2024年福建省漳州市龙文区高考数学模拟试卷（6月份）-普通用卷

这是一份2024年福建省漳州市龙文区高考数学模拟试卷（6月份）-普通用卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|x=k+12,k∈Z},N={x|x=k2+1,k∈Z}，则( )
A. M⊆NB. N⊆MC. M=ND. M∩N=⌀
2.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(sinπ3,csπ3)，则cs(α+π6)=( )
A. 0B. 12C. 22D. 32
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=t⋅2n−1−1，则t=( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第45百分位数是( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
5.已知△ABC是边长为1的正三角形，AN=13NC,P是BN上一点且AP=mAB+29AC，则AP⋅AB=( )
A. 29B. 19C. 23D. 1
6.已知复数z满足|z|=1，且|z−1|=|z+i|，则z2=( )
A. 1B. −1C. iD. −i
7.已知双曲线C：x2a2−y24=1(a>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上运动(不与顶点重合)，设PF1与双曲线的左支交于点Q，△PQF2的内切圆与QF2相切于点M.若|QM|=4，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
8.已知a，b∈R，定义：min{a,b}=a,aA. (0,1)B. (0,2)C. (−1,0)D. (−2,0)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列命题为真命题的是( )
A. 若a3+a4=9，a7+a8=18，则a1+a2=5
B. 若a2+a13=4，则S14=28
C. 若S15<0，则S7>S8
D. 若{an}和{an⋅an+1}都为递增数列，则an>0
10.存在函数f(x)满足：对于任意的x∈R，都有( )
A. f(sinx)=cs2xB. f(cs2x)=sinx
C. f(x2+2x)=|x+1|D. f(x2+1)=|x+1|
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球为球O，E，F分别是棱AD，BB1的中点，G在棱AB上移动，则( )
A. 对于任意点G，OD//平面EFG
B. 直线EF被球O截得的弦长为 2
C. 过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2
D. 当G为AB的中点时，过E，F，G的平面截该正方体所得截面的面积为2 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2asinB，bc=4，则△ABC的面积为______.
13.已知随机事件A，B，若P(A)=13，P(B|A)=35，P(A−|B)=47，则P(B)=______.
14.已知函数f(x)=e2x−1−e1−2x+sin(π2x−π4)+1，则不等式f(2x+1)+f(2−x)≥2的解集为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ex−ax−1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若对任意的x≥0，f(x)≥0恒成立，求a的范围.
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，AB⊥BC，CC1=2 3，BE=λBB1(0<λ<1).
(1)当λ=13时，求证：CE⊥平面ABC1；
(2)设二面角B−AE−C的大小为θ，求csθ的取值范围.
17.(本小题15分)
一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目.
(1)若N=5000，求X的数学期望；
(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X=15)最大的N的值作为N的估计值).
18.(本小题17分)
已知A(−2,0)，B(2,0)，F1(−1,0)，F2(1,0)，动点P满足kPA⋅kPB=−34，动点P的轨迹为曲线τ：PF1交τ于另外一点Q，PF2交τ于另外一点R.
(1)求曲线τ的标准方程；
(2)已知|PF1||QF1|+|PF2||RF2|是定值，求该定值；
(3)求△PQR面积的范围.
19.(本小题17分)
定义：若对∀k∈N*，k≥2，ak−1+ak+1≤2ak恒成立，则称数列{an}为“上凸数列”.
(1)若an= n2−1，判断{an}是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由.
(2)若{an}为“上凸数列”，则当m≥n+2(m,n∈N*)时，am+an≤am−1+an+1.
(ⅰ)若数列Sn为{an}的前n项和，证明：Sn≥n2(a1+an)；
(ⅱ)对于任意正整数序列x1，x2，x3，…，xi，…，xn(n为常数且n≥2，n∈N*)，若i=1n xi2−1≥ (i=1nxi−λ)2−1恒成立，求λ的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：M={x|x=k+12,k∈Z}={x|x=2k+12,k∈Z}，N={x|x=k2+1,k∈Z}={x|x=k+22,k∈Z}，
因为2k+1，k∈Z表示所有的奇数，而k+2，k∈Z表示所有的整数，则M⊆N.
故选：A.
通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系．
本题考查了集合的描述法的定义，子集的定义，是中档题．
2.【答案】B
【解析】解：始边与x轴的非负半轴重合，
终边经过点P(sinπ3,csπ3)，即P(csπ6,sinπ6)，
故α=π6+2kπ，k∈Z，
所以cs(α+π6)=cs(π3+2kπ)=12.
