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    福建省高考数学模拟试卷与解析(理科)

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    这是一份福建省高考数学模拟试卷与解析(理科),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    福建省高考数学模拟试卷(理科)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上.)
    1.已知复数z满足zi=2i+x(x∈R),若z的虚部为2,则|z|=(  )
    A.2 B.2 C. D.
    2.已知命题p:“∃x∈R,ex﹣x﹣1≤0”,则命题¬p(  )
    A.∀x∈R,ex﹣x﹣1>0 B.∀x∉R,ex﹣x﹣1>0 C.∀x∈R,ex﹣x﹣1≥0 D.∃x∈R,ex﹣x﹣1>0
    3.阅读算法框图,如果输出的函数值在区间[1,8]上,则输入的实数x的取值范围是(  )

    A.[0,2) B.[2,7] C.[2,4] D.[0,7]
    4.若2cos2α=sin(α﹣),且α∈(,π),则cos2α的值为(  )
    A.﹣ B.﹣ C.1 D.
    5.若实数x,y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2,则实数a的值是(  )
    A.﹣2 B.0 C.1 D.2
    6.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为(  )

    A.3++ B.6+2+2 C.3+2 D.2++
    7.(1﹣x)6(1+x)4的展开式中x2的系数是(  )
    A.﹣4 B.﹣3 C.3 D.4
    8.已知抛物线C:y2=8x与直线y=k(x+2)(k>0)相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=(  )
    A. B. C. D.
    9.已知f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣k有两个零点,则两零点所在的区间为(  )
    A.(﹣∞,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,+∞)
    10.已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上,且AB=6,BC=2,AC=4,则三棱锥O﹣ABC的体积为(  )
    A.4 B.12 C.18 D.36
    11.设F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左,右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()•=0(O为坐标原点),且||=||,则双曲线的离心率为(  )
    A. B. +1 C. D.
    12.已知偶函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f′(x),当x<0时有2f(x)+xf′(x)>x2,C,则不等式(x+2014)2f(x+2014)﹣4f(﹣2)<0的解集为(  )
    A.(﹣∞,﹣2012) B.(﹣2016,﹣2012) C.(﹣∞,﹣2016) D.(﹣2016,0)
     
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上.)
    13.在等比数列{an}中,a3a7=8,a4+a6=6,则a2+a8=______.
    14.已知在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=,其外接圆的圆心为O,则______.
    15.以下命题正确的是:______.
    ①把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位,可得到y=3sin2x的图象;
    ②四边形ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB中点,在长方形ABCD内随机取一点P,取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣;
    ③某校开设A类选修课3门,B类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有30种;
    ④在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4.
    16.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(3+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,且a=3,则△ABC面积的最大值为______.
     
    三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1,其中n∈N*.
    (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
    (Ⅱ)设anbn=,求数列{bn}的前n项和为Tn.
    18.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如图的频率分布直方图.
    (Ⅰ)试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数;
    (Ⅱ)为了进一步调查学生的护眼习惯,学习小组成员进行分层抽样,在视力4.2~4.4和5.0~5.2的学生中抽取9人,并且在这9人中任取3人,记视力在4.2~4.4的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

    19.已知:矩形A1ABB1,且AB=2AA1,C1,C分别是A1B1、AB的中点,D为C1C中点,将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角,如图所示.

    (Ⅰ)求证:AB1⊥A1D;
    (Ⅱ)求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值..
    20.已知以A为圆心的圆(x﹣2)2+y2=64上有一个动点M,B(﹣2,0),线段BM的垂直平分线交AM于点P,点P的轨迹为E.
    (Ⅰ)求轨迹E的方程;
    (Ⅱ)过A点作两条相互垂直的直线l1,l2分别交曲线E于D,E,F,G四个点,求|DE|+|FG|的取值范围.
    21.已知函数f(x)=lnx+,a∈R,且函数f(x)在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0.
    (Ⅰ)实数a的值;
    (Ⅱ)若在[1,e](e=2.718…)上存在一点x0,使得x0+<mf(x0)成立,求实数m的取值范围.
     
    四.本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.[选修4-1:几何证明讲]
    22.如图,已知AB为圆O的一条直径,以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点,交圆O于E、F两点,过点D作垂直于AD的直线,交直线AF于H点.
    (Ⅰ)求证:B、D、H、F四点共圆;
    (Ⅱ)若AC=2,AF=2,求△BDF外接圆的半径.

