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福建省高考数学模拟试卷(理科)
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这是一份福建省高考数学模拟试卷(理科)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．若集合A={x|x2＜2x}，集合B={x|x＜}，则A∩（∁RB）等于（ ）
A．（﹣2，] B．（2，+∞） C．（﹣∞，] D．D[，2）
2．已知复数z=，则在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则cosx等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y=±x C．y=±2x D．y=±
5．从4男2女共6名学生中选派2人参加某项爱心活动，则所选2人中至少有1名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD=，E是CD的中点，则•等于（ ）
A．2 B．﹣3 C．4 D．6
7．已知函数f（x）=2x+log2x+b在区间（，4）上有零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．（﹣10，0） B．（﹣8，1） C．（0，10） D．（1，12）
8．执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
10．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）
A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A
11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=（x+1）2ex，设k∈[﹣3，﹣1]，对任意x1，x2∈[k，k+2]，则|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为（ ）
A．4e﹣3 B．4e C．4e+e﹣3 D．4e+1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a3+a4+a5= ．
14．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为 ．
15．在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为 ．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，＜C＜， =，a=3，sinB=，则b= ．
三、解答题（共5小题，满分60分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=且13a2=3S3（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前项n和Tn．
18．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC=BC，求二面角A﹣BP﹣D的正弦值．
20．过抛物线L：x2=2py（p＞0）的焦点F且斜率为的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5．
（1）求抛物线L的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．
21．已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．
（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；
（2）设g（x）=，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤成立，求实数a的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．
福建省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（共12小题，每小题分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．若集合A={x|x2＜2x}，集合B={x|x＜}，则A∩（∁RB）等于（ ）
A．（﹣2，] B．（2，+∞） C．（﹣∞，] D．D[，2）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先化简A，B，再求∁RB，A∩（∁RB）．
【解答】解：∵x2＜2x，即x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，
∴A=（0，2），
B={x|x＜}=（﹣∞，），
∴∁RB=[，+∞），
∴A∩（∁RB）=[，2），
故选：D．
2．已知复数z=，则在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】化简复数方程，复数的分母实数化，再求出共轭复数，可得结果．
【解答】解：z====﹣2+i，
∴=﹣2﹣i，
∴复数在复平面上所对应的点的坐标为（﹣2，﹣1），
故选：D．
3．已知，则cosx等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值．
【解答】解：∵，
∴sin（x﹣+）=sin（x﹣）=﹣cosx=，
∴cosx=﹣．
故选：B．
4．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y=±x C．y=±2x D．y=±
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a=，b=，由题意可得2=4，解得k，即有双曲线的方程和渐近线方程．
【解答】解：双曲线（k＜0）即为
﹣=1，
可得a=，b=，
由题意可得2=4，
解得k=﹣2，
即有双曲线的方程为﹣=1，
即有渐近线方程为y=±x．
故选：D．
5．从4男2女共6名学生中选派2人参加某项爱心活动，则所选2人中至少有1名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】所选2人中至少有1名女生的对立事件为所选2人都是男生，由此能求出所选2人中至少有1名女生的概率．
【解答】解：从4男2女共6名学生中选派2人参加某项爱心活动，
基本事件数n==15，
所选2人中至少有1名女生的对立事件为所选2人都是男生，
∴所选2人中至少有1名女生的概率：
p=1﹣=．
故选：B．
6．在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD=，E是CD的中点，则•等于（ ）
A．2 B．﹣3 C．4 D．6
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算．
【解答】解：以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（4，0），C（5，），D（1，）．E（3，）．
∴=（5，），=（1，﹣）．∴•=5×1﹣=2．
故选：A．
7．已知函数f（x）=2x+log2x+b在区间（，4）上有零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．（﹣10，0） B．（﹣8，1） C．（0，10） D．（1，12）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】判断函数的单调性，利用零点的性质，列出不等式，即可求出实数b的取值范围．
【解答】解：∵y1=2x+b单调递增，y2=log2x单调递增