故选：B.
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．
根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】
解：设等比数列的公比为q，
当q=1时，Sn=na1，不合题意，
当q≠1时，等比数列前n项和公式Sn=a1(1−qn)1−q=−a11−q⋅qn+a11−q，
Sn=t⋅2n−1−1=12t⋅2n−1，
故12t+(−1)=0，解得t=2.
故选：A.
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，
则极差为21−1=20，故该组数据的中位数是20×35=12，
数据共6个，故中位数为m+122=12
解得m=12，
因为6×45%=2.7，
所以该组数据的第45百分位数是第3个数12.
故选：D.
根据题意算出极差，进而得到该组数据的中位数，列式求出m，进而利用百分位数的定义得出答案．
本题主要考查了极差、中位数和百分位数的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为AN=13NC，所以AN=14AC，
因为B，P，N三点共线，
所以AP=λAN+(1−λ)AB=λ4AC+(1−λ)AB，
因为AP=mAB+29AC，所以1−λ=mλ4=29，
解得m=19，即AP=19AB+29AC，
所以AP⋅AB=(19AB+29AC)⋅AB=19AB2+29AB⋅AC=19×1+29×1×1×12=29.
故选：A.
由平面向量的线性运算计算可得m=19，再由平面向量的数量积运算计算即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
由|z|=1，且|z−1|=|z+i|，
得a2+b2=1 (a−1)2+b2= a2+(b+1)2，解得a= 22b=− 22或a=− 22b= 22.
∴z2=(a+bi)2=a2−b2+2abi=−i.
故选：D.
设z=a+bi(a,b∈R)，由|z|=1，且|z−1|=|z+i|，可得关于a，b的方程组，求解a与b的值，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：如图，设△PQF2的内切圆的圆心为B，内切圆B分别与QF2，PQ，PF2相切于点M，N，T，
由圆的切线性质可知，|QM|=|QN|，|MF2|=|TF2|，|PN|=|PT|，
又|QM|=4，于是|QN|=4，
由双曲线定义可知，|PF1|−|PF2|=2a，|QF2|−|QF1|=2a，即|QF1|+4+|PN|−(|PT|+|TF2|)=2a4+|MF2|−|QF1|=2a，即|QF1|−|TF2|=2a−4|MF2|−|QF1|=2a−4，
∴4a−8=0，解得a=2，
∴c= a2+b2= 4+4=2 2，
∴e=ca= 2.
故选：A.
作图，设内切圆B分别与QF2，PQ，PF2相切于点M，N，T，易知|QM|=|QN|，|MF2|=|TF2|，|PN|=|PT|，|QM|=|QN|=4，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，|QF2|−|QF1|=2a，以上两式联立化简可得4a−8=0，进而求得a的值，进一步可求得离心率．
本题考查双曲线离心率的求法，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：令函数g(x)=2x−a−(−x+6−a)=2x+x−6，显然函数g(x)在R上单调递增，
而g(2)=0，则当x<2时，2x−a<−x+6−a，当x≥2时，2x−a≥−x+6−a，
∴函数f(x)=2x−a,x<2−x+6−a,x≥2，
进而得f(x)+ax=2x+ax−a,x<2−x+6+ax−a,x≥2，
令函数h(x)=2x,x<2−x+6,x≥2，
由f(x)+ax=0，得h(x)=−a(x−1)，
∴函数y=f(x)+ax的零点，
即函数y=h(x)的图象与直线y=−a(x−1)交点的横坐标，
当x<2，恒有h(x)>0，
在同一坐标系内作出直线y=−a(x−1)与函数y=h(x)的图象，如图所示：
观察图象知，当−a≥0，即a≤0时，直线y=−a(x−1)与函数y=h(x)的图象只有一个交点，
如图，直线y=4(x−1)过点(1,0)，(2,4)，
它与y=2x的图象交于两点(2,4)，(3,8)，
当x<2时，2x>4(x−1)，
当−a≤−1，即a≥1时，直线y=−a(x−1)与函数y=h(x)的图象只有一个交点，
当−1<−a<0，即0又∵函数y=f(x)+ax有两个零点，
∴实数a的取值范围是(0,1).
故选：A.
