2023年浙江省杭州市上城区中考二模数学试题

2023年浙江省杭州市上城区中考数学二模试卷

一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 某地一天的最高气温是10℃，最低气温是℃，则该地这一天的温差是（　　）

A. 11℃ B. 9℃ C. 8℃ D. 12℃

【答案】A

【解析】

【分析】用最高气温减去最低气温，即可得出结论．

【详解】解：该地这一天的温差是℃；

故选A．

【点睛】本题考查有理数的减法的实际应用．熟练掌握有理数减法的运算法则，是解题的关键．

2. 已知（k为正整数），则k的值为（　　）

A 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】估算出的取值范围，即可求出k的值．

【详解】解：∵，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

3. 如图，为的外角，，，那么（　　）

A. 60° B. 82° C. 78° D. 80°

【答案】C

【解析】

【分析】根据外角的性质进行求解即可．

【详解】解：∵，，

∴；

故选C．

【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．

4. 如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴1个单位长度是1cm)，刻度尺上0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5cm对应数轴上的数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用数轴上两点间距离的表示方法，列式计算即可．

【详解】解：刻度尺上6.5cm与0cm的距离为6.5cm，刻度尺上0cm对应数轴上的数3，

因此刻度尺上“6.5cm”对应数轴上的数为，

故选B．

【点睛】本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握“在数轴上，右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离”．

5. 如图，分别以A、B为圆心，大于长度为半径作弧，交点分别为M、N，连接交于点D，下列说法一定正确的是（　　）

A. 是直角三角形 B. 是等腰三角形

C. 是等腰三角形 D. 是等腰三角形

【答案】C

【解析】

【分析】根据作图可知：点在线段的中垂线上，进而得到，即可得出结论．

【详解】解：由题意，得：点在线段的中垂线上，

∴，

∴是等腰三角形；

故选项C一定正确，

故选C．

【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．

6.  某班30名学生的身高情况如下表：

关于身高的统计量中，不随x，y的变化而变化的有（　　）

A. 众数、中位数 B. 中位数、方差

C. 平均数、方差 D. 平均数、众数

【答案】A

【解析】

【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的计算方法，进行判断即可．

【详解】解：由题意得：，

∴，

∴这组数据的众数为1.53，

将数据排序后，第15个和第16个数据均为：1.53，

∴中位数为，

即：中位数和众数不随x，y的变化而变化，

平均数，

∴平均数随着x，y的变化而变化，

∵方差与平均数有关，

∴方差随着x，y的变化而变化；

故选A．

【点睛】本题考查平均数，众数，中位数，方差，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的计算方法，是解题的关键．

7. 已知a，b是实数，若，则下列不等式正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质，逐一进行判断即可．

详解】解：A、∵，∴，选项错误，不符合题意；

B、，选项错误，不符合题意；

C、当时，，选项错误，不符合题意；

D、，选项正确，符合题意；

故选D．

【点睛】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．

8. 某商品打九折后的价格为a元，则原价为（　　）

A. a元 B. 元 C. 0．3a元 D. 元

【答案】D

【解析】

【分析】设原价为元，根据打九折后的价格为a元，列出方程即可．

【详解】解：设原价为元，由题意，得：

，

∴；

∴原价为：元．

故选D．

【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出一元一次方程是解题的关键．

9. 点在二次函数的图象上，针对n的不同取值，存在点P的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P的个数为1，则；乙：若P的个数为2，则则下列判断中正确的是（　　）

A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误

C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线的对称性可知，当是顶点的纵坐标时，P的个数为1，当不是顶点纵坐标时，P的个数为2，即可得出结论．