∴f（x）=2x+log2x+b单调递增
又∵数f（x）=2x+log2x+b在区间（，4）上有零点，
∴f（）＜0，f（4）＞0．
∴1﹣1+b＜0，8+2+b＞0
∴﹣10＜b＜0．
故选：A．
8．执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】程序框图；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，求出m的范围，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，i=2，应该不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，S=6，i=3，应该不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，S=13，i=4，应该不满足退出循环的条件；
第四次执行循环体后，S=23，i=5，应该满足退出循环的条件；
故，解得：，
故“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的必要不充分条件，
故选：B
9．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
【考点】余弦函数的对称性．
【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ=，
∴f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），
则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣） 的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，
故选：C．
10．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）
A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，
四边形ABCD是一个边长为4的正方形，
且AF⊥面ABCD，DE∥AF，DE=4，AF=2，
∴AF⊥AB、DE⊥DC、DE⊥BD，
∴EC==4，EF=FB==2，
BE===4，
∵A为此几何体所有棱的长度构成的集合，
∴A={2，4，4，4，4}，
故选：D．
11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设x=﹣c，代入椭圆方程，求得A的坐标，设出C（x，y），由△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，可得=2，运用向量的坐标运算可得x，y，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值．
【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
由x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，
可设A（﹣c，），C（x，y），
由△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，
可得=2，
即有（2c，﹣）=2（x﹣c，y），
即2c=2x﹣2c，﹣=2y，
可得x=2c，y=﹣，
代入椭圆方程可得， +=1，
由e=，b2=a2﹣c2，
即有4e2+﹣e2=1，
解得e=．
故选：A．
12．已知函数f（x）=（x+1）2ex，设k∈[﹣3，﹣1]，对任意x1，x2∈[k，k+2]，则|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为（ ）
A．4e﹣3 B．4e C．4e+e﹣3 D．4e+1
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求导函数，求得函数的单调区间，进而可求函数的最值，即可求得结论．
【解答】解：求导函数，可得f′（x）=（x+1）2ex=（x2+4x+3）ex，
令f′（x）＞0，可得x＜﹣3或x＞﹣1；令f′（x）＜0，可得﹣3＜x＜﹣1
∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣3），（﹣1，+∞），单调减区间为（﹣3，﹣1）
∵k∈[﹣3，﹣1]，x1，x2∈[k，k+2]，f（﹣3）=4e﹣3，f（﹣1）=0，f（1）=4e
∴f（x）max=f（1）=4e，f（x）min=f（﹣1）=0
∴|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为4e，
故选B．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a3+a4+a5= 0 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x=1，可得：1=a1+a2+a3+a4+a5，另一方面：x（1﹣2x）4的一次项的系数为1．可得a1．即可得出．
【解答】解：∵x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
令x=1，则1×（1﹣2）4=1=a1+a2+a3+a4+a5，
另一方面：x（1﹣2x）4的一次项的系数为1×1=1．
∴a1=1．
则a2+a3+a4+a5=1﹣1=0．
故答案为：0．
14．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，易知z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣1，0）连线的直线的斜率，
故当B（1，1）时，z=有最小值，
z==；
故答案为：．
15．在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为 12π ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意，连接AC交BD于H，则AC⊥平面PDB，连接PH，则∠CPH是直线PC与平面PDB所成的角，求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积．
【解答】解：由题意，连接AC交BD于H，则AC⊥平面PDB，
连接PH，则∠CPH是直线PC与平面PDB所成的角，即∠CPH=30°，
∵CH=，
∴PC=2，
∴PD=2，
∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为，
∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=12π．
故答案为：12π．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，＜C＜， =，a=3，sinB=，则b= ．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理和三角形的知识化简已知条件可得A=C，a=c，由sinB=可得cosB=，由余弦定理可得b值．
【解答】解：在△ABC中，∵=，∴=，
∴sinAsinB﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C，
∴sinAsinB=sinAsin2C，即sinB=sin2C，
∴sin（A+C）=sin2C，
∵＜C＜，∴A+C＞，＜2C＜π，
∴A+C=2C，即A=C，a=c，
由sinB=可得cosB=，
∴b2=2a2﹣2a2cosB=3，故b=．