用分段函数表示出函数f(x)，利用函数零点的意义变形，构造函数并画出函数图象，数形结合求出a的范围．
本题属于新概念题，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A中，由a3+a4=9，a7+a8=18，
可得(a7+a8)−(a3+a4)=8d=9，所以d=98，
又由a1+a2=(a3+a4)−4d=9−4×98=92，所以A错误；
对于B中，由S14=14(a1+a14)2=14(a2+a13)2=28，所以B正确；
对于C中，由S15=15(a1+a15)2=15a8<0，所以a8<0，
又因为S8−S7=a8<0，则S7>S8，所以C正确；
对于D中，因为{an}为递增数列，可得公差d>0，
因为{anan+1}为递增数列，可得an+2an+1−anan+1=an+1⋅2d>0，
所以对任意的n≥2，an>0，但a1的正负不确定，所以D错误．
故选：BC.
根据题意，求得d=98，结合a1+a2=(a3+a4)−4d，可判定A错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B正确；由S15<0，求得a8<0，可判定C正确；根据题意，求得任意的n≥2，an>0，结合a1的正负不确定，可判定D错误．
本题考查等比数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，f(sinx)=cs2x=1−2sin2x，
则f(x)=1−2x2，x∈[−1,1]，故A正确；
对于B，令cs2x=t，t∈[−1,1]，
则1−2sin2x=t，即sinx=± 1−t2，
y=f(t)不能构成函数，故B错误；
对于C，令x2+2x=t，t∈[−1,+∞),
则x=−1± t+1，
故f(t)= t+1，符合题意，故C正确；
对于D，令x2+1=2，解得x=1或−1，
当x=1时，f(2)=2，
当x=−1时，f(2)=0，故不满足函数的定义，故D错误．
故选：AC.
根据已知条件，结合换元法，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：当G与A重合时，D在平面EFG内，O在平面EFG外，OD与平面EFG相交，故A错误；
如图，点H是线段EF的中点，易知EF= 6，OE=OF= 2，所以OH⊥EF，所以OH= ( 2)2−( 62)2= 22，
所以EF被球O所截得的弦长为2 1−( 22)2= 2，故B错误；
当OH垂直于过EF的平面时截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为 22，故其面积为S=π( 22)2=π2，故C正确；
当G为棱AB的中点时，过E，F，G的截面为正六边形(如图)，其边长为 2，
故其面积为6× 34×( 2)2=3 3，故D错误．
故选：BC.
A项，当G与A重合时不符合情况；B项，C项，利用勾股定理即可得；D项，当G为棱AB的中点时，过E，F，G的截面为正六边形，由此即可得．
本题考查球的综合问题，属于中档题．
12.【答案】1
【解析】解：因为b=2asinB，bc=4，
由正弦定理可得sinB=2sinAsinB，
在△ABC中，sinB>0，
所以sinA=12，
所以S△ABC=12bcsinA=12×4×12=1.
故答案为：1.
由题意及正弦定理可得sinA的值，再由三角形的面积公式，可得该三角形的面积．
本题考查正弦定理及三角形的面积公式的应用，属于基础题．
13.【答案】715
【解析】解：由题意可得，P(B|A)=P(AB)P(A)=35，且P(A)=13，则P(AB)=15，
又因为P(A−|B)=47，则P(A|B)=1−P(A−|B)=37，
且P(A|B)=P(AB)P(B)，所以P(B)=P(AB)P(A|B)=1537=715.
故答案为：715.
根据题意，由公式可得P(AB)=15，再由P(A|B)=1−P(A−|B)，再结合条件概率的公式即可得到结果．
本题主要考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】[−2,+∞)
【解析】解：因为f(x)=e2x−1−e1−2x+sin(π2x−π4)+1，
所以f(1−x)=e1−2x−e2x−1+sin[π(1−x)2−π4]+1=e1−2x−e2x−1+sin(π2x−π4)+1，
所以f(1−x)+f(x)=2，即f(x)的图像关于点(12,1)中心对称，
因为f′(x)=2e2x−1+2e1−2x+π2cs(πx2−π4)≥2 2e2x−1×2e1−2x+π2cs(πx2−π4)=4+π2cs(πx2−π4)>0，
当且仅当x=12时取等号，
所以f(x)在R上单调递增，
由f(1−x)+f(x)=2，得f(2−x)+f(−1+x)=2，
由f(2x+1)+f(2−x)≥2可得(2x+1)+f(2−x)≥f(2−x)+f(−1+x)，
即f(2x+1)≥f(−1+x)，
所以2x+1≥−1+x，解得x≥−2.
