2023年浙江省杭州市上城区建兰中学中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023年浙江省杭州市上城区建兰中学中考数学模拟试卷（4月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 据统计，2022年杭州市GDP达1.88万亿元.数据1.88万亿元用科学记数法表示为( )
A. 1.88×1011(元)B. 1.88×1012(元)
C. 11.8×1011(元)D. 0.188×1013(元)
2. 某物体如图所示，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是( )
A. (−1)2023=−2023B. −32=9
C. 4=±2D. (a3)2=a6
4. 如图，点D是△ABC的AB边上任意一点，DE/​/BC交AC于E，若AD=1，BD=2，设DE=x，BC=y，则( )
A. 2x=y
B. 3x=y
C. x+2=y
D. 2x+1=y
5. 甲、乙两个转盘同时转动，甲转动270圈时，乙恰好转了330圈，已知两个转盘每分钟共转3000圈，设甲每分钟转x圈，则列方程为( )
A. 2703000+x=330xB. 2703000−x=330xC. 270x=3303000+xD. 270x=3303000−x
6. 如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC=26°，则∠A的度数为( )
A. 32°
B. 52°
C. 64°
D. 72°
7. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s(千米)与所用的时间t(分)之间的函数关系如图所示.根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 前10分钟，甲比乙的速度快B. 甲的平均速度为0.06千米/分钟
C. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少D. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
8. 如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC=45°.当梯子底端点B水平向左移动到点B′，端点A沿墙竖直向上移动到点A′，设∠A′B′C=α，则AA′的长可以表示为m．( )
A. 2sinα
B. 2sinα−1
C. 2csα−1
D. 2tanα−1
9. 已知抛物线y=49(x−2)2−1上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)满足x2−x1=3，则下列结论正确的是( )
A. 若x1<12，则y1>y2>0B. 若12y1>0
C. 若x1<12，则y1>0>y2D. 若120>y1
10. 如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q(均不与端点重合)，且AP=CQ，AQ，BP相交于点O.下列结论不正确的是( )
A. ∠AOB=120°
B. AP2=PO⋅PB
C. 若AB=8，BP=7，则PA=3
D. 若PC=mAP，BO=nOP，则n=m2+m
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：2m2−18=______．
12. 关于x的方程x2−8x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
13. 不透明袋子中装有10个球，其中有6个红球和4个白球，它们除颜色外其余都相同.从袋子中随机摸出1个球，是红球的概率为______ ．
14. 已知圆弧的度数为150°，弧长为3πcm，则圆的半径是 cm．
15. 如图，▱OABC的顶点C在反比例函数y=kx的图象上，且点A坐标为(1,−3)，点B坐标为(5,−1)，则k的值为______ ．
16. 任意矩形经过恰当分割后就可以拼成正方形，如图，已知矩形ABCD，在AD延长线上取点E，使DE=DC，以AE为直径的半圆交DC延长线于点F，在边BC上取点G，使DG=DF，过点A做AH⊥DG于H，所得△AHD，△CDG，四边形AHGB就可以拼成正方形AHMN，若GH：GM=1：2，则AB：AD的值为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
化简代数式(a2+1a2−1+1a+1)÷aa+1，然后判断它的值能否等于−1，并说明理由．
18. (本小题8.0分)
学习成为现代城市人的时尚，我市图书馆吸引了大批读者，有关部门统计了2018年第一季度到市图书馆的读者的职业分布情况，统计图如下：
(1)在统计的这段时间内，共有______万人到市图书馆阅读，其中商人所占百分比是______．
(2)将条形统计图补充完整．
(3)若今年4月到市图书馆的读者共28000名，估计其中约有多少名职工．
19. (本小题8.0分)
如图，在8×8的正方形网格中，已知△ABC的顶点都在格点上，请在所给网格中按要求画出图形．
(1)在图1中，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转90°得到△A1B1C(点A，B的对应点分别为A，B)，并画出△A1B1C.