三、解答题（共5小题，满分60分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=且13a2=3S3（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前项n和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q＜1，根据a1=，且13a2=3S3（n∈N*）．可得13a1q=3a1（1+q+q2），解出即可得出．
（2）bn=nan=．利用“错位相减法”与等比数列的前项n和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q＜1，∵a1=，且13a2=3S3（n∈N*）．
∴13a1q=3a1（1+q+q2），化为：3q2﹣10q+3=0，q＜1，解得q=．
∴an==2×．
（2）bn=nan=．
∴数列{bn}的前项n和Tn=+…+，
∴=2+…+（n﹣1）×+n×，
∴=2=2=1﹣，
∴Tn=﹣．
18．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）分别求出甲、乙两名队员的得分均值和方差，由此能求出结果．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，依题意X～B（2，），由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（1）=（7+9+11+18+18+16+23+28）=15，
=（7+8+10+15+17+19+21+23）=15，
= [（﹣8）2+（﹣6）2+（﹣4）2+（﹣2）2+（﹣2）2+12+82+132]=44.75，
= [（﹣8）2+（﹣7）2+（﹣5）2+02+22+42+62+82]=32.25，
∵甲、乙两名队员的得分均值相等，甲的方差比乙的方差大，
∴乙同学答题相对稳定些．
（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别是，，
两人失分均超过15分的概率为p1p2=，
X的所有可能取值为0，1，2，依题意X～B（2，），
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
EX=2×=．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC=BC，求二面角A﹣BP﹣D的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）连接AC，交BD于O，运用线面垂直的判定和性质，可得AB⊥BC，求得∠BAC=30°，可得AC⊥BD，再由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）过O作OF∥PC，交AP于F，以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，分别求得A，B，C，D，P的坐标，可得向量，的坐标，设出平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），由向量垂直的条件：数量积为0，可得=（2，0，1），再取PB的中点E，连接CE，可得向量CE为平面ABP的法向量，求得坐标，再求两法向量的夹角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于O，
由PC⊥平面ABCD，可得PC⊥AB，
又AB⊥BP，BP∩PC=P，
可得AB⊥平面PBC，即有AB⊥BC，
由BC=，AB=2，可得tan∠BAC==，
即∠BAC=30°，又∠ABD=60°，
则∠AOB=90°，
即AC⊥BD，又PC⊥BD，
则BD⊥平面PAC，即有PA⊥BD；
（2）由O为BD的中点，过O作OF∥PC，交AP于F，
可得F为AP的中点，且OF⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，
则A（，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），C（﹣，0，0），P（﹣，0，），
则=（0，2，0），=（，1，﹣），
设平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），
由，取z=1，x=2，
可得为=（2，0，1），
取PB的中点E，连接CE，由PC=BC，可得CE⊥AP，
又AB⊥平面PBC，可得AB⊥CE，即有CE⊥平面ABP，
由E（﹣，，），即有=（，，）为平面ABP的一个法向量．
即有cos＜，＞===，
可得sin＜，＞==．
即有二面角A﹣BP﹣D的正弦值为．
20．过抛物线L：x2=2py（p＞0）的焦点F且斜率为的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5．
（1）求抛物线L的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）设直线方程为y=x+，代入x2=2py，求出P的坐标，利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线L的方程；
（2）为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足足=λ（+）（λ＞0），即可得出λ的取值范围．
【解答】解：（1）设直线方程为y=x+，
代入x2=2py，可得x2﹣p﹣p2=0，∴x=2p或﹣，
∴P（2p，2p），
∵|PF|=5，
∴2p+=5，
∴p=2，
∴抛物线L的方程x2=4y；
（2）∵直线与圆相切，
∴=1，
∴k2=t2+2t，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0
由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=4k，y1+y2=4k2+2t
由=λ（+）=（4kλ，（4k2+2t）λ）
得C（4kλ，（4k2+2t）λ）
∵点C在抛物线x2=4y上，
∴16k2λ2=4（4k2+2t）λ，
∴λ=1+=1+
∵t＞0或t＜﹣3，
∴2t+4＞4或 2t+4＜﹣2
∴λ的取值范围为（，1）∪（1，）．
21．已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．
（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；
（2）设g（x）=，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
【分析】（1）求出函数的导数，得到b﹣a=1﹣a，解出b，求出函数的解析式，问题转化为a≥在[e，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）问题等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤成立，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．
【解答】解：f′（x）=b﹣a﹣alnx，
∴f′（1）=b﹣a，
∴b﹣a=1﹣a，b=1，
∴f（x）=x﹣axlnx，
（1）函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，
∴f′（x）=1﹣a﹣alnx≤0在[e，2e]上恒成立，
即a≥在[e，2e]上恒成立，
∵h（x）=在[e，2e]上递减，
∴h（x）的最大值是，
∴实数a的最小值是；
（2）∵g（x）==﹣ax，
∴g′（x）==﹣+﹣a，
故当=即x=e2时，g′（x）max=﹣a，
若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤成立，
等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤成立，
当a≥时，g（x）在[e，e2]上递减，