故答案为：[−2,+∞).
根据函数解析式特征，判断其图象关于点(12,1)中心对称；通过求导判断导函数为正得f(x)在R上单调递增；再利用对称性将f(2x+1)+f(2−x)≥2进行等价转化，最后利用单调性求解抽象不等式即得．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)f′(x)=ex−a，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，令f′(x)>0，可得x>lna，令f′(x)<0，可得x所以f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
(2)因为f(0)=0，
由(1)知当a≤0时，f(x)在[0,+∞)上单调递增，
f(x)≥f(0)=0，符合题意；
当a>0时，
若0f(x)≥f(0)=0，符合题意；
若a>1时，lna>0，则f(x)在[0,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
则f(lna)综上，a≤1，即a的范围是(−∞,1].
【解析】(1)对f(x)求导，再对a分类讨论，由导数与函数单调性的关系即可得解；
(2)由(1)中结论，分a≤0和a>0两种情况讨论，判断函数值的大小，从而可得符合条件的a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，
所以以BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为AB=BC=2，CC1=2 3，
则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2 3)，E(0,0,2 3λ)，
当λ=13时，E(0,0,2 33)，
所以AB=(0,−2,0)，BC1=(2,0,2 3)，CE=(−2,0,2 33)，
所以AB⋅CE=0，BC1⋅CE=0，
即CE⊥AB，CE⊥BC1，
又AB∩BC1=B，AB⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，
所以CE⊥平面ABC1.
(2)AC=(2,−2,0)，AE=(0,−2,2 3λ)，
设平面AEC的法向量为n=(x,y,z)，
则AC⋅n1=2x−2y=0AE⋅n1=−2y+2 3λz=0，
令z=1，则n=( 3λ, 3λ,1)，
因为BC⊥平面ABE，所以平面ABE的法向量为m=(2,0,0)，
所以|csθ|=|n1⋅n2||n1|×|n2|= 3λ 6λ2+1= 3 6+1λ2，
因为0<λ<1，所以csθ∈(0, 217).
【解析】(1)以BC，BA，BB1为基底建立如图所示空间直角坐标系，得出AB⋅CE=0，BC1⋅CE=0，进而确定CE⊥AB，CE⊥BC1，即可得证；
(2)分别求出平面AEC和平面ABE的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查线面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)依题意X服从超几何分布，且N=5000，M=200，n=500，
故E(X)=n×MN=500×2005000=20；
(2)当N<685时，P(X=15)=0，
当N≥685时，P(X=15)=C20015CN−200485CN500，
记a(N)=C20015CN−200485CN500，
则a(N+1)a(N)=CN+1−200485CN500CN+1500CN−200485
=(N+1−500)(N+1−200)(N+1)(N+1−200−485)
=(N−499)(N−199)(N+1)(N−684)
=N2−698N+499×199N2−683N−684，
由N2−698N+499×199>N2−683N−684，
当且仅当N<499×199+68415≈6665.7，
则可知当685≤N≤6665时，a(N+1)>a(N)；
当N≥6666时，a(N+1)故N=6666时，a(N)最大，
所以N的估计值为6666.
【解析】(1)首先求出标鱼占总体的比例，再分析其符合超几何分布，根据超几何分布期望的计算公式即可得到答案．
(2)首先计算出当N<685时，P(X=15)=0，当N≥685时，P(X=15)=C20015CN−200485CN500，记a(N)=C20015CN−200485CN500，计算a(N+1)a(N)，从而得到a(N)的单调性，最后得到其最大值．
本题重点考查了超几何分布的分布列与期望的计算，属于中档题．
18.【答案】解：(1)令P(x,y)，因为kPA⋅kPB=−34，
所以yx+2⋅yx−2=−34，
整理可得x24+y23=1(y≠0)；
即曲线τ的标准方程为：x24+y23=1(y≠0)；
(2)设P(x0,y0)，Q(x1,y1)，R(x2,y2)，
设直线PQ和直线PR的方程为x=my−1，x=ny+1，
联立PQ和椭圆联立x=my+1x24+y23=1，整理可得：(3m2+4)y2−6my−9=0，
可得y0+y1=6m4+3m2y0y1=−94+3m2，又因为x0=my0−1，x0=ny0+1，
同理可得y0+y2=−6n4+3n2，
又因为x0=my0−1，x0=ny0+1，所以y0+y1y0y1=−23m=−2x0+13，
所以y0+y1y1=−23x0−23，即y0y1=−23x0−53，
同理可得y0+y2y0y2=23n=23⋅x0−1y0，y0+y2y2=23x0−23，
即y0y2=23x0−53，
所以|PF1||QF1|+|PF2||RF2|=|y0|y1|+|y0y2|=−(y0y1+y0y2)=103；
(3)不妨设y0>0，于是S△PQRS△PF1F2=12|PQ|⋅|PR|sin∠QPR12|PF1|⋅|PF2|sin∠QPR=|PQ|⋅|PR||PF1|⋅|PF2|=λ⋅μ，
因为S△PQR=λμ⋅12⋅|F1F2|⋅y0=y0⋅2x0+82x0+5⋅2x0−82x0−5=y0⋅x02−16x02−254，
又因为x02=4(1−y023)，
所以S△PQR=y0⋅4−43y02−164−43y02−254=y0⋅y02+9y02+2716.
