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山西省高考数学模拟试卷与解析(理科)
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这是一份山西省高考数学模拟试卷与解析(理科)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，选做题[几何证明选讲]等内容，欢迎下载使用。
山西省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设全集为R，集合A={x|≥0}，B={x|﹣2≤x＜0}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（﹣1，0） B．[﹣1，0） C．[﹣2，﹣1] D．[﹣2，﹣1）
2．复数=（ ）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6=a8+6，则S7是（ ）
A．49 B．42 C．35 D．24
4．运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．4 D．8
5．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
6．两个随机变量x，y的取值表为
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若x，y具有线性相关关系，且=x+2.6，则下列四个结论错误的是（ ）
A．x与y是正相关
B．当x=6时，y的估计值为8.3
C．x每增加一个单位，y增加0.95个单位
D．样本点（3，4.8）的残差为0.56
7．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f=（ ）
A．10 B． C．﹣10 D．﹣
8．已知椭圆+=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A（0，2），则△APF的周长最大值等于（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
9．为了研究钟表与三角函数的关系，以9点与3点所在直线为x轴，以6点与12点为y轴，设秒针针尖指向位置P（x，y），若初始位置为P0（，），秒针从P0（注此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系为（ ）
A．y=sin（t+） B．y=sin（t﹣）
C．y=sin（﹣t+） D．y=sin（﹣t﹣）
10．在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=BC=AD=，BD=AC=2，BC⊥AD，则三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为（ ）
A．6π B．12π C．6π D．6π
11．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，2） D．（2，+∞）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知非零向量，满足||=2，且|+|=|﹣|，则向量﹣在向量方向上的投影是 ．
14．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是 ．
15．设实数x，y满足不等式组，则z=|x+y﹣10|的最大值是 ．
16．已知数列{an}满足[2﹣（﹣1）n]an+[2+（﹣1）n]an+1=1+（﹣1）n×3n，则a25﹣a1= ．
三、解答题（本题共5小题，共70分）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a=，请判断△ABC的形状，并说明理由．
18．如图，四棱猪ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．
（1）证明：B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．
19．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．
20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的顶点到焦点的距离为1，过点P（0，p）作直线与抛物线交于A（x1，y1），
B（x2，y2）两点，其中x1＞x2．
（1）若直线AB的斜率为，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程；
（2）若=λ，是否存在异于点P的点Q，使得对任意λ，都有⊥（﹣λ），若存在，求Q点坐标；不存在，说明理由．
21．设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e），求a的值；
（2）当1＜x＜2时，求证：＞﹣．
四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）[几何证明选讲]
22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．
（1）求证：AE=EB；
（2）求EF•FC的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，曲线C的参数方程为（α为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）P（1，1），设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；
（2）若|a|＞1且，证明：|b|＞2．
山西省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设全集为R，集合A={x|≥0}，B={x|﹣2≤x＜0}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（﹣1，0） B．[﹣1，0） C．[﹣2，﹣1] D．[﹣2，﹣1）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先解出关于集合A的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．
【解答】解：∵集合A={x|≥0}={x|﹣1＜x≤1}=（﹣1，1]，
∴∁RA=（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），
∵B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0）
∴（∁RA）∩B=[﹣1，0）
故选：B．
2．复数=（ ）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解： =，
故选：A．
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6=a8+6，则S7是（ ）
A．49 B．42 C．35 D．24
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由2a6=a8+6，可得a4=6．由等差数列的性质可得：a1+a7=2a4．再利用前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵2a6=a8+6，
