】解：∵an+1=，
∴==+3，
又∵=2，
∴数列{}是首项为2、公差为3的等差数列，
∴T8=2×8+×3=100，
故选：C．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．4 D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】两条三视图判断几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图知，几何体的形状如图，底面是边长为2的正方形，PA垂直底面，PA=2，ED垂直底面，DE=1，
几何体的体积为：VP﹣ABCD+VP﹣CDE=+=．
故选：A．
8．设Ω为不等式组（m＞0）表示的平面区域．若Ω的面积为9，则m=（ ）
A．8 B．6 C．4 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域的面积确定a的取值．
【解答】解坐标不等式对应的平面区域如图（阴影部分），
由图象可知A（﹣2，2），B（m，m+4），C（m，﹣m），此时三角形ABC的面积为×（m+2）|×（2m+4）=9，
所以要使阴影部分的面积为9，则m＞0．解得，m=1．
故选：D．
9．已知正实数m，若x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，其中a8=180，则m值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据题意，x10=[m﹣（m﹣x）]10，利用二项式展开式定理求出展开式的第8项系数，列出方程求出m的值．
【解答】解：∵x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，
且x10=[m﹣（m﹣x）]10
=•m10﹣•m9•（m﹣x）+•m8•（m﹣x）2﹣…+•m2•（m﹣x）8﹣•m•（m﹣x）9+•（m﹣x）10
=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a10（x﹣1）10，
∴a8=m2=180，
即45m2=180，
解得m=2或m=﹣2（不合题意，舍去），
∴m的值为2．
故选：B．
10．已知球O的一个内接三棱锥P﹣ABC，其中△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】取△ABC的中心E，则OE⊥平面ABC，所以P到平面ABC的距离h=2OE，利用正三角形的性质和勾股定理求出OE，代入棱锥的体积公式计算．
【解答】解：设△ABC的中心为E，AB中点为D，连结OE，则OE⊥平面ABC，
∴OE⊥CE．
∵O是PC的中点，∴P到平面ABC的距离h=2OE．
由正三角形的性质可得CD=，CE==．
∴OE===．
∴h=．
∴三棱锥的体积V===．
故选B．
11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（ ）
A．y2=4x B．y2=8x C．y2=16x D．
【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．
【分析】先设抛物线的准线与x轴的交点为D，根据抛物线的性质可知|AF|=|AC|，根据F是AB的中点可知|AC|=2|FD|，|AB|=2|AF|进而得到|AF|和|AB|关于p的表达式，进而得到|BC|，最后根据=48，求得p．
【解答】解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，
故|AF|=|AC|=2|FD|=2p，
|AB|=2|AF|=2|AC|=4p，
∴∠ABC=30°，||=2p，
=4p•2p•cos30°=48，
解得p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x．
故答案为：y2=4x
12．已知x＞0，y＞0，且4x++y+=26，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【考点】基本不等式．
【分析】设4x+y=m∈（0，26）．由于x＞0，y＞0，且4x++y+=26，可得： +=26﹣m．变形为：26﹣m=（4x+y），利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设4x+y=m∈（0，26）．
∵x＞0，y＞0，且4x++y+=26，
∴+=26﹣m．
∴26﹣m=（4x+y）=≥=，当且仅当y=6x时取等号．
化为：m2﹣26m+25≤0，
解得1≤m≤25，
∴函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差=25﹣1=24．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．函数的值域是 [﹣，1] ．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域得出结论．
【解答】解：∵x∈[0，]，x﹣∈[﹣，]，
∴f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）∈[﹣，1]，
故答案为：[﹣，1]．
14．在1和16之间插入n﹣2（n≥3）个实数，使这n个实数构成递增的等比数列，若记这n个实数的积为bn，则b3+b4+…+bn= ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】求出等比数列的公比，求出bn，代入等比数列数列的求和公式．
【解答】解：设插入n﹣2个数后组成的等比数列的公比为q，则q=，
∴bn=1•q•q2•q3•…•qn﹣1=q=16=4n．
∴b3+b4+…+bn=43+44+45+…+4n=．
故答案为：．
15．曲线的对称中心坐标为 （0，3） ．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的图象即可求出．
【解答】解： =3+，
当x=0时， =0，
∴函数的对称中心为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
16．在△AOB中，OA=1，OB=2，∠AOB=120°，MN是过点O的一条线段，且OM=ON=3，若R），则的最小值为 ﹣ ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】问题转化为求的最小值，通过解三角形求出即可．