∴g（x）min=g（e2）=﹣ae2≤，故a≥﹣，
当0＜a＜时，由于g′（x）在[e，2e]上递增，
故g′（x）的值域是[﹣a，﹣a]，
由g′（x）的单调性和值域知：
存在x0∈[e，e2]，使g′（x）=0，且满足：
x∈[e，x0），g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（x0，e2]，g′（x）＞0，g（x）递增，
∴g（x）min=g（x0）=≤，x0∈（e，e2），
∴a≥﹣＞﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意，
综上：a≥﹣．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接BE，OC，OC∩BE=F，证明△EDC∽△BCA，即可证明AB•DE=BC•CE；
（2）证明四边形EFCD是矩形，△OBC是等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接BE，OC，AC，OC∩BE=F，则
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴AD∥OC，
∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，
∵AD⊥l，∴l∥BE，
∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，
∵∠EDC=∠BCA=90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴=，
∴AB•DE=BC•CE；
（2）解：由（1）可知四边形EFCD是矩形，
∴DE=CF，
∵圆O的直径AB=8，BC=4，
∴∠ABC=60°
∴△OBC是等边三角形，
∴∠EBA=30°，AE=4．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，M点坐标，则|MN|的最大值为|MC|+r；
（2）由垂径定理可知圆心到直线l的距离为半径的，列出方程解出．
【解答】解：（1）当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1．
令y==0得t=0，把t=0代入x=﹣得x=2．∴M（2，0）．
∴|MC|==．∴|MN|的最大值为|MC|+r=．
（2）由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣）2=．
∴圆C的圆心为C（0，），半径为||，
直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0．
∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，
∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．
∴=||，解得a=32或a=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．
（2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离，
而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，
故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}．
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，
即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|．
利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7，
∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8，
m的范围为[﹣6，8]．
福建省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．若集合A={x|x2＜2x}，集合B={x|x＜}，则A∩（∁RB）等于（ ）
A．（﹣2，] B．（2，+∞） C．（﹣∞，] D．D[，2）
2．已知复数z=，则在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则cosx等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y=±x C．y=±2x D．y=±
5．从4男2女共6名学生中选派2人参加某项爱心活动，则所选2人中至少有1名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD=，E是CD的中点，则•等于（ ）
A．2 B．﹣3 C．4 D．6
7．已知函数f（x）=2x+log2x+b在区间（，4）上有零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．（﹣10，0） B．（﹣8，1） C．（0，10） D．（1，12）
8．执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
10．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）
A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A
11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=（x+1）2ex，设k∈[﹣3，﹣1]，对任意x1，x2∈[k，k+2]，则|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为（ ）
A．4e﹣3 B．4e C．4e+e﹣3 D．4e+1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a3+a4+a5= ．
14．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为 ．
15．在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为 ．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，＜C＜， =，a=3，sinB=，则b= ．
三、解答题（共5小题，满分60分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=且13a2=3S3（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前项n和Tn．
18．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC=BC，求二面角A﹣BP﹣D的正弦值．
20．过抛物线L：x2=2py（p＞0）的焦点F且斜率为的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5．
（1）求抛物线L的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．
21．已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．
（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；
（2）设g（x）=，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤成立，求实数a的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．