【详解】解：∵，

∴抛物线的顶点坐标为：，

∵点在二次函数的图象上，

∴当时，点为抛物线的顶点，只有1个，

当时，根据抛物线的对称性，点P的个数为2；

∴甲正确，乙错误；

故选B．

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键．

10. 如图，已知内接于，，，点P为的重心，当点A到的距离最大时，线段的长为（　　）

A.  B.

C.   D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意作出对应的图形，连接，，得，由垂径定理得，再由，，，，半径相等，，再由点P为的重心，可知，得，最后列式即可．

【详解】解：如图所示，连接，过点O作于H，连接，，如图所示，设点A到的距离为h：

∵，

∴当点A到的距离最大时，三点共线，

∴，，

∵，

∴，，，

∵在，，，

∴，，

∵，

∴，，

∵点P为的重心，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查的是解直角三角形以及三角形的重心，正确掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键．

二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）

11. 计算：____，_____．

【答案】    ①. 4    ②.

【解析】

【分析】运用负整数指数幂运算法则和同底数幂运算法则化简即可．

【详解】解：，，

故答案为4，．

【点睛】本题主要考查的是运用负整数指数幂运算法则和同底数幂运算法则，正确掌握运用负指数幂运算法则和同底数幂运算法则是解题的关键．

12. 因式分解：_____．

【答案】

【解析】

【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13. 一个不透明的盒中只有颜色不同的3个球，其中红球2个，白球1个，从中摸出两个球，颜色一样的概率是_____．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，画树状图，统计摸出来的结果一共有多少，然后再统计摸出来两个球颜色一样的有多少种即可．

【详解】解：根据题意，画树状图如下：

摸出来的结果有6种，摸出来两个球颜色一样的有2种，

所以从中摸出两个球，颜色一样的概率是，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握求随机事件的概率公式．

14. 如图，切于A点，连接交于点C，点D是优弧上一点，若为α，则_____（用含α的代数式表示）．

【答案】

【解析】

【分析】连接，根据切线的性质，得到，进而得到，再利用圆周角定理即可得解．

【详解】解：连接，

∵切于A点，

∴，

∵为α，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理．熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．

15. 现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 _____千克．

【答案】10

【解析】

【分析】设需要加入甲种糖千克，根据题意，列出方程，进行求解即可．

【详解】解：设需要加入甲种糖千克，由题意，得：

，

整理，得：，

解得：；

答：需加入甲种糖千克．

故答案为：10．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．

16. 在矩形中，，，E、F分别是边和上的点，沿着折叠使得A落在上的点，延长交于点G，若，则_____．

【答案】##

【解析】

【分析】延长交的延长线于点M，设，根据题意，折叠得，，根据，得，由等边对等角，得是的中位线，再证明，结合勾股定理列式求解即可．

【详解】解：延长交的延长线于点M，

∵沿着折叠使得A落在上的点，

∴，，，

∵，

∴，，E是的中点，

∵，

∴，，

∴是的中位线，

即，

∵四边形是矩形，

∴，，，

∵，，

∴，，，，

在中，，

∵，

∴在中，，

即，

所以，则，那么，

解得，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查的是矩形性质以及全等三角形，勾股定理，解直角三角形等知识内容，难度中等偏上，正确作出辅助线是解题的关键．

三、解答题：（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 以下是圆圆解方程的具体过程：的具体过程，方程两边同除以，得，移项，得，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.

【答案】错误，见解析

【解析】

【分析】利用因式分解法解方程可判断圆圆的解答过程是否有错误．

【详解】解：圆圆的解答过程有错误；正确的解答过程为：

移项得，，

利用因式分解法整理：，

解得：或，

所以或．

【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

18. 2023年第19届亚运会在杭州举行，某校随机抽取了八年级若干名学生进行亚运会知识竞赛，成绩分为A，B，C，D，E五个等级（单位：分，满分100分）．将所收集的数据分组整理，绘制成了统计图．请你根据提供的信息解答下列问题：某校八年级杭州亚运会知识竞赛成绩的频数表：