∴2（a1+5d）=a1+7d+6，化为a1+3d=6即a4=6．
由等差数列的性质可得：a1+a7=2a4．
∴=7a4=7×6=42．
故选B．
4．运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．4 D．8
【考点】程序框图．
【分析】分析程序框图知：该程序运行后输出的是S=1﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n•n的值，根据最后一次循环的情况即可得出结论．
【解答】解：运行如图所示的程序框图，知：
该程序运行后输出的是S=1﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n•n的值；
当n=5时，满足条件n≤5，计算S=1﹣1+2﹣3+4﹣5=﹣2；
当n=6时，不满足条件n≤5，输出S=﹣2．
故选：B．
5．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】V=V圆柱﹣2V圆锥，由三视图可观察圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，由圆柱和圆锥的体积公式，即可求得几何体的体积．
【解答】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，
该几何体的体积V=V圆柱﹣2V圆锥==，
故答案为：C
6．两个随机变量x，y的取值表为
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若x，y具有线性相关关系，且=x+2.6，则下列四个结论错误的是（ ）
A．x与y是正相关
B．当x=6时，y的估计值为8.3
C．x每增加一个单位，y增加0.95个单位
D．样本点（3，4.8）的残差为0.56
【考点】线性回归方程．
【分析】求出回归方程，分别将对应的数据代入方程分别对各个选项判断即可．
【解答】解：对于A：结合表格，显然正确；
对于B： =（0+1+3+4）=2，
=（2.2+4.3+4.8+6.7）=4.5，
∴4.5=2+2.6，解得： =0.95，
∴=0.95+2.6，
x=6时， =0.95×6+2.6=8.3，
故B正确；
对于C：由=0.95+2.6，得C正确；
对于D：x=3时， =0.95×3+2.6=5.45，
残差是：5.45﹣4.8=0.65，
故D错误；
故选：D．
7．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f=（ ）
A．10 B． C．﹣10 D．﹣
【考点】函数的周期性．
【分析】先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x即可求得f的值．
【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．
f=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．
故选B
8．已知椭圆+=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A（0，2），则△APF的周长最大值等于（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为F′，|AF|==4=|AF′|，|PF|+|PF′|=2a=6，利用|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，即可得出．
【解答】解：如图所示，设椭圆的左焦点为F′，
|AF|==4=|AF′|，
则|PF|+|PF′|=2a=6，
∵|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，
∴△APF的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6﹣|PF′|≤4+6+4=14，当且仅当三点A，F′，P共线时取等号．
∴△APF的周长最大值等于14．
故选：C．
9．为了研究钟表与三角函数的关系，以9点与3点所在直线为x轴，以6点与12点为y轴，设秒针针尖指向位置P（x，y），若初始位置为P0（，），秒针从P0（注此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系为（ ）
A．y=sin（t+） B．y=sin（t﹣）
C．y=sin（﹣t+） D．y=sin（﹣t﹣）
【考点】正弦函数的图象．
【分析】求出转速ω 的值，再求出经过时间t，秒针与x正半轴的夹角以及秒针的长度为|OP|，即可求得点P的纵坐标y与时间t的函数关系．
【解答】解：以9点与3点所在直线为x轴，以6点与12点为y轴，设秒针针尖指向位置P（x，y），
若初始位置为P0（，），秒针从P0（注此时t=0）开始沿顺时针方向走动，
由于秒针每60秒顺时针转一周，故转速ω=﹣=﹣，
由于初始位置为P0（，），故经过时间t，秒针与x正半轴的夹角为﹣t+，
再由秒针的长度为|OP|=1，可得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y=sin（﹣t+），
故选：C．
10．在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=BC=AD=，BD=AC=2，BC⊥AD，则三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为（ ）
A．6π B．12π C．6π D．6π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】利用直线平面的垂直得出BD⊥BC，AD⊥AC利用直角三角形的性质得出球心，即可求解外接球的半径．
【解答】解：∵AB=BC=AD=，BD=AC=2，BC⊥AD，
∴AB2+BC2=AC2，AD2+AB2=BD2，
AB⊥BC，AD⊥AB，
∵BC∩AB=C，AB∩BC=B，
∴BC⊥面ABD，AD⊥面ABC，
∵BD⊂面ABD，AC⊂面ACB；
∴BD⊥BC，AD⊥AC，
∵O为DC中点，
∴直角三角形中得出：OA=OB=OC=OD，
O 为外接球的球心，
半径R==，
∴三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为：4π×（）2=6π，
故选：A．
11．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．
【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知
可知|PF1|=2=4b
根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；
∴e====．
故选：D．
12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，2） D．（2，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．
【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x，
∵f′（x）＜，
∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，
∴g（x）为减函数，又f（1）=1，
∴f（log2x）＞=log2x+，
即g（log2x）=f（log2x）﹣log2x＞=g（1）=f（1）﹣=g（log22），
∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，
∴0＜x＜2，
则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知非零向量，满足||=2，且|+|=|﹣|，则向量﹣在向量方向上的投影是 ﹣2 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由|+|=|﹣|可得=0，计算（），代入投影公式计算即可．
【解答】解：∵|+|=|﹣|，∴，即=0．
∴（）==﹣4．
∴向量﹣在向量方向上的投影为||•===﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是 ﹣3 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】由（1﹣x）6（1+x）4变形为：（1﹣x2）4（1﹣2x+x2）=（1﹣+…）（1﹣2x+x2），即可得出．
【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4=（1﹣x2）4（1﹣2x+x2）=（1﹣+…）（1﹣2x+x2），
∴展开式中x2的系数1﹣=﹣3．
故答案为：﹣3．
15．设实数x，y满足不等式组，则z=|x+y﹣10|的最大值是 8 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用点到直线的距离公式进行转化求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
z=|x+y﹣10|=•，
设d=，
则d的几何意义是区域内的点到直线x+y﹣10=0的距离，
则z=•d，
由图象知D到直线x+y﹣10=0的距离最大，
其中D（1，1），
此时d==，
则z=•d=•=8，
故答案为：8，
16．已知数列{an}满足[2﹣（﹣1）n]an+[2+（﹣1）n]an+1=1+（﹣1）n×3n，则a25﹣a1= 300 ．
【考点】数列递推式．
【分析】由[2﹣（﹣1）n]an+[2+（﹣1）n]an+1=1+（﹣1）n×3n，当n=2k（k∈N*），可得：a2k+3a2k+1=1+6k，n=2k﹣1（k∈N*），可得：3a2k﹣1+a2k=1﹣6k+3，于是a2k+1﹣a2k﹣1=4k﹣1，利用“累加求和”方法与等差数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵[2﹣（﹣1）n]an+[2+（﹣1）n]an+1=1+（﹣1）n×3n，
∴n=2k（k∈N*），可得：a2k+3a2k+1=1+6k，
n=2k﹣1（k∈N*），可得：3a2k﹣1+a2k=1﹣6k+3，
∴a2k+1﹣a2k﹣1=4k﹣1，
∴a25=（a25﹣a23）+（a23﹣a21）+…+（a3﹣a1）+a1
=（4×12﹣1）+（4×11﹣1）+…+（4×1﹣1）+a1=﹣12+a1=300+a1．
则a25﹣a1=300，
故答案为：300．
三、解答题（本题共5小题，共70分）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a=，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理化简已知可得2cosAsinB=sinB，由sinB≠0，可得cosA=，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．
（Ⅱ）利用特殊角的三角函数值可求sinA，利用三角形面积公式可求bc的值，由余弦定理解得b2+c2=6，从而解得b=c=a=，即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2acosB=2c﹣b，由正弦定理，可得：2sinAcosB=2sinC﹣sinB，
又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，…
∴2cosAsinB=sinB，在△ABC中，sinB≠0，故cosA=，…
∵0＜A＜π，
∴A=…
（Ⅱ）△ABC是等边三角形，理由如下：
∵由（Ⅰ）可知A=，
∴sinA=，
∴S△ABC=bcsinA=．解得bc=3，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得b2+c2=6…
解得：c=，b=，
∴△ABC是等边三角形…
18．如图，四棱猪ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．
（1）证明：B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由•=0得到B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，由此能求出二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．
【解答】证明：（1）∵四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，
AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．
∴以点A为原点，AD，AA1，AB分别为x，y，zlm，建立空间直角坐标系，如图，
依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．
则=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，﹣1），
∵•=（1，0，﹣1）•（﹣1，1，﹣1）=0．
∴B1C1⊥CE．
解：（2）解： =（1，﹣2，﹣1），
设平面B1CE的法向量为=（x，y，z），
则，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．∴=（﹣3，﹣2，1）．
由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面CEC1，
故=（1，0，﹣1）为平面CEC1的一个法向量，
cos＜＞===﹣，
∵二面角B1﹣CE﹣C1的平面角为锐角，
∴二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值为．
19．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（I）计算平均身高用组中值×频率，即可得到结论；
（II）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数；
根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．
【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，
∴高于全市的平均值170.5；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，
∴人数为0.2×50=10，
即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人；…
（Ⅲ）∵P=0.9974，
∴P（ξ≥182.5）==0.0013，
∴0.0013×100 000=130，
全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；
∴随机变量ξ可取0，1，2，于是
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，