【解答】解：由题意可得•=（﹣）•（﹣）=•﹣•（+）+．
由于MN是过点O的一条线段，且OM=ON=3，
∴+=， •=﹣3×3=﹣9，
要求•最小值，问题就是求OC2的最小值，
因为C在AB线段上，如图示：
那么OC⊥AB时，||最小，
由AB2=1+4+2=7，得AB=，
∴OC2=4﹣BC2=1﹣，解得BC=，
∴OC2=，
∴则的最小值是﹣9+=﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC=sinA．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值时角A，C的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知及三角形内角和定理，两角和与差的正弦函数公式化简可得2sinAcosB=sinA，由于sinA≠0，即可解得cosB的值，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理及基本不等式可得：a2+c2﹣ac=4，且ac≤，从而可得4≥（1﹣）（a2+c2），即可解得a2+c2的最大值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵由已知及C=π﹣（A+B）可得：
sin（A﹣B）+sinC=sin（A﹣B）+sin（A+B）
=sinAcosB﹣cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB
=2sinAcosB=sinA…3分
∵A是三角形的内角，sinA≠0，
∴cosB=…4分
∴由B∈（0，π），可得B=…5分
（Ⅱ）∵由余弦定理可得：a2+c2﹣ac=4，且ac≤，…7分
∴4=a2+c2﹣ac≥（a2+c2）﹣（a2+c2）=（1﹣）（a2+c2），…9分
∴a2+c2≤=8（当且仅当a=c时，等号成立），…11分
∴当A=C=时，a2+c2的最大值是8…12分
18．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E、F分别在CD、AB上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．现将矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF与平面EFBC垂直（如图2）．
（Ⅰ）求证：CD∥面ABF；
（Ⅱ）当AF的长为何值时，二面角A﹣BC﹣F的大小为30°．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出CE∥面ABF，DE∥面ABF，由此能证明面CDE∥面ABF，从而CD∥面ABF．
（Ⅱ）过F作CB的垂线，交CB的延长线于H点，连结AH，推导出∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角，由此能求出AF的长．
【解答】证明：（Ⅰ）∵CE∥BF，CE⊄面ABF，BF⊂面ABF，
∴CE∥面ABF，
又DE∥AF，DE⊄面ABF，AF⊂面ABF，
∴DE∥面ABF，
∵DE∩CE=E，且DE、CE⊂面CDE，
∴面CDE∥面ABF，
又CD⊂面CDE，∴CD∥面ABF．
解：（Ⅱ）过F作CB的垂线，交CB的延长线于H点，连结AH，
∵面ADEF⊥面EFBC，AF⊥EF，
∴AF⊥面EFBC，CB⊂面EFBC，
∴CB⊥AF，CB⊥面AF，
∴AH⊥CH，
∴∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角，
∴∠AHF=30°，
∵BC=1，CE=2，且BE⊥BC，∴∠BCE=60°，
在直线梯形EFBC中，BF=2﹣cos60°=，
∴FH==，
在直角三角形AHF中，AF=FH．
19．某研究性学习小组为了解学生每周用于体育锻炼时间的情况，在甲、乙两所学校随机抽取了各50名学生，做问卷调查，并作出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）根据直方图计算：两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数；
（Ⅱ）在这100名学生中，要从每周用于体育锻炼时间不低于10小时的学生中选出3人，该3人中来自乙学校的学生数记为X，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数．
（Ⅱ）每周体育锻炼时间不低于10个小时的学生中，甲校有2人，乙校有4人，X的所有可能取值有1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得甲校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数为：
=0.12×5.5+0.24×6.5+0.32×7.5+0.20×8.5+0.08×9.5+0.04×10.5=7.5．
乙校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数为：
=0.08×5.5+0.24×6.5+0.28×7.5+0.24×8.5+0.08×9.5+0.08×10.5=7.74．
（Ⅱ）每周体育锻炼时间不低于10个小时的学生中，甲校有2人，乙校有4人，
X的所有可能取值有1，2，3，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列为：
X
1
2
3
P
EX=．
20．已知点在椭圆上，过椭圆C的右焦点F且垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若MN是过椭圆C的右焦点F的动弦（非长轴），点T为椭圆C的左顶点，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2．问k1k2是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）根据条件便可以得到，解出a，b便可得出椭圆C的方程为；