     
    [选修4-4:坐标系与参数方程]
    23.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6.若以极点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
    (Ⅰ)求圆C的参数方程;
    (Ⅱ)在直角坐标系中,点P(x,y)是圆C上动点,试求x+y的最大值,并求出此时点P的直角坐标.
     
    [选修4-5:不等式选讲]
    24.已知a、b都是实数,a≠0,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|.
    (1)若f(x)>2,求实数x的取值范围;
    (2)若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x)对满足条件的所有a、b都成立,求实数x的取值范围.
     
    福建省高考数学模拟试卷(理科)试题解析
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上.)
    1.已知复数z满足zi=2i+x(x∈R),若z的虚部为2,则|z|=(  )
    A.2 B.2 C. D.
    【考点】复数求模.
    【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数,然后求解复数的模.
    【解答】解:复数z满足zi=2i+x(x∈R),
    可得z==2﹣xi.
    若z的虚部为2,
    可得x=﹣2.
    z=2﹣2i.
    ∴|z|=2 
    故选:B.
    2.已知命题p:“∃x∈R,ex﹣x﹣1≤0”,则命题¬p(  )
    A.∀x∈R,ex﹣x﹣1>0 B.∀x∉R,ex﹣x﹣1>0
    C.∀x∈R,ex﹣x﹣1≥0 D.∃x∈R,ex﹣x﹣1>0
    【考点】特称命题;命题的否定.
    【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意,同时将结论否定,可写出命题的否定.
    【解答】解:∵命题p:“∃x∈R,ex﹣x﹣1≤0”,
    ∴命题¬p:∀x∈R,ex﹣x﹣1>0,
    故选:A
    3.阅读算法框图,如果输出的函数值在区间[1,8]上,则输入的实数x的取值范围是(  )

    A.[0,2) B.[2,7] C.[2,4] D.[0,7]
    【考点】程序框图.
    【分析】模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行输出的是什么,由此得出解答来.
    【解答】解:根据题意,得
    当x∈(﹣2,2)时,f(x)=2x,
    ∴1≤2x≤8,
    ∴0≤x≤3;
    当x∉(﹣2,2)时,f(x)=x+1,
    ∴1≤x+1≤8,
    ∴0≤x≤7,
    ∴x的取值范围是[0,7].
    故选:D.
    4.若2cos2α=sin(α﹣),且α∈(,π),则cos2α的值为(  )
    A.﹣ B.﹣ C.1 D.
    【考点】二倍角的余弦;三角函数的化简求值.
    【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=,cosα﹣sinα=﹣,解得cosα=,由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值.
    法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形,求出cos(α)=﹣,由α得范围求出的范围,进一步求得sin(α),再由倍角公式得答案.
    【解答】解:法一、
    ∵α∈(,π),∴sinα>0,cosα<0,
    ∵2cos2α=sin(α﹣),
    ∴2(cos2α﹣sin2α)=(sinα﹣cosα),
    ∴cosα+sinα=,①
    ∴1+2sinαcosα=,则2sinαcosα=﹣,
    (cosα﹣sinα)2=1﹣2sinαcosα=1+,
    ∴cosα﹣sinα=,②
    联立①②,解得cosα=,
    ∴cos2α=2cos2α﹣1=2()2﹣1=.
    法二、
    由2cos2α=sin(α﹣),
    得2sin()=sin(α﹣),
    则4sin()cos(α)=sin(α﹣),
    ∴cos(α)=﹣,
    ∵α∈(,π),
    ∴∈(),
    则sin()=﹣,
    则cos2α=sin()=2sin()cos(α)=2×.
    故选:D.
     
    5.若实数x,y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2,则实数a的值是(  )
    A.﹣2 B.0 C.1 D.2
    【考点】简单线性规划.
    【分析】画出约束条件表示的可行域,然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2,确定约束条件中a的值即可.
    【解答】解:画出约束条件表示的可行域
    由⇒A(2,0)是最优解,
    直线x+2y﹣a=0,过点A(2,0),
    所以a=2,
    故选D

     
    6.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为(  )

    A.3++ B.6+2+2 C.3+2 D.2++
    【考点】由三视图求面积、体积.
    【分析】根据几何体的三视图,画出该几何体的直观图,结合图形求出答案来.
    【解答】解:根据几何体的三视图得,
    该几何体是底面为直角三角形的三棱锥,如图所示;
    ∴它的表面积为
    S=S底+S侧
    =××+(××2+×2×2+××)
    =1+(+2+)
    =3++.
    故选:A.