∴Eξ=0×+1×+2×=1．…
20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的顶点到焦点的距离为1，过点P（0，p）作直线与抛物线交于A（x1，y1），
B（x2，y2）两点，其中x1＞x2．
（1）若直线AB的斜率为，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程；
（2）若=λ，是否存在异于点P的点Q，使得对任意λ，都有⊥（﹣λ），若存在，求Q点坐标；不存在，说明理由．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）先求出p的值，再求出直线方程，求出A，B的坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，利用待定系数法解得即可，
（2）依题意可设直线AB的方程为y=kx+2，代入抛物线方程x2=4y，根据未达定理得到x1x2=﹣8，若k=0，这时λ=1，设点Q的坐标是（0，m），利用向量的坐标运算和向量的垂直的条件得到即（x1+x2）（x1x2﹣4m）=0，代入计算即可求出m的值．
【解答】解：（1）由已知得p=2，直线和y轴交于点（0，2），
则直线AB的方程为y﹣2=x，即x﹣2y+4=0，
由得A，B的坐标分别为（4，4），（﹣2，1），
又由x2=4y，得到y=x2，
∴y′=x，
∴抛物线抛物线在点A处切线的斜率为2，
设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
则，
解得a=﹣1，b=，r2=，
∴圆的方程为（x+1）2+（y﹣）2=，
即为x2+y2+2x﹣13x+12=0，
（2）依题意可设直线AB的方程为y=kx+2，代入抛物线方程x2=4y得x2﹣4kx﹣8=0，
∴x1x2=﹣8，①，
由已知=λ得﹣x1=λx2，
若k=0，这时λ=1，要使⊥（﹣λ），Q点必在y轴上，
设点Q的坐标是（0，m），从而=（0，2﹣m），
﹣λ=（x1，y1﹣m）﹣λ（x2，y2﹣m）=（x1﹣λx2，y1﹣m﹣λ（y2﹣m））
∴•（﹣λ）=（2﹣m）[y1﹣λy2﹣m（1﹣λ）]=0，
∴y1﹣λy2﹣m（1﹣λ）=0，
即+﹣m（1+）=0，
即（x1+x2）（x1x2﹣4m）=0，将①代入得m=﹣2，
∴存在点Q（0，﹣2）使得⊥（﹣λ）．
21．设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e），求a的值；
（2）当1＜x＜2时，求证：＞﹣．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求出函的切线斜率，即可求得a的值；
（2）a=2时，f（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），得到f（x）在（1，2）上是增函数，可知（x+1）lnx＞2（x﹣1），即＜利用函数的单调性，求得﹣＜，根据对数函数的运算即可证明不等式成立．
【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，x∈（0，+∞）
由题意可知： =f′（e），
整理得：e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e（1++1﹣a），解得a=2；
证明：（2）当a=2时，f（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），
f′（x）=lnx+﹣1，f″（x）=＞0，
∴f′（x）在（1，2）递增，∴f′（x）＞f′（1）=0，
∴f（x）在（1，2）上是增函数，
∴f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），
∴＜，①
∵1＜x＜2，
∴0＜2﹣a＜1，＞1，
∴＜=，
即﹣＜，②
①+②得：﹣＜+=，
∴原式成立．
四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）[几何证明选讲]
22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．
（1）求证：AE=EB；
（2）求EF•FC的值．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）由题意得EA为圆D的切线，由切割线定理，得EA2=EF•EC，EB2=EF•EC，由此能证明AE=EB．
（2）连结BF，得BF⊥EC，在RT△EBC中，，由射影定理得EF•FC=BF2，由此能求出结果．
【解答】（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，
而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线
依据切割线定理，得EA2=EF•EC…
另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，
同样依据切割线定理得EB2=EF•EC…
故AE=EB…
（2）解：连结BF，∵BC为圆O直径，
∴BF⊥EC
在RT△EBC中，有…
又在Rt△BCE中，
由射影定理得EF•FC=BF2=．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，曲线C的参数方程为（α为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）P（1，1），设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）曲线C的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得普通方程．把代入直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，可得直角坐标方程．
（II）由于P（1，1）在直线l上，可得直线l的参数方程：（t为参数），代入椭圆方程可得：﹣23=0，利用|PA|•|PB|=|t1t2|即可得出．
【解答】解：（I）曲线C的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得普通方程： =1．
由直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，可得直角坐标方程：2x+y﹣3=0．
（II）由于P（1，1）在直线l上，可得直线l的参数方程：（t为参数），代入椭圆方程可得：﹣23=0，
∴t1t2=﹣，∴|PA|•|PB|=|t1t2|=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；
（2）若|a|＞1且，证明：|b|＞2．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（），代入不等式，问题转化为|ab﹣2|＞|b﹣2a|，平方证明即可．
【解答】（1）解：原不等式等价于|x﹣2|+|x﹣1|≥5，
当x＞2时，不等式可化为：（x﹣2）+（x﹣1）≥5，
解得：x≥4，
当1≤x≤2时，不等式可化为（2﹣x）+（x﹣1）≥5，1≥5，无解，
x＜1时，不等式可化为：（2﹣x）+（1﹣x）≥5，解得：x≤﹣1，
综上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤﹣1}；
（2）证明：
⇔|ab﹣2|＞|a||﹣2|
⇔|ab﹣2|＞|b﹣2a|