福建省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（共12小题，每小题分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．若集合A={x|x2＜2x}，集合B={x|x＜}，则A∩（∁RB）等于（ ）
A．（﹣2，] B．（2，+∞） C．（﹣∞，] D．D[，2）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先化简A，B，再求∁RB，A∩（∁RB）．
【解答】解：∵x2＜2x，即x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，
∴A=（0，2），
B={x|x＜}=（﹣∞，），
∴∁RB=[，+∞），
∴A∩（∁RB）=[，2），
故选：D．
2．已知复数z=，则在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】化简复数方程，复数的分母实数化，再求出共轭复数，可得结果．
【解答】解：z====﹣2+i，
∴=﹣2﹣i，
∴复数在复平面上所对应的点的坐标为（﹣2，﹣1），
故选：D．
3．已知，则cosx等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值．
【解答】解：∵，
∴sin（x﹣+）=sin（x﹣）=﹣cosx=，
∴cosx=﹣．
故选：B．
4．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y=±x C．y=±2x D．y=±
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a=，b=，由题意可得2=4，解得k，即有双曲线的方程和渐近线方程．
【解答】解：双曲线（k＜0）即为
﹣=1，
可得a=，b=，
由题意可得2=4，
解得k=﹣2，
即有双曲线的方程为﹣=1，
即有渐近线方程为y=±x．
故选：D．
5．从4男2女共6名学生中选派2人参加某项爱心活动，则所选2人中至少有1名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】所选2人中至少有1名女生的对立事件为所选2人都是男生，由此能求出所选2人中至少有1名女生的概率．
【解答】解：从4男2女共6名学生中选派2人参加某项爱心活动，
基本事件数n==15，
所选2人中至少有1名女生的对立事件为所选2人都是男生，
∴所选2人中至少有1名女生的概率：
p=1﹣=．
故选：B．
6．在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD=，E是CD的中点，则•等于（ ）
A．2 B．﹣3 C．4 D．6
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算．
【解答】解：以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（4，0），C（5，），D（1，）．E（3，）．
∴=（5，），=（1，﹣）．∴•=5×1﹣=2．
故选：A．
7．已知函数f（x）=2x+log2x+b在区间（，4）上有零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．（﹣10，0） B．（﹣8，1） C．（0，10） D．（1，12）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】判断函数的单调性，利用零点的性质，列出不等式，即可求出实数b的取值范围．
【解答】解：∵y1=2x+b单调递增，y2=log2x单调递增
∴f（x）=2x+log2x+b单调递增
又∵数f（x）=2x+log2x+b在区间（，4）上有零点，
∴f（）＜0，f（4）＞0．
∴1﹣1+b＜0，8+2+b＞0
∴﹣10＜b＜0．
故选：A．
8．执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】程序框图；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，求出m的范围，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，i=2，应该不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，S=6，i=3，应该不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，S=13，i=4，应该不满足退出循环的条件；
第四次执行循环体后，S=23，i=5，应该满足退出循环的条件；
故，解得：，
故“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的必要不充分条件，
故选：B
9．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
【考点】余弦函数的对称性．
【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ=，
∴f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），
则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣） 的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，
故选：C．
10．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）
A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，
四边形ABCD是一个边长为4的正方形，
且AF⊥面ABCD，DE∥AF，DE=4，AF=2，
∴AF⊥AB、DE⊥DC、DE⊥BD，
∴EC==4，EF=FB==2，
BE===4，
∵A为此几何体所有棱的长度构成的集合，
∴A={2，4，4，4，4}，
故选：D．
11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设x=﹣c，代入椭圆方程，求得A的坐标，设出C（x，y），由△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，可得=2，运用向量的坐标运算可得x，y，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值．
【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
由x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，
可设A（﹣c，），C（x，y），
由△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍，
可得=2，
即有（2c，﹣）=2（x﹣c，y），
即2c=2x﹣2c，﹣=2y，
可得x=2c，y=﹣，
代入椭圆方程可得， +=1，
由e=，b2=a2﹣c2，
即有4e2+﹣e2=1，
解得e=．
故选：A．
12．已知函数f（x）=（x+1）2ex，设k∈[﹣3，﹣1]，对任意x1，x2∈[k，k+2]，则|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为（ ）
A．4e﹣3 B．4e C．4e+e﹣3 D．4e+1
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求导函数，求得函数的单调区间，进而可求函数的最值，即可求得结论．
【解答】解：求导函数，可得f′（x）=（x+1）2ex=（x2+4x+3）ex，