     
    7.(1﹣x)6(1+x)4的展开式中x2的系数是(  )
    A.﹣4 B.﹣3 C.3 D.4
    【考点】二项式系数的性质.
    【分析】把已知二项式变形,然后展开二项式定理,则展开式中x2的系数可求.
    【解答】解:(1﹣x)6(1+x)4 =(1﹣2x+x2)(1﹣x2)4
    =(1﹣2x+x2).
    ∴(1﹣x)6(1+x)4的展开式中x2的系数是.
    故选:B.
     
    8.已知抛物线C:y2=8x与直线y=k(x+2)(k>0)相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=(  )
    A. B. C. D.
    【考点】抛物线的简单性质.
    【分析】根据直线方程可知直线恒过定点,如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,根据|FA|=2|FB|,推断出|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,可知|OB|=|AF|,推断出|OB|=|BF|,进而求得点B的横坐标,则点B的坐标可得,最后利用直线上的两点求得直线的斜率.
    【解答】解:设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=﹣2,
    直线y=k(x+2)恒过定点P(﹣2,0)
    如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,
    由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,
    点B为AP的中点、连接OB,
    则|OB|=|AF|,
    ∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,
    ∵k>0,
    ∴点B的坐标为(1,2),
    ∴k==.
    故选:A.

     
    9.已知f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣k有两个零点,则两零点所在的区间为(  )
    A.(﹣∞,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,+∞)
    【考点】函数零点的判定定理.
    【分析】求得x≥2时,x<2时,可得函数f(x)的单调性和值域,即有y=f(x)的图象和直线y=k有两个交点.通过图象观察,即可得到所求区间.
    【解答】解:f(x)=,可得x≥2时,f(x)=递减,且f(x)∈(0,1];
    当x<2时,f(x)=(x﹣1)3递增,且f(x)∈(﹣∞,1).
    画出函数f(x)的图象,如图:
    令g(x)=f(x)﹣k=0,即有y=f(x)的图象和直线y=k有两个交点.
    由图象可得,当0<k<1时,直线y=k和y=f(x)有两个交点,
    可得函数g(x)=f(x)﹣k的两个零点在(1,+∞).
    故选:D.

     
    10.已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上,且AB=6,BC=2,AC=4,则三棱锥O﹣ABC的体积为(  )
    A.4 B.12 C.18 D.36
    【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
    【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC,故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点,利用勾股定理计算出棱锥的高,代入体积公式计算.
    【解答】解:∵AB=6,BC=2,AC=4,
    ∴AB2+BC2=AC2,
    ∴AB⊥BC.
    过O作OD⊥平面ABC,则D为AC的中点.
    ∴OD===2.
    ∴VO﹣ABC===4.
    故选A.

     
    11.设F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左,右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()•=0(O为坐标原点),且||=||,则双曲线的离心率为(  )
    A. B. +1 C. D.
    【考点】双曲线的简单性质;平面向量数量积的运算.
    【分析】取PF2的中点A,利用=2,可得⊥,从而可得PF1⊥PF2,利用双曲线的定义及勾股定理,可得结论.
    【解答】解:取PF2的中点A,则=2
    ∵()•=0,∴2•=0
    ∴⊥
    ∵O是F1F2的中点
    ∴OA∥PF1,
    ∴PF1⊥PF2,
    ∵|PF1|=|PF2|,
    ∴2a=|PF1|﹣|PF2|=(﹣1)|PF2|,
    ∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,
    ∴c=|PF2|,
    ∴e===
    故选B
     