⇔（ab﹣2）2＞（b﹣2a）2
⇔a2b2+4﹣b2﹣4a2＞0
⇔（a2﹣1）（b2﹣4）＞0，
∵|a|＞1，
∴a2﹣1＞0，
∴b2﹣4＞0，
∴|b|＞2，证毕．
山西省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设全集为R，集合A={x|≥0}，B={x|﹣2≤x＜0}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（﹣1，0） B．[﹣1，0） C．[﹣2，﹣1] D．[﹣2，﹣1）
2．复数=（ ）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6=a8+6，则S7是（ ）
A．49 B．42 C．35 D．24
4．运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．4 D．8
5．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
6．两个随机变量x，y的取值表为
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若x，y具有线性相关关系，且=x+2.6，则下列四个结论错误的是（ ）
A．x与y是正相关
B．当x=6时，y的估计值为8.3
C．x每增加一个单位，y增加0.95个单位
D．样本点（3，4.8）的残差为0.56
7．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f=（ ）
A．10 B． C．﹣10 D．﹣
8．已知椭圆+=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A（0，2），则△APF的周长最大值等于（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
9．为了研究钟表与三角函数的关系，以9点与3点所在直线为x轴，以6点与12点为y轴，设秒针针尖指向位置P（x，y），若初始位置为P0（，），秒针从P0（注此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系为（ ）
A．y=sin（t+） B．y=sin（t﹣）
C．y=sin（﹣t+） D．y=sin（﹣t﹣）
10．在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=BC=AD=，BD=AC=2，BC⊥AD，则三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为（ ）
A．6π B．12π C．6π D．6π
11．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，2） D．（2，+∞）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知非零向量，满足||=2，且|+|=|﹣|，则向量﹣在向量方向上的投影是 ．
14．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是 ．
15．设实数x，y满足不等式组，则z=|x+y﹣10|的最大值是 ．
16．已知数列{an}满足[2﹣（﹣1）n]an+[2+（﹣1）n]an+1=1+（﹣1）n×3n，则a25﹣a1= ．
三、解答题（本题共5小题，共70分）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a=，请判断△ABC的形状，并说明理由．
18．如图，四棱猪ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．
（1）证明：B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．
19．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．
20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的顶点到焦点的距离为1，过点P（0，p）作直线与抛物线交于A（x1，y1），
B（x2，y2）两点，其中x1＞x2．
（1）若直线AB的斜率为，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程；
（2）若=λ，是否存在异于点P的点Q，使得对任意λ，都有⊥（﹣λ），若存在，求Q点坐标；不存在，说明理由．
21．设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e），求a的值；
（2）当1＜x＜2时，求证：＞﹣．
四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）[几何证明选讲]
22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．
（1）求证：AE=EB；
（2）求EF•FC的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，曲线C的参数方程为（α为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）P（1，1），设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；
（2）若|a|＞1且，证明：|b|＞2．
山西省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设全集为R，集合A={x|≥0}，B={x|﹣2≤x＜0}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（﹣1，0） B．[﹣1，0） C．[﹣2，﹣1] D．[﹣2，﹣1）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先解出关于集合A的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．
【解答】解：∵集合A={x|≥0}={x|﹣1＜x≤1}=（﹣1，1]，
∴∁RA=（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），
∵B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0）
∴（∁RA）∩B=[﹣1，0）
故选：B．
2．复数=（ ）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解： =，
故选：A．
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6=a8+6，则S7是（ ）
A．49 B．42 C．35 D．24
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由2a6=a8+6，可得a4=6．由等差数列的性质可得：a1+a7=2a4．再利用前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵2a6=a8+6，
∴2（a1+5d）=a1+7d+6，化为a1+3d=6即a4=6．
由等差数列的性质可得：a1+a7=2a4．
∴=7a4=7×6=42．
故选B．
4．运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．4 D．8