(2)在图2中，以点C为位似中心，作△ABC的位似图形，并使边长放大到原来的2倍，请画出△ABC的位似图形．
20. (本小题10.0分)
如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
(1)求每个小矩形的长与宽；
(2)求证：∠BAC≠60°．
21. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠ACB是钝角，AD⊥BC交BC的延长线于点D，E，F分别为AC、AB的中点，∠FCE=∠CED.连结DF，EF，设DF与EC交于点O．
(1)求证：OD=OF．
(2)若OF=52，tanB=43时，求AC的长．
22. (本小题12.0分)
已知抛物线y=ax2+bx−2．
(1)当b=−2a时，
①若抛物线经过点P(1,0)，求抛物线的顶点坐标；
②若A(x1,m)，B(x2,m)，C(s,t)是抛物线上的点，且s=x1+x2，求t的值．
(2)若a+b<0，第一象限有一点D(2,n)在该二次函数图象上，求证：a>1．
23. (本小题12.0分)
如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，EA=EP，连结AE，EP．
(1)求证：△PAE是等腰直角三角形．
(2)如图2，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由．
(3)当P是BC的中点时，DE=2．
①求BC的长．
②若点Q是△ABP外接圆的动点，且位于正方形ABCD的外部，连结AQ.当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，求所有满足条件的AQ的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1.88万亿元=1880000000000元=1.88×1012元，
故选：B．
科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知，该几何体的主视图是：
．
故选：B．
根据主视图的定义和画法进行判断即可．
本题考查简单组合体的主视图，解题的关键是明确主视图就是从正面看物体所得到的图形．
3.【答案】D
【解析】解：A.(−1)2023=−1，故本选项不符合题意；
B.−32=−9，故本选项不符合题意；
C. 4=2，故本选项不符合题意；
D.(a3)2=a6，故本选项符合题意；
故选：D．
根据有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方进行计算即可．
本题考查了有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方等知识点，能熟练掌握有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方是解此题的关键，①(am)n=amn，②当a≥0时， a2=a．
4.【答案】B
【解析】解：∵AD=1，BD=2，
∴AD：AB=1：3，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=1：3，
∴x：y=1：3，
∴y=3x，
故选：B．
根据相似三角形的判定与性质即可得到答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：设甲每分钟转x圈，则乙每分钟转动(3000−x)圈，
根据题意得：270x=3303000−x，
故选：D．
根据“甲转动270圈和乙转了330圈所用的时间相等”列出方程即可；
本题考查了分式方程的知识，解题的关键是能够从实际问题中找到等量关系，难度不大．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB，AC分别切⊙O于B，C两点，
∴AB=AC，OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∵∠OBC=26°，
∴∠ABC=90°−26°=64°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=64°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=52°．
故选：B．
先根据切线长定理和切线的性质得到AB=AC，∠OBA=90°，则可计算出∠ABC=64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠A的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．
7.【答案】D
【解析】解：A.前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此选项错误，不符合题意；
B.根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为3.240=0.08千米/分钟，故此选项错误，不符合题意；
C.经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，故此选项错误，不符合题意；
D.经过20分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
根据函数图象逐项判断即可．
本题主要考查一次函数的图象及其在行程问题中的应，理解函数图象是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得：∠ACB=90°，AB=A′B′，