令f′（x）＞0，可得x＜﹣3或x＞﹣1；令f′（x）＜0，可得﹣3＜x＜﹣1
∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣3），（﹣1，+∞），单调减区间为（﹣3，﹣1）
∵k∈[﹣3，﹣1]，x1，x2∈[k，k+2]，f（﹣3）=4e﹣3，f（﹣1）=0，f（1）=4e
∴f（x）max=f（1）=4e，f（x）min=f（﹣1）=0
∴|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为4e，
故选B．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a3+a4+a5= 0 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x=1，可得：1=a1+a2+a3+a4+a5，另一方面：x（1﹣2x）4的一次项的系数为1．可得a1．即可得出．
【解答】解：∵x（1﹣2x）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
令x=1，则1×（1﹣2）4=1=a1+a2+a3+a4+a5，
另一方面：x（1﹣2x）4的一次项的系数为1×1=1．
∴a1=1．
则a2+a3+a4+a5=1﹣1=0．
故答案为：0．
14．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，易知z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣1，0）连线的直线的斜率，
故当B（1，1）时，z=有最小值，
z==；
故答案为：．
15．在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为 12π ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意，连接AC交BD于H，则AC⊥平面PDB，连接PH，则∠CPH是直线PC与平面PDB所成的角，求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积．
【解答】解：由题意，连接AC交BD于H，则AC⊥平面PDB，
连接PH，则∠CPH是直线PC与平面PDB所成的角，即∠CPH=30°，
∵CH=，
∴PC=2，
∴PD=2，
∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为，
∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=12π．
故答案为：12π．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，＜C＜， =，a=3，sinB=，则b= ．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理和三角形的知识化简已知条件可得A=C，a=c，由sinB=可得cosB=，由余弦定理可得b值．
【解答】解：在△ABC中，∵=，∴=，
∴sinAsinB﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C，
∴sinAsinB=sinAsin2C，即sinB=sin2C，
∴sin（A+C）=sin2C，
∵＜C＜，∴A+C＞，＜2C＜π，
∴A+C=2C，即A=C，a=c，
由sinB=可得cosB=，
∴b2=2a2﹣2a2cosB=3，故b=．
三、解答题（共5小题，满分60分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=且13a2=3S3（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前项n和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q＜1，根据a1=，且13a2=3S3（n∈N*）．可得13a1q=3a1（1+q+q2），解出即可得出．
（2）bn=nan=．利用“错位相减法”与等比数列的前项n和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q＜1，∵a1=，且13a2=3S3（n∈N*）．
∴13a1q=3a1（1+q+q2），化为：3q2﹣10q+3=0，q＜1，解得q=．
∴an==2×．
（2）bn=nan=．
∴数列{bn}的前项n和Tn=+…+，
∴=2+…+（n﹣1）×+n×，
∴=2=2=1﹣，
∴Tn=﹣．
18．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）分别求出甲、乙两名队员的得分均值和方差，由此能求出结果．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，依题意X～B（2，），由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（1）=（7+9+11+18+18+16+23+28）=15，
=（7+8+10+15+17+19+21+23）=15，
= [（﹣8）2+（﹣6）2+（﹣4）2+（﹣2）2+（﹣2）2+12+82+132]=44.75，
= [（﹣8）2+（﹣7）2+（﹣5）2+02+22+42+62+82]=32.25，
∵甲、乙两名队员的得分均值相等，甲的方差比乙的方差大，
∴乙同学答题相对稳定些．
（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别是，，
两人失分均超过15分的概率为p1p2=，
X的所有可能取值为0，1，2，依题意X～B（2，），
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
EX=2×=．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC=BC，求二面角A﹣BP﹣D的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）连接AC，交BD于O，运用线面垂直的判定和性质，可得AB⊥BC，求得∠BAC=30°，可得AC⊥BD，再由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）过O作OF∥PC，交AP于F，以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，分别求得A，B，C，D，P的坐标，可得向量，的坐标，设出平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），由向量垂直的条件：数量积为0，可得=（2，0，1），再取PB的中点E，连接CE，可得向量CE为平面ABP的法向量，求得坐标，再求两法向量的夹角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于O，
由PC⊥平面ABCD，可得PC⊥AB，
又AB⊥BP，BP∩PC=P，
可得AB⊥平面PBC，即有AB⊥BC，
由BC=，AB=2，可得tan∠BAC==，
即∠BAC=30°，又∠ABD=60°，
则∠AOB=90°，
即AC⊥BD，又PC⊥BD，
则BD⊥平面PAC，即有PA⊥BD；
（2）由O为BD的中点，过O作OF∥PC，交AP于F，
可得F为AP的中点，且OF⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，
则A（，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），C（﹣，0，0），P（﹣，0，），
则=（0，2，0），=（，1，﹣），
设平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），