    12.已知偶函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f′(x),当x<0时有2f(x)+xf′(x)>x2,C,则不等式(x+2014)2f(x+2014)﹣4f(﹣2)<0的解集为(  )
    A.(﹣∞,﹣2012) B.(﹣2016,﹣2012) C.(﹣∞,﹣2016) D.(﹣2016,0)
    【考点】利用导数研究函数的单调性.
    【分析】通过观察2f(x)+xf′(x)>x2,不等式的左边像一个函数的导数,又直接写不出来,对该不等式两边同乘以x,∵x<0,∴会得到2xf(x)+x2f′(x)<x3,而这时不等式的左边是(x2f(x))′,所以构造函数F(x)=x2f(x),则能判断该函数在(﹣∞,0)上是减函数,根据函数f(x)的奇偶性,得到F(x)是偶函数,发现不等式(x+2014)2f(x+2014)﹣4f(﹣2)<0可以变成F(x+2014)<F(﹣2)=F(2),从而|x+2014|<2,解这个不等式便可.
    【解答】解:由2f(x)+xf′(x)>x2,(x<0);
    得:2xf(x)+x2f′(x)<x3
    即[x2f(x)]′<x3<0;
    令F(x)=x2f(x);
    则当x<0时,F'(x)<0,即F(x)在(﹣∞,0)上是减函数;
    ∴F(x+2014)=(x+2014)2f(x+2014),F(﹣2)=4f(﹣2);
    即不等式等价为F(x+2014)﹣F(﹣2)<0;
    ∵F(x)在(﹣∞,0)是减函数;
    偶函数f(x)是定义在R上的可导函数,f(﹣x)=f(x),
    ∴F(﹣x)=F(x),F(x)在(0,+∞)递增,
    ∴由F(x+2014)<F(﹣2)=F(2)得,|x+2014|<2,
    ∴﹣2016<x<﹣2012.
    ∴原不等式的解集是(﹣2016,﹣2012).
    故选:B.
     
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上.)
    13.在等比数列{an}中,a3a7=8,a4+a6=6,则a2+a8= 9 .
    【考点】等比数列的通项公式.
    【分析】设等比数列{an}的公比为q,由a3a7=8=a4a6,a4+a6=6,解得,.可得q2.于是a2+a8=.
    【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵a3a7=8=a4a6,a4+a6=6,
    解得,.
    ∴q2=2或.
    则a2+a8==9.
    故答案为:9.
     
    14.已知在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=,其外接圆的圆心为O,则 10 .
    【考点】平面向量数量积的运算.
    【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案.
    【解答】解: =()=﹣•,
    如图,根据向量数量积的几何意义得)﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10,
    故答案为:10.

     
    15.以下命题正确的是: ①③④ .
    ①把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位,可得到y=3sin2x的图象;
    ②四边形ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB中点,在长方形ABCD内随机取一点P,取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣;
    ③某校开设A类选修课3门,B类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有30种;
    ④在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4.
    【考点】命题的真假判断与应用.
    【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断.
    ②根据几何概型的概率公式进行判断.
    ③根据排列组合的计数原理进行判断.
    ④根据正态分布的概率关系进行判断.
    【解答】解:①把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位,得到y=3sin[2(x﹣)+]=3sin(2x﹣+)=3sin2x,即可得到y=3sin2x的图象;故①正确,
    ②解:已知如图所示:长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为,
    因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣;故②错误;
    ③可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31C42种不同的选法;
    (2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C41种不同的选法.
    ∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种.故要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有30种正确,故③正确,
    ④在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0).则正态曲线关于x=2对称,
    若ξ在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在[1,2]的概率P(1<x<2)=0.5﹣0.=4,
    则在(2,3)内取值的概率P(2<x<3)=P(1<x<2)=0.4.故④正确,
    故答案为:①③④

     
    16.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(3+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,且a=3,则△ABC面积的最大值为  .
    【考点】正弦定理.
    【分析】由(3+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,a=3,利用正弦定理可得(a+b)(a﹣b)=(c﹣b)c,化简利用余弦定理可得A,再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出.
    【解答】解:∵(3+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,a=3,
    ∴(a+b)(a﹣b)=(c﹣b)c,
    ∴b2+c2﹣a2=bc,
    ∴cosA==,
    ∵A∈(0,π),∴A=.
    ∴b2+c2=9+bc≥2bc,化为bc≤9,当且仅当b=c=3时取等号.
    ∴S△ABC==.
    故最大值为:.
     
    三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1,其中n∈N*.
    (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
    (Ⅱ)设anbn=,求数列{bn}的前n项和为Tn.
    【考点】数列的求和;数列递推式.
    【分析】( I)分n=1与n≥2讨论,从而判断出{an}是等比数列,从而求通项公式;
    ( II)化简可得=3(﹣),利用裂项求和法求解.
    【解答】解:( I)∵,①
    当n=1时,a1=a1﹣,∴a1=1,
    当n≥2时,∵Sn﹣1=an﹣1﹣,②
    ①﹣②得:
    an=an﹣an﹣1,
    即:an=3an﹣1(n≥2),
    又∵a1=1,a2=3,
    ∴对n∈N*都成立,
    故{an}是等比数列,
    ∴.
    ( II)∵,
    ∴=3(﹣),
    ∴,
    ∴,
    即Tn=.
     