在Rt△ACB中，AC=1m，∠ABC=45°，
∴AB=ACsin45∘=1 22= 2(m)，
∴AB=A′B′= 2m，
在Rt△A′CB′中，∠A′B′C=α，
∴A′C=A′B′⋅sinα= 2sinα(m)，
∴AA′=A′C−AC=( 2sinα−1)m，
故选：B．
根据题意可得：∠ACB=90°，AB=A′B′，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出A′B′的长，再在Rt△A′CB′中，利用锐角三角函数的定义求出A′C的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵y=49(x−2)2−1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
当x1=12时，x2=3+12=72，
∴x1+x22=2，即点P，Q关于对称轴对称，此时y1=y2，
将x=12代入y=49(x−2)2−1得y=0，
当x1<12时，当x2>12时，y1>0>y2，
当x2<12时，y1>y2>0，故选项A，C不符合题意，
∵x2−x1=3，
∴x2=x1+3，
∵y=49(x−2)2−1，
∴y1=49(x1−2)2−1，y2=49(x1+1)2−1，
当12∴−1<49(x1−2)2−1<0，0<49(x1+1)2−1<3，
∴y2>0>y1．
故选：D．
由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将x=12代入解析式可得y的值，通过抛物线的对称性及x2−x1=3求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABC为等边△ABC，
AB=AC，∠BAP=∠C=60°
在△ABP与△CAQ中，
AB=AC∠BAP=∠C=60°AP=CQ，
∴△ABP≌△CAQ(SAS)，
∴∠ABP=∠CAQ，
∵∠BOQ=∠BAO+∠ABP=∠BAO+∠CAQ=∠BAC=60°，
∴∠POQ=180°−∠BOQ=120°，因此结论A正确；
∵∠ABP=∠CAQ，
即：∠ABP=∠PAO，
又∠APB=∠OPA，
∴△PAB∽△POA，
∴PAPO=PBPA，
∴PA2=PO⋅PB，因此结论B正确；
过B作BE⊥AC于点E，

∵△ABC为等边△ABC，AB=8，
∴AB=AC=BC=8，
∵BE⊥AB，
∴CE=AE=4，
在Rt△BCE中，CE=4，BC=8，
由勾股定理得：BE= BC2−CE2=4 3，
在Rt△BEP中，BP=7，BE=4 3，
由勾股定理得：PE= BP2−PE2=1，
∴PA=AE−PE=4−1=3，因此结论C正确；
设AP=a，OP=b，则PC=ma，BO=nb，
∴AC=AP+PC=a(m+1)，PB=OP+BO=b(n+1)，
∵AP2=PO⋅PB，
∴a2=b⋅b(n+1)=b2(n+1)，
过点B作BE⊥AC于点E，

∴AE=CE=12a(m+1)，
在Rt△BCE中，CE=12a(m+1)，BC=AC=a(m+1)，
由勾股定理得：BE= BC2−CE2= 32a(m+1)，
在Rt△BPE中，BE= 32a(m+1)，PE=AE−PA=12a(m−1)，
由勾股定理得：PE2+BE2=PB2，
即：[12a(m−1)]2+[ 32a(m+1)]2=[b(n+1)]2，
∴12a2(m−1)2+34a2(m+1)2=b2(n+1)⋅(n+1)，
将a2=b2(n+1)代入上式得：14a2(m−1)2+34a2(m+1)2=a2(n+1)，
整理得：n=m2−2m，因此结论D不正确．
故选D．
先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAP=∠C=60°，据此可判定△ABP和△CAQ全等，从而得∠ABP=∠CAQ，然后根据三角形的外角定理可求出∠BOQ=60°，由此可求出∠AOB的度数，进而可对结论A进行判定；
由△ABP和△CAQ全等可得出∠ABP=∠PAO，据此可判定△PAB和△POA相似，进而根据相似的性质可对结论B进行判定；
过B作BE⊥AC于点E，根据等边三角形的性质AB=AC=BC=8，CE=AE=4，然后分别用勾股定理求出CE，进而再求出PE，最后可求出PA，由此可对结论C进行判定；
设AP=a，OP=b，则PC=ma，BO=nb，AC=a(m+1)，PB=b(n+1)，先由结论A正确得出a2=b2(n+1)，过点B作BE⊥AC于点E，则AE=CE=12a(m+1)，然后在Rt△BCE中利用勾股定理求出BE，最后在Rt△BPE中再利用勾股定理可求出m，n之间的关系，从而可对结论D进行判定．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用等，解答此题的关键是熟练掌握似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难点是灵活运用勾股定理进行相关的计算．
11.【答案】2(m+3)(m−3)
【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=2(m2−9)
=2(m+3)(m−3)．
故答案为：2(m+3)(m−3)．
12.【答案】16
【解析】解：根据题意得Δ=(−8)2−4c=0，
解得c=16．
故答案为：16．
根据判别式的意义得到Δ=(−8)2−4c=0，然后解关于c的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
13.【答案】35
【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有10种等可能结果，其中摸出的小球是红球的结果有6种，