【考点】程序框图．
【分析】分析程序框图知：该程序运行后输出的是S=1﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n•n的值，根据最后一次循环的情况即可得出结论．
【解答】解：运行如图所示的程序框图，知：
该程序运行后输出的是S=1﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n•n的值；
当n=5时，满足条件n≤5，计算S=1﹣1+2﹣3+4﹣5=﹣2；
当n=6时，不满足条件n≤5，输出S=﹣2．
故选：B．
5．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】V=V圆柱﹣2V圆锥，由三视图可观察圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，由圆柱和圆锥的体积公式，即可求得几何体的体积．
【解答】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，
该几何体的体积V=V圆柱﹣2V圆锥==，
故答案为：C
6．两个随机变量x，y的取值表为
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若x，y具有线性相关关系，且=x+2.6，则下列四个结论错误的是（ ）
A．x与y是正相关
B．当x=6时，y的估计值为8.3
C．x每增加一个单位，y增加0.95个单位
D．样本点（3，4.8）的残差为0.56
【考点】线性回归方程．
【分析】求出回归方程，分别将对应的数据代入方程分别对各个选项判断即可．
【解答】解：对于A：结合表格，显然正确；
对于B： =（0+1+3+4）=2，
=（2.2+4.3+4.8+6.7）=4.5，
∴4.5=2+2.6，解得： =0.95，
∴=0.95+2.6，
x=6时， =0.95×6+2.6=8.3，
故B正确；
对于C：由=0.95+2.6，得C正确；
对于D：x=3时， =0.95×3+2.6=5.45，
残差是：5.45﹣4.8=0.65，
故D错误；
故选：D．
7．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f=（ ）
A．10 B． C．﹣10 D．﹣
【考点】函数的周期性．
【分析】先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x即可求得f的值．
【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．
f=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．
故选B
8．已知椭圆+=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A（0，2），则△APF的周长最大值等于（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为F′，|AF|==4=|AF′|，|PF|+|PF′|=2a=6，利用|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，即可得出．
【解答】解：如图所示，设椭圆的左焦点为F′，
|AF|==4=|AF′|，
则|PF|+|PF′|=2a=6，
∵|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，
∴△APF的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6﹣|PF′|≤4+6+4=14，当且仅当三点A，F′，P共线时取等号．
∴△APF的周长最大值等于14．
故选：C．
9．为了研究钟表与三角函数的关系，以9点与3点所在直线为x轴，以6点与12点为y轴，设秒针针尖指向位置P（x，y），若初始位置为P0（，），秒针从P0（注此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系为（ ）
A．y=sin（t+） B．y=sin（t﹣）
C．y=sin（﹣t+） D．y=sin（﹣t﹣）
【考点】正弦函数的图象．
【分析】求出转速ω 的值，再求出经过时间t，秒针与x正半轴的夹角以及秒针的长度为|OP|，即可求得点P的纵坐标y与时间t的函数关系．
【解答】解：以9点与3点所在直线为x轴，以6点与12点为y轴，设秒针针尖指向位置P（x，y），
若初始位置为P0（，），秒针从P0（注此时t=0）开始沿顺时针方向走动，
由于秒针每60秒顺时针转一周，故转速ω=﹣=﹣，
由于初始位置为P0（，），故经过时间t，秒针与x正半轴的夹角为﹣t+，
再由秒针的长度为|OP|=1，可得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y=sin（﹣t+），
故选：C．
10．在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=BC=AD=，BD=AC=2，BC⊥AD，则三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为（ ）
A．6π B．12π C．6π D．6π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】利用直线平面的垂直得出BD⊥BC，AD⊥AC利用直角三角形的性质得出球心，即可求解外接球的半径．
【解答】解：∵AB=BC=AD=，BD=AC=2，BC⊥AD，
∴AB2+BC2=AC2，AD2+AB2=BD2，
AB⊥BC，AD⊥AB，
∵BC∩AB=C，AB∩BC=B，
∴BC⊥面ABD，AD⊥面ABC，
∵BD⊂面ABD，AC⊂面ACB；
∴BD⊥BC，AD⊥AC，
∵O为DC中点，
∴直角三角形中得出：OA=OB=OC=OD，
O 为外接球的球心，
半径R==，
∴三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为：4π×（）2=6π，
故选：A．
11．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．
【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知
可知|PF1|=2=4b
根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；
∴e====．
故选：D．
12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，2） D．（2，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．
【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x，
∵f′（x）＜，
∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，
∴g（x）为减函数，又f（1）=1，
∴f（log2x）＞=log2x+，
即g（log2x）=f（log2x）﹣log2x＞=g（1）=f（1）﹣=g（log22），
∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，
∴0＜x＜2，