设f(y0)=y0⋅y02+9y02+2716，y0∈(0, 3],
可得f(y0)=y0(1+11716y02+27)=y0+11716y0+27y0，y0∈(0, 3],
令g(y0)=16y0+27y0，令16y0=27y0，可得y0=3 34∈(0, 3],
可得g(y0)>0在(0, 3]上单调递减，
所以f(y0)在(0, 3]上单调递增，
所以S△PQR∈(0, 3(3+9)3+2716],
即S△PQR∈(0,6425 3].
【解析】(1)设点P的坐标，由题意可得点P的横纵坐标的关系，即曲线τ的标准方程；
(2)设直线PQ和直线PR的方程，与椭圆的方程联立，可得Q，R的坐标的关系，进而可得|PF1||QF1|+|PF2||RF2|为定值；
(3)由题意可得S△PQRS△PF1F2的比值，由题意可得△PQR面积的表达式，由函数的单调性，可得面积的取值范围．
本题考查点的轨迹方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1){an}是“上凸数列”，理由如下：
因为an= n2−1,an+1−an= (n+1)2−1− n2−1，
令f(x)= (x+1)2−1− x2−1,x≥1，
则f′(x)=x+1 (x+1)2−1−x x2−1= (x+1)3(x−1)− x3(x+2) (x+1)2−1⋅ x2−1.
当x≥1时，(x+1)3(x−1)−x3(x+2)=−2x−1<0，所以 (x+1)3(x−1)< x3(x+2)，
所以f′(x)<0，f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，
所以f(n)>f(n+1)，an+1−an>an+2−an+1，
所以an+2+an≤2an+1，
所以{an}是“上凸数列”．
(2)(ⅰ)证明：因为{an}是“上凸数列”，由题意可得对任意1≤i≤n(i∈N*)，
ai+an−i+1≥ai−1+an−i+2≥ai−2+an−i+3……≥a2+an−1≥a1+an，
所以2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+……+(an−1+a2)+(an+a1)≥n(a1+an)，
所以Sn≥n2(a1+an).
(ⅱ)令an= n2−1，
由(1)可得当an= n2−1时，{an}是“上凸数列”，
由题意可知，当m≥n+2(m,n∈N*)时，am+an≤am−1+an+1.
因为i=1n xi2−1= x12−1+ x22−1+ x32−1+⋯⋯+ xn2−1，
即为i=1n xi2−1= x12−1+ x22−1+ x32−1+⋯⋯+ (i=1nxi−x1−x2−⋯⋯−xn−1)2−1.
所以i=1n xi2−1≥ (x1−x1+1)2−1+ x22−1+⋯⋯+ (i=1nxi−x1−x2−⋯⋯−xn−1+x1−1)2−1
≥ 12−1+ (x2−x2+1)2−1+⋯⋯+ ( ni=1xi−1−x2−⋯⋯−xn−1+x2−1)2−1.
≥0+0+0+……+ (i=1nxi−n+1)2−1≥ (i=1nxi−λ)2−1，
当且仅当x1=x2=……=xn−1时等号成立，所以λ≥n−1.
综上所述，λ的最小值为n−1.
【解析】(1)构造函数f(x)= (x+1)2−1− x2−1,x≥1，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；
(2)(i)利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；(ⅱ)令an= n2−1，利用条件及数列求和适当放缩计算即可．
本题主要考查数列的应用，属于难题．