∴摸出的小球是红球的概率为610=35．
故答案为：35．
根据概率公式可得用红球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14.【答案】3.6
【解析】解：设该圆弧的半径等于r cm，则
3π=150πr180，
解得r=3.6．
故答案是：3.6．
根据弧长公式l=nπr180进行解答．
本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：作CD⊥x轴于D，BF//x轴，交y轴于F，作AG⊥x轴，交BF于E，交x轴于G，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA/​/BC，∠AOC=∠ABC，OC=AB，
∴∠FBC=∠AFB，
∵BF//x轴，
∴∠AFB=∠AOD，
∴∠FBC=∠AOD，
∴∠DOC=∠ABE，
在△COD和△ABE中，
∠DOC=∠ABE∠ODC=∠AEB=90°OC=AB，
∴△COD≌△ABE(AAS)，
∴OD=BE，CD=AE，
∵点A坐标为(1,−3)，点B坐标为(5,−1)．
∴EF=1，AG=3，BF=5，EG=1，
∴AE=3−1=2，BE=5−1=4，
∴OD=4，CD=2，
∴C(4,2)，
∵顶点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=4×2=8，
故答案为：8．
作CD⊥x轴于D，BF//x轴，交y轴于F，作AG⊥x轴，交BF于E，交x轴于G，通过证得△COD≌△ABE得出OD=BE=4，CD=AE=2，从而得出C(4,2)，代入反比例函数y=kx，即可求得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，通过证得三角形全等求得C的坐标是解题的关键．
16.【答案】9：13
【解析】解：延长CB，则CB的延长线经过点N，如图，
∵△AHD，△CDG，四边形AHGB可以拼成正方形AHMN，
∴△ABN≌△DCG，△MGN≌△HDA，
∴DH=MG，AH=MH=MN，
∴DG=MH=MN．
∵GH：GM=1：2，
∴设GH=a，则GM=DH=2a，
∴AH=DG=MH=3a．
∵AH⊥DG，
∴AD= AH2+DH2= 13a.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠ADC=∠DCB=90°，
∴∠ADH+∠CDG=90°，∠CDG+∠CGD=90°，
∴∠ADH=∠CGD．
∵∠AHD=∠DCG=90°，
∴△ADH∽△DGC，
∴ADAH=DGCD，
∴ 13a3a=3aCD，
∴CD=9 1313a，
∴AB=9 1313a，
∴AB：AD=9 1313a： 13a=9：13．
故答案为9：13．
延长CB，利用已知条件则CB的延长线经过点N，设GH=a，则GM=DH=2a，利用正方形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得AB，AD，则结论可求．
本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，图形的拼接，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形，正方形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：原式=[a2+1(a+1)(a−1)+a−1(a+1)(a−1)]⋅a+1a
=a(a+1)(a+1)(a−1)⋅a+1a
=a+1a−1，
若a+1a−1=−1，则a=0，
此时=0，即原式无意义，
∴它的值不能为−1．
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后令其值为−1，求得a的值，再检验即可．
本题考查分式化简和分式的值，解题的关键是掌握分式基本性质，能通分和约分．
18.【答案】(1)16，12.5%；
(2)职工的人数为16−(4+2+4)=6(万人)，
补全条形图如下：
(3)估计其中职工人数为28000×616=10500(人)．
【解析】解：(1)这段时间，到图书馆阅读的总人数为4÷25%=16(万人)，
其中商人所占百分比为216×100%=12.5%，
故答案为：16，12.5%；
(2)职工的人数为16−(4+2+4)=6(万人)，
补全条形图如下：
(3)估计其中职工人数为28000×616=10500(人)．
(1)用学生数除以其所占的百分比即可得到总人数，然后用商人数除以总人数即可得到商人所占的百分比；
(2)根据各职业人数之和等于总人数可得职工的人数，据此可补全图形；
(3)用总人数乘以职工占总人数的百分比即可得到职工人数．
本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息．
19.【答案】解：(1)如图1，△A1B1C为所作；
(2)如图2，△A2B2C和△A′B′C为所作．

【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A1、B1即可；
(2)延长CA到点A′，使CA′=2CA，延长CB到点B′，使CB′=2CB，或反向延长CA到点A2，使CA2=2CA，反向延长CB到点B2，使CB2=2CB，则△A′B′C和△A2B2C满足条件．
本题考查了作图−位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
20.【答案】解：(1)设每个小矩形的长为x，宽为y，
依题意得：x+2y=6x=2y，
解得x=3y=1.5，
所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；