    18.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如图的频率分布直方图.
    (Ⅰ)试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数;
    (Ⅱ)为了进一步调查学生的护眼习惯,学习小组成员进行分层抽样,在视力4.2~4.4和5.0~5.2的学生中抽取9人,并且在这9人中任取3人,记视力在4.2~4.4的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

    【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.
    【分析】(I)设各组的频率为f1=0.03,f2=0.07,f3=0.27,f4=0.26,f5=0.23,由此求出视力在5.0以上的频率,从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数.
    (II)依题意9人中视力在4.2~4.4和5.0~5.2的学生分别有3人和6人,X可取0、1、2、3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望.
    【解答】(本小题满分12分)
    解:(I)设各组的频率为fi(i=1,2,3,4,5,6),
    f1=0.03,f2=0.07,f3=0.27,f4=0.26,f5=0.23,
    ∴视力在5.0以上的频率为1﹣(0.03+0.07+0.27+0.26+0.23)=0.14,
    估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人. …
    (II)依题意9人中视力在4.2~4.4和5.0~5.2的学生分别有3人和6人,X可取0、1、2、3,



    .…
    X的分布列为
    X
    0

    1
    2
    3
    P




    X的数学期望.…
     
    19.已知:矩形A1ABB1,且AB=2AA1,C1,C分别是A1B1、AB的中点,D为C1C中点,将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角,如图所示.

    (Ⅰ)求证:AB1⊥A1D;
    (Ⅱ)求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值..
    【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系.
    【分析】(I)连结AB、A1B1,则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱.取BC中点O,B1C1的中点O1,连结OA,OO1,以O为原点建立坐标系,设AA1=2,求出和的坐标,通过计算得出AB1⊥A1D;
    (II)求出平面A1B1D的法向量,则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos<>|.
    【解答】证明:(Ⅰ)连结AB、A1B1,
    ∵C1,C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点,
    ∴AC⊥CC1,BC⊥CC1,AC∩BC=C
    ∴CC1⊥面ABC
    ∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角,则∠ACB=60°.
    ∴△ABC为正三角形,即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱.
    取BC中点O,B1C1的中点O1,连结OA,OO1,则OA⊥平面BB1C1C,OO1⊥BC.
    以O为原点,以OB,OO1,OA的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
    不妨设AA1=2,则A(0,0,),B1(1,2,0),D(﹣1,1,0),A1(0,2,).
    ∴=(1,2,﹣),,
    ∴=1×(﹣1)+2×(﹣1)+(﹣)×(﹣)=0,

    ∴AB1⊥A1D.
    (Ⅱ)=(1,0,﹣),
    设平面A1B1D的法向量为=(x,y,z).则,.
    ∴,令z=1,得.
    ∴cos<>===﹣.
    ∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为.

     
    20.已知以A为圆心的圆(x﹣2)2+y2=64上有一个动点M,B(﹣2,0),线段BM的垂直平分线交AM于点P,点P的轨迹为E.
    (Ⅰ)求轨迹E的方程;
    (Ⅱ)过A点作两条相互垂直的直线l1,l2分别交曲线E于D,E,F,G四个点,求|DE|+|FG|的取值范围.
    【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
    【分析】(Ⅰ)连接PB,依题意得PB=PM,从而推导出点P的轨迹E是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆,由此能求出E的轨迹方程.
    (Ⅱ) 当直线l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,|DE|+|FG|=6+8=14,当直线l1的斜率存在且不为0时,设直线l1的方程y=k(x﹣2),联立,整理得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣48=0,由此利用韦达定理、弦长公式,结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围.
    【解答】(本小题满分12分)
    解:(Ⅰ)连接PB,依题意得PB=PM,所以PB+PA=PM=8
    所以点P的轨迹E是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆,
    所以a=4,c=2,,
    所以E的轨迹方程是. …
    (Ⅱ) 当直线l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,|DE|+|FG|=6+8=14,
    当直线l1的斜率存在且不为0时,设直线l1的方程y=k(x﹣2),设D(x1,y1),E(x2,y2),
    联立,整理得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…
    ,,
    所以DE===,…
    设直线l2的方程为,
    所以,
    所以,…
    设t=k2+1,所以t>1,所以,
    因为t>1,所以,所以|DE|+|FG|的取值范围是.…
     
    21.已知函数f(x)=lnx+,a∈R,且函数f(x)在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0.
    (Ⅰ)实数a的值;
    (Ⅱ)若在[1,e](e=2.718…)上存在一点x0,使得x0+<mf(x0)成立,求实数m的取值范围.
    【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.
    【分析】(Ⅰ)求出导函数,根据导函数的概念求解即可;
    (Ⅱ)构造函数,只需求出函数的最小值小于零即可,求出函数的导函数,对参数m进行分类讨论,判断函数的单调性,求出函数的最小值,最后得出m 的范围..
    【解答】解:(Ⅰ)∵,函数f(x)在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0.
    ∴f'(1)=1﹣a=2
    ∴a=﹣1
    (Ⅱ)若在[1,e](e=2.718…)上存在一点x0,使得成立,
    构造函数的最小值小于零.