则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知非零向量，满足||=2，且|+|=|﹣|，则向量﹣在向量方向上的投影是 ﹣2 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由|+|=|﹣|可得=0，计算（），代入投影公式计算即可．
【解答】解：∵|+|=|﹣|，∴，即=0．
∴（）==﹣4．
∴向量﹣在向量方向上的投影为||•===﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是 ﹣3 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】由（1﹣x）6（1+x）4变形为：（1﹣x2）4（1﹣2x+x2）=（1﹣+…）（1﹣2x+x2），即可得出．
【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4=（1﹣x2）4（1﹣2x+x2）=（1﹣+…）（1﹣2x+x2），
∴展开式中x2的系数1﹣=﹣3．
故答案为：﹣3．
15．设实数x，y满足不等式组，则z=|x+y﹣10|的最大值是 8 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用点到直线的距离公式进行转化求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
z=|x+y﹣10|=•，
设d=，
则d的几何意义是区域内的点到直线x+y﹣10=0的距离，
则z=•d，
由图象知D到直线x+y﹣10=0的距离最大，
其中D（1，1），
此时d==，
则z=•d=•=8，
故答案为：8，
16．已知数列{an}满足[2﹣（﹣1）n]an+[2+（﹣1）n]an+1=1+（﹣1）n×3n，则a25﹣a1= 300 ．
【考点】数列递推式．
【分析】由[2﹣（﹣1）n]an+[2+（﹣1）n]an+1=1+（﹣1）n×3n，当n=2k（k∈N*），可得：a2k+3a2k+1=1+6k，n=2k﹣1（k∈N*），可得：3a2k﹣1+a2k=1﹣6k+3，于是a2k+1﹣a2k﹣1=4k﹣1，利用“累加求和”方法与等差数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵[2﹣（﹣1）n]an+[2+（﹣1）n]an+1=1+（﹣1）n×3n，
∴n=2k（k∈N*），可得：a2k+3a2k+1=1+6k，
n=2k﹣1（k∈N*），可得：3a2k﹣1+a2k=1﹣6k+3，
∴a2k+1﹣a2k﹣1=4k﹣1，
∴a25=（a25﹣a23）+（a23﹣a21）+…+（a3﹣a1）+a1
=（4×12﹣1）+（4×11﹣1）+…+（4×1﹣1）+a1=﹣12+a1=300+a1．
则a25﹣a1=300，
故答案为：300．
三、解答题（本题共5小题，共70分）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a=，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理化简已知可得2cosAsinB=sinB，由sinB≠0，可得cosA=，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．
（Ⅱ）利用特殊角的三角函数值可求sinA，利用三角形面积公式可求bc的值，由余弦定理解得b2+c2=6，从而解得b=c=a=，即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2acosB=2c﹣b，由正弦定理，可得：2sinAcosB=2sinC﹣sinB，
又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，…
∴2cosAsinB=sinB，在△ABC中，sinB≠0，故cosA=，…
∵0＜A＜π，
∴A=…
（Ⅱ）△ABC是等边三角形，理由如下：
∵由（Ⅰ）可知A=，
∴sinA=，
∴S△ABC=bcsinA=．解得bc=3，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得b2+c2=6…
解得：c=，b=，
∴△ABC是等边三角形…
18．如图，四棱猪ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．
（1）证明：B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由•=0得到B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，由此能求出二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．
【解答】证明：（1）∵四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，
AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．
∴以点A为原点，AD，AA1，AB分别为x，y，zlm，建立空间直角坐标系，如图，
依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．
则=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，﹣1），
∵•=（1，0，﹣1）•（﹣1，1，﹣1）=0．
∴B1C1⊥CE．
解：（2）解： =（1，﹣2，﹣1），
设平面B1CE的法向量为=（x，y，z），
则，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．∴=（﹣3，﹣2，1）．
由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面CEC1，
故=（1，0，﹣1）为平面CEC1的一个法向量，
cos＜＞===﹣，
∵二面角B1﹣CE﹣C1的平面角为锐角，
∴二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值为．
19．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（I）计算平均身高用组中值×频率，即可得到结论；
（II）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数；
根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．
【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，
∴高于全市的平均值170.5；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，
∴人数为0.2×50=10，
即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人；…
（Ⅲ）∵P=0.9974，
∴P（ξ≥182.5）==0.0013，
∴0.0013×100 000=130，
全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；
∴随机变量ξ可取0，1，2，于是
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，
∴Eξ=0×+1×+2×=1．…
20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的顶点到焦点的距离为1，过点P（0，p）作直线与抛物线交于A（x1，y1），