(2)如图所示：
；
由图可知，AE1=2，BE1=1，DE1=1，
∴∠BAE1=∠DAE1，
tan∠BAE1=BE1AE1=12≠ 33，
∴∠BAE1≠30°，
∴∠BAC≠60°．
【解析】(1)设每个小矩形的长为x，宽为y，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个：2个矩形的宽=矩形的长；两个矩形的宽+1个矩形的长=4，据此列出方程组，并解答即可；
(2)利用锐角三角函数的定义进行解答．
本题考查了四边形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值需构建直角三角形是解此类题的常用作法．
21.【答案】(1)证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴FE//BD，BC=2FE，
∵∠FCE=∠CED，
∴DE/​/CF，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴OD=OF；
(2)解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
又∵F是AB的中点，
∴AB=2FD=4FO=10，
∵tanB=ADBD=43，
∴DB=6，DA=8，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴CD=FE，
即BC=2CD，
∴CD=2，
∴AC= AD2+CD2= 4+64=2 17．
【解析】(1)通过证明四边形CDEF是平行四边形，可得OD=OF；
(2)由锐角三角函数可求AD，BD的长，即可求CD的长，由勾股定理可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】(1)解：①当b=−2a时，则y=ax2−2ax−2，
若抛物线经过点P(1,0)，则a−2a−2=0，
解得a=−2，
∴y=−2x2+4x−2，
∵y=−2x2+4x−2=−2(x−1)2，
∴抛物线的顶点坐标为(1,0)；
②∵b=−2a，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=−−2a2a=1，
∵A(x1,m)，B(x2,m)，C(s,t)是抛物线上的点，
∴x1+x2=2，
∵s=x1+x2，
∴s=2，
∴t=4a−4a−2=−2；
(2)证明：由题意，x=2时，y>0，
∴4a+2b−2>0，
∴2a+b>1，
∵a+b<0，
∴b<−a，
∴2a−a>1，即a>1．
【解析】(1)①利用待定系数法求得函数解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
②根据抛物线的对称性即可求得x1+x2=2，然后代入解析式即可求得t=−2；
(2)由点D(2,n)在第一象限得到4a+2b−2>0，从而得出2a+b>1，由a+b<0，得出b<−a，即可得出2a−a>1，即a>1．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图1，∵点E在△ABP的外接圆上，
∴∠AEP+∠A=180°，
∴∠AEP=90°，
∴∠EAP+∠EPA=90°．
∵EA=EP，
∴∠EAP=∠EPA=45°，
∴△PAE是等腰直角三角形；
(2)解：DE= 2PF，
理由：如图2，延长FE交AD于点H，

∵EF⊥BC，BC/​/AD，
∴EH⊥AD，
即∠AHE=∠EFP=90°，
∴∠EAH+∠AEH=90°，
∵∠AEP=90°，
∴∠PEF+∠AEH=90°，
∴∠EAH=∠PEF，
又∵△PAE是等腰直角三角形，
∴EA=EP，
∴△EAH≌△PEF(AAS)，
∴AH=EF，EH=PF，
∵AD=DC=HF，
∴AH+HD=EF+HE，
∴HD=HE=PF，
∴DE= 2HE= 2PF；
(3)解：①由(2)知DE= 2PF．
∵DE=2，
∴PF= 2．
∵P是BC的中点，
∴BC=2PC=4 2，
②∵tan∠EAD=13<1=tan∠EDA，
∴∠EAD<∠EDA=45°=∠PAE，
∴存在∠PAQ=∠EDA或∠PAQ=∠EAD，
当∠PAQ=∠EDA时，如图3，∠PAQ=45°=∠PAE，

∴PE=PQ，
∵∠B=90度，
∴AP是圆的直径，
∴AQ=AE，
∴AQ=AE= (3 2)2+( 2)2=2 5；
当∠PAQ=∠EAD时，如图4，连结PQ；

∵AP是圆的直径，
∴∠AQP=90°=∠AHE，
∴△APQ∽△AEH，
∴AQAH=APAE= 2，
∴AQ= 2AH=6，
综上所述，AQ的长是2 5或6．
【解析】(1)如图1，在正方形ABCD中，∠B=90°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEP+∠A=180°，求得∠EAP+∠EPA=90°.得到∠EAP=∠EPA=45°，于是得到结论；
(2)如图2，延长FE交AD于点H.根据平行线的性质得到EH⊥AD，根据垂直的定义得到∠AHE=∠EFP=90°，根据全等三角形的判定和性质定理得到AH=EF，EH=PF，于是得到结论；
(3)①由(2)知DE= 2PF.求得PF= 2.根据P是BC的中点，于是得到BC=2PC=4 2，
②推出∠EAD<∠EDA=45°=∠PAE，当∠PAQ=∠EDA时，如图3，∠PAQ=45°=∠PAE，根据圆周角定理得到AP是圆的直径，根据勾股定理得到AQ=AE= (3 2)2+( 2)2=2 5.当∠PAQ=∠EAD时，如图4，连结PQ.由第一种情况可知AP是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．