由，取z=1，x=2，
可得为=（2，0，1），
取PB的中点E，连接CE，由PC=BC，可得CE⊥AP，
又AB⊥平面PBC，可得AB⊥CE，即有CE⊥平面ABP，
由E（﹣，，），即有=（，，）为平面ABP的一个法向量．
即有cos＜，＞===，
可得sin＜，＞==．
即有二面角A﹣BP﹣D的正弦值为．
20．过抛物线L：x2=2py（p＞0）的焦点F且斜率为的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5．
（1）求抛物线L的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）设直线方程为y=x+，代入x2=2py，求出P的坐标，利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线L的方程；
（2）为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足足=λ（+）（λ＞0），即可得出λ的取值范围．
【解答】解：（1）设直线方程为y=x+，
代入x2=2py，可得x2﹣p﹣p2=0，∴x=2p或﹣，
∴P（2p，2p），
∵|PF|=5，
∴2p+=5，
∴p=2，
∴抛物线L的方程x2=4y；
（2）∵直线与圆相切，
∴=1，
∴k2=t2+2t，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0
由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=4k，y1+y2=4k2+2t
由=λ（+）=（4kλ，（4k2+2t）λ）
得C（4kλ，（4k2+2t）λ）
∵点C在抛物线x2=4y上，
∴16k2λ2=4（4k2+2t）λ，
∴λ=1+=1+
∵t＞0或t＜﹣3，
∴2t+4＞4或 2t+4＜﹣2
∴λ的取值范围为（，1）∪（1，）．
21．已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．
（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；
（2）设g（x）=，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
【分析】（1）求出函数的导数，得到b﹣a=1﹣a，解出b，求出函数的解析式，问题转化为a≥在[e，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）问题等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤成立，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．
【解答】解：f′（x）=b﹣a﹣alnx，
∴f′（1）=b﹣a，
∴b﹣a=1﹣a，b=1，
∴f（x）=x﹣axlnx，
（1）函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，
∴f′（x）=1﹣a﹣alnx≤0在[e，2e]上恒成立，
即a≥在[e，2e]上恒成立，
∵h（x）=在[e，2e]上递减，
∴h（x）的最大值是，
∴实数a的最小值是；
（2）∵g（x）==﹣ax，
∴g′（x）==﹣+﹣a，
故当=即x=e2时，g′（x）max=﹣a，
若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤成立，
等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤成立，
当a≥时，g（x）在[e，e2]上递减，
∴g（x）min=g（e2）=﹣ae2≤，故a≥﹣，
当0＜a＜时，由于g′（x）在[e，2e]上递增，
故g′（x）的值域是[﹣a，﹣a]，
由g′（x）的单调性和值域知：
存在x0∈[e，e2]，使g′（x）=0，且满足：
x∈[e，x0），g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（x0，e2]，g′（x）＞0，g（x）递增，
∴g（x）min=g（x0）=≤，x0∈（e，e2），
∴a≥﹣＞﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意，
综上：a≥﹣．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接BE，OC，OC∩BE=F，证明△EDC∽△BCA，即可证明AB•DE=BC•CE；
（2）证明四边形EFCD是矩形，△OBC是等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接BE，OC，AC，OC∩BE=F，则
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴AD∥OC，
∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，
∵AD⊥l，∴l∥BE，
∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，
∵∠EDC=∠BCA=90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴=，
∴AB•DE=BC•CE；
（2）解：由（1）可知四边形EFCD是矩形，
∴DE=CF，
∵圆O的直径AB=8，BC=4，
∴∠ABC=60°
∴△OBC是等边三角形，
∴∠EBA=30°，AE=4．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，M点坐标，则|MN|的最大值为|MC|+r；
（2）由垂径定理可知圆心到直线l的距离为半径的，列出方程解出．
【解答】解：（1）当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1．
令y==0得t=0，把t=0代入x=﹣得x=2．∴M（2，0）．
∴|MC|==．∴|MN|的最大值为|MC|+r=．
（2）由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣）2=．
∴圆C的圆心为C（0，），半径为||，
直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0．
∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，
∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．
∴=||，解得a=32或a=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．
（2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离，
而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，
故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}．
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，
即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|．
利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7，
∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8，
m的范围为[﹣6，8]．
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