B（x2，y2）两点，其中x1＞x2．
（1）若直线AB的斜率为，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程；
（2）若=λ，是否存在异于点P的点Q，使得对任意λ，都有⊥（﹣λ），若存在，求Q点坐标；不存在，说明理由．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）先求出p的值，再求出直线方程，求出A，B的坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，利用待定系数法解得即可，
（2）依题意可设直线AB的方程为y=kx+2，代入抛物线方程x2=4y，根据未达定理得到x1x2=﹣8，若k=0，这时λ=1，设点Q的坐标是（0，m），利用向量的坐标运算和向量的垂直的条件得到即（x1+x2）（x1x2﹣4m）=0，代入计算即可求出m的值．
【解答】解：（1）由已知得p=2，直线和y轴交于点（0，2），
则直线AB的方程为y﹣2=x，即x﹣2y+4=0，
由得A，B的坐标分别为（4，4），（﹣2，1），
又由x2=4y，得到y=x2，
∴y′=x，
∴抛物线抛物线在点A处切线的斜率为2，
设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
则，
解得a=﹣1，b=，r2=，
∴圆的方程为（x+1）2+（y﹣）2=，
即为x2+y2+2x﹣13x+12=0，
（2）依题意可设直线AB的方程为y=kx+2，代入抛物线方程x2=4y得x2﹣4kx﹣8=0，
∴x1x2=﹣8，①，
由已知=λ得﹣x1=λx2，
若k=0，这时λ=1，要使⊥（﹣λ），Q点必在y轴上，
设点Q的坐标是（0，m），从而=（0，2﹣m），
﹣λ=（x1，y1﹣m）﹣λ（x2，y2﹣m）=（x1﹣λx2，y1﹣m﹣λ（y2﹣m））
∴•（﹣λ）=（2﹣m）[y1﹣λy2﹣m（1﹣λ）]=0，
∴y1﹣λy2﹣m（1﹣λ）=0，
即+﹣m（1+）=0，
即（x1+x2）（x1x2﹣4m）=0，将①代入得m=﹣2，
∴存在点Q（0，﹣2）使得⊥（﹣λ）．
21．设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e），求a的值；
（2）当1＜x＜2时，求证：＞﹣．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求出函的切线斜率，即可求得a的值；
（2）a=2时，f（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），得到f（x）在（1，2）上是增函数，可知（x+1）lnx＞2（x﹣1），即＜利用函数的单调性，求得﹣＜，根据对数函数的运算即可证明不等式成立．
【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，x∈（0，+∞）
由题意可知： =f′（e），
整理得：e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e（1++1﹣a），解得a=2；
证明：（2）当a=2时，f（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），
f′（x）=lnx+﹣1，f″（x）=＞0，
∴f′（x）在（1，2）递增，∴f′（x）＞f′（1）=0，
∴f（x）在（1，2）上是增函数，
∴f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），
∴＜，①
∵1＜x＜2，
∴0＜2﹣a＜1，＞1，
∴＜=，
即﹣＜，②
①+②得：﹣＜+=，
∴原式成立．
四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）[几何证明选讲]
22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．
（1）求证：AE=EB；
（2）求EF•FC的值．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）由题意得EA为圆D的切线，由切割线定理，得EA2=EF•EC，EB2=EF•EC，由此能证明AE=EB．
（2）连结BF，得BF⊥EC，在RT△EBC中，，由射影定理得EF•FC=BF2，由此能求出结果．
【解答】（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，
而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线
依据切割线定理，得EA2=EF•EC…
另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，
同样依据切割线定理得EB2=EF•EC…
故AE=EB…
（2）解：连结BF，∵BC为圆O直径，
∴BF⊥EC
在RT△EBC中，有…
又在Rt△BCE中，
由射影定理得EF•FC=BF2=．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，曲线C的参数方程为（α为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）P（1，1），设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）曲线C的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得普通方程．把代入直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，可得直角坐标方程．
（II）由于P（1，1）在直线l上，可得直线l的参数方程：（t为参数），代入椭圆方程可得：﹣23=0，利用|PA|•|PB|=|t1t2|即可得出．
【解答】解：（I）曲线C的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得普通方程： =1．
由直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，可得直角坐标方程：2x+y﹣3=0．
（II）由于P（1，1）在直线l上，可得直线l的参数方程：（t为参数），代入椭圆方程可得：﹣23=0，
∴t1t2=﹣，∴|PA|•|PB|=|t1t2|=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；
（2）若|a|＞1且，证明：|b|＞2．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（），代入不等式，问题转化为|ab﹣2|＞|b﹣2a|，平方证明即可．
【解答】（1）解：原不等式等价于|x﹣2|+|x﹣1|≥5，
当x＞2时，不等式可化为：（x﹣2）+（x﹣1）≥5，
解得：x≥4，
当1≤x≤2时，不等式可化为（2﹣x）+（x﹣1）≥5，1≥5，无解，
x＜1时，不等式可化为：（2﹣x）+（1﹣x）≥5，解得：x≤﹣1，
综上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤﹣1}；
（2）证明：
⇔|ab﹣2|＞|a||﹣2|
⇔|ab﹣2|＞|b﹣2a|
⇔（ab﹣2）2＞（b﹣2a）2
⇔a2b2+4﹣b2﹣4a2＞0
⇔（a2﹣1）（b2﹣4）＞0，
∵|a|＞1，
∴a2﹣1＞0，
∴b2﹣4＞0，
∴|b|＞2，证毕．
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