（Ⅱ）可设直线MN的方程为x=ty+1，带入椭圆方程并整理便可得到（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，从而由韦达定理可得到，而，这样即可求得，即得出k1k2为定值，并得出该定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，，
解得；
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）由题意知，T（﹣2，0），F（1，0），设直线MN的方程为x=ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2）；
将方程x=ty+1带入椭圆方程并化简得：
（3t2+4）y2+6ty﹣9=0；
∴；
∴
=
=
=
=；
∴k1k2为定值，定值为．
21．设函数f（x）=ln（1+x）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=g（x），当x≥0时，f（x）≤，求t的最小值；
（Ⅱ）当n∈N*时，证明：．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程，即g（x）=x．由题意可得ln（x+1）﹣≤0，x≥0恒成立．设h（x）=ln（x+1）﹣，x≥0，求出导数，求得单调区间，可得最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ln（1+x）＜，x≥0，x=0时取得等号．取x=，ln＜=+（﹣），运用对数的运算性质和累加法，及不等式的性质，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=，
f（0）=0，f′（0）=1，切线的方程为y=x，即g（x）=x，
当x≥0时，f（x）≤，即为
ln（x+1）﹣≤0，x≥0恒成立．
设h（x）=ln（x+1）﹣，x≥0，
h（x）≤0，h（1）≤0即t≥﹣1+2ln2＞0．
h′（x）=﹣==﹣，
当0＜t＜时，0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）递增，
故0＜x＜时，h（x）＞h（0）=0，与x≥0，h（x）≤h（0）=0，相矛盾，则0＜t＜不合题意．
当t=时，h′（x）=﹣＜0，h（x）在[0，+∞）递减，
故当x≥0时，h（x）≤h（0）=0，因此t的最小值为；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得ln（1+x）＜，x≥0，x=0时取得等号．
取x=，ln＜=+（﹣），
则ln＜+（﹣），（1）
ln＜+（﹣），（2）
…，ln＜+（﹣），（n）
将n个不等式相加，由对数的运算性质，可得
ln2=ln（•…）＜++…++（﹣），
则．
四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知D点在⊙O直径BC的延长线上，DA切⊙O于A点，DE是∠ADB的平分线，交AC于F点，交AB于E点．
（Ⅰ）求∠AEF的度数；
（Ⅱ）若AB=AD，求的值．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理、角平分线的性质证明∠AEF=∠AFE，由BC为⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，可得∠AFE的度数；
（Ⅱ）证明△ACD∽△BAD，根据三角形相似的性质可得=，又由AB=AD，可得AD：BD=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为AC为⊙O的切线，所以∠B=∠DAC
因为DE是∠ADB的平分线，所以∠ADE=∠EDB
所以∠B+∠EDB=∠DAC+∠ADE，即∠AEF=∠AFE，
又因为BC为⊙O的直径，所以∠BAC=90°．所以∠AEF==45°；
（Ⅱ）因为∠B=∠DAC，所以∠ADB=∠CDA，所以△ACD∽△BAD，
所以=，
又因为AB=AD，所以∠B=∠ADB=30°，
Rt△BAC中， ==tan30°=．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过定点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，若直线l和曲线C相交于M、N两点．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）根据极坐标方程，参数方程和普通坐标之间的关系进行转化求解即可，
（Ⅱ）在直角坐标系下，练习直线方程和抛物线方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解，结合等比数列的定义进行证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，
即y2=2x，
由，两式相减，消去参数t得x﹣y﹣2=0．
（Ⅱ）由得（x﹣2）2=2x，即x2﹣6x+4=0，得x=3±，
则M（3+，1+），N（3﹣，1﹣），
由两点间的距离公式得|MN|==2，
同理|PM|=5，|PN|=5﹣，
则有|MN|2=|PM||PN|，
故|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，其中a为实常数．
（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，不等式|x﹣2|≥f（x）恒成立，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，得到|a+1|=2，解出a的值即可；（Ⅱ）问题转化为|x+a|≤1，求出x的范围，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣1|+|x+a|≥|（x﹣1）﹣（x+a）|=|a+1|，
当且仅当（x﹣1）（x+a）≤0时取等号，
∴f（x）min=|a+1|，
由|a+1|=2，解得：a=1或a=﹣3；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1+|x+a|，
而|x﹣2|=﹣x+2，
由|x﹣2|≥f（x）恒成立，
得﹣x+2≥﹣x+1+|x+a|，
即|x+a|≤1，解得：﹣1﹣a≤x≤1﹣a，
由题意得[0，1]⊆[﹣1﹣a，1﹣a]，
则，即﹣1≤a≤0．
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