（1）求扇形统计图和频数统计表中a，n的值；

（2）在所调查的100名学生中，杭州亚运会知识竞赛的平均成绩能否达到84分？

（3）已知该校八年级学生有900人，试估计该校八年级学生中参加杭州亚运会知识竞赛的成绩高于80分的共有多少人？

【答案】（1）；   

（2）杭州亚运会知识竞赛的平均成绩未达到84分；   

（3）450人

【解析】

【分析】（1）用组人数除以所占的百分比求出总人数，用组人数除以总人数求出所占的百分比，再利用总人数减去各组人数即可求出C组人数；

（2）求出最大平均数，进行比较判断即可；

（3）用总体乘以样本中所占的比例，进行求解即可．

【小问1详解】

解：（人），

∴，

∴，

E组人数为：人，

∴，

故答案为：，；

【小问2详解】

∴所调查100学生中，杭州亚运会知识竞赛的平均成绩未达到84分．

【小问3详解】

（人）．

答：估计该校八年级学生中参加杭州亚运会知识竞赛的成绩高于80分的共有450人．

【点睛】本题考查统计图表，求平均数，以及利用样本估计总体．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键．

19. 如图，在中，，恰好是的角平分线.

（1）求证：△APC∽△DPB；

（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由等腰三角形得，由角平分线得，进而可得 ，证得，结论得证；

（2）由得，构建方程求解．

【小问1详解】

证明：∵

∴

∵平分

∴

∴

∴

∴

∴

【小问2详解】

设

∵

∴

∵

∴

∴

∴

  【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练相关判定方法是解题的关键．

20. 已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上.

（1）求值；

（2）若点，都在该反比例函数图象上；

①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标；

②当，时，求的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）点的坐标为，

【解析】

【分析】（1）根据点在反比例函数，得，解得：，即可求出；

（2）根据点和点关于原点中心对称，得，；根据，点在函数的图象上，得，即可求出点的坐标；

（3）根据，求出，根据，可得，，根据，函数图象，即可得到的取值范围．

【小问1详解】

∵点，在该反比例函数的图象上，

∴，

解得：，

∴．

【小问2详解】

∵点和点关于原点中心对称，

∴，

∵

∴，

解得：，

∵点在反比例函数上，

∴，

∴，

∴点；

∵，

∴，

∵，

∴，

由图象可知，当时，．

  【点睛】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质．

21. 在中，，于点E，于点D，交于点F．

（1）求证：；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，进而证明为等腰三角形，得到，再证明，即可证明；

（2）先得到，解直角三角形得到，则，即可推出，则．

【小问1详解】

证明：∵，

∴，

∵，

∴为等腰三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴

∴．

【小问2详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴

∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．

22. 已知二次函数和一次函数．

（1）二次函数的图象过点，求二次函数的表达式；

（2）若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．

①求证：；

②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．

【答案】（1）二次函数的表达式为；   

（2）①证明见解析，②

【解析】

【分析】（1）待定系数法，求出函数解析式即可．

（2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结果．

【小问1详解】

解：∵二次函数过，

∴，

∴二次函数的表达式为，

将点代入，得，

∴；

∴二次函数的表达式为．

【小问2详解】

①∵当时，解得：，

∴二次函数与x轴交于和点，

又一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，

∴一次函数过点，

∴，

∴；

②∵，

∴，

∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，

∵二次函数的顶点为，

∴过，

∴

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题的关键．

23. 如图1，在正方形中，点P是对角线上任意一点，连接．

（1）求证：；

（2）如图2，过点P作交于点Q，，．

①求β关于α的函数表达式；

②设，求证：．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）①，②证明见解析

【解析】

【分析】（1）证明，即可得证；

（2）①过点P作交于点E，延长交于点F，利用四边形的内角和，推出，进而得到，根据，推出，即：，即可得出结论；②证明，得到，即可得出结论．

【小问1详解】

解：∵正方形，

∴，且，

∴

∴．

【小问2详解】

①过点P作交于点E，延长交于点F，

∵正方形，

∴，

∴，

∵，

在四边形中 ，

∴，

由（1）得，

∴，

∴，

∴，即，

∴；

②∵，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴

∴．

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求角的正切值．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．