    ①当m+1≥e时,即m≥e﹣1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,…
    由可得,
    因为,所以; …
    ②当m+1≤1,即m≤0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
    由h(1)=1+1+m<0可得m<﹣2; …
    ③当1<m+1<e,即0<m<e﹣1时,
    最小值为h(1+m),
    因为0<ln(1+m)<1,所以,0<mln(1+m)<m,
    h(1+m)=2+m﹣mln(1+m)>2
    此时,h(1+m)<0不成立.
    综上所述:可得所求m的范围是:或m<﹣2.…
     
    四.本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.[选修4-1:几何证明讲]
    22.如图,已知AB为圆O的一条直径,以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点,交圆O于E、F两点,过点D作垂直于AD的直线,交直线AF于H点.
    (Ⅰ)求证:B、D、H、F四点共圆;
    (Ⅱ)若AC=2,AF=2,求△BDF外接圆的半径.

    【考点】圆內接多边形的性质与判定;与圆有关的比例线段.
    【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出BF⊥FH,DH⊥BD,由此能证明B、D、F、H四点共圆.
    (2)因为AH与圆B相切于点F,由切割线定理得AF2=AC•AD,解得AD=4,BF=BD=1,由△AFB∽△ADH,得DH=,由此能求出△BDF的外接圆半径.
    【解答】(Ⅰ)证明:因为AB为圆O一条直径,所以BF⊥FH,…
    又DH⊥BD,
    故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上,
    所以B、D、F、H四点共圆.…
    (2)解:因为AH与圆B相切于点F,
    由切割线定理得AF2=AC•AD,即(2)2=2•AD,
    解得AD=4,…
    所以BD=,BF=BD=1,
    又△AFB∽△ADH,
    则,得DH=,…
    连接BH,由(1)知BH为DBDF的外接圆直径,
    BH=,
    故△BDF的外接圆半径为.…

     
    [选修4-4:坐标系与参数方程]
    23.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6.若以极点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
    (Ⅰ)求圆C的参数方程;
    (Ⅱ)在直角坐标系中,点P(x,y)是圆C上动点,试求x+y的最大值,并求出此时点P的直角坐标.
    【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
    【分析】(Ⅰ)求出圆的普通方程,然后求解圆C的参数方程;
    (Ⅱ)利用圆的参数方程,表示出x+y,通过两角和与差的三角函数,求解最大值,并求出此时点P的直角坐标.
    【解答】(本小题满分10分)选修4﹣4:坐标系与参数方程
    解:(Ⅰ)因为ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6,
    所以x2+y2=4x+4y﹣6,
    所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0,
    即(x﹣2)2+(y﹣2)2=2为圆C的普通方程.…
    所以所求的圆C的参数方程为(θ为参数).…
    (Ⅱ)由(Ⅰ)可得,…
    当时,即点P的直角坐标为(3,3)时,…x+y取到最大值为6.…
     
    [选修4-5:不等式选讲]
    24.已知a、b都是实数,a≠0,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|.
    (1)若f(x)>2,求实数x的取值范围;
    (2)若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x)对满足条件的所有a、b都成立,求实数x的取值范围.
    【考点】函数恒成立问题.
    【分析】(1)利用绝对值的意义,|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标,从而得出结论.
    (2)转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤,利用函数恒成立以及绝对值的几何意义,求出x的范围即可.
    【解答】解:(1)由f(x)>2,即|x﹣1|+|x﹣2|>2.
    而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,
    而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和,
    故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜,
    (2)由题知,|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立,故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值.
    ∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|,当且仅当 (a+b)(a﹣b)≥0 时取等号,
    ∴的最小值等于2,∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解.
    由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,又由于数轴上的、对应点到
    1和2对应点的距离之和等于2,故不等式的解集为[,],
    故答案为[,].
     

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