2021年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷

这是一份2021年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算+，结果正确的是（ ）
A．+2B．10C．4D．
2．（3分）若多项式9x2+mx+1是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．±3B．±6C．3D．±9
3．（3分）一架直升机从高度为450m的位置开始，先以20m每秒的速度上升60s后，再以12m每秒的速度下降120s．这时直升机所在的高度为（ ）
A．210mB．250mC．440mD．690m
4．（3分）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（ ）
A．10cs50°B．10sin50°C．10tan50°D．10ct50°
5．（3分）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．ac＜bcB．ac2＞bc2C．ac+1＞bc+1D．a+c＞b+c
6．（3分）两条直线y1＝mx﹣n与y2＝nx﹣m在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，190，194．现用两名身高分别为187cm和188cm的队员换下场上身高为184cm和190cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变大，众数变小B．平均数变小，众数变大
C．平均数变小，众数变小D．平均数变大，众数变大
8．（3分）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
10．（3分）二次函数y1＝x2第一象限的图象上有两点A（a，k），B（b，k+1），关于二次函数y2＝x2+x+（m为任意实数）与x轴交点个数判断错误的是（ ）
A．若m＝1，则y2与x轴可能没有交点
B．若m＝，则y2与x轴必有2个交点
C．若m＝﹣1，则y2与x轴必有2个交点
D．若m＝，则y2与x轴必有2个交点
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）若分式的值等于0，则a的值为 ．
12．（4分）如图，AB∥CD，∠A＝35°，∠C＝80°，则∠E＝ ．
13．（4分）若x﹣y＝5，xy＝2，则x2+y2＝ ．
14．（4分）掷一枚骰子两次，两次面朝上的数字之和为偶数的概率是 ．
15．（4分）在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是圆上除A、B外的一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是 ．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，PA平分∠BAD且BP⊥AP，过点P作一条直线分别与AD，BC所在直线交于点E，F，若AB＝EF，BP＝3，AP＝4，则AE＝ ．
三、简答题（共66分）
17．（6分）小明在解一道分式方程﹣1＝，过程如下：
方程整理．
去分母x﹣1﹣1＝2x﹣5，
移项，合并同类项x＝3，
检验，经检验x＝3是原来方程的根．
小明的解答是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
18．（8分）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常积极的意义．某市有关部门对该市的某一型号的若干辆汽车进行了一项油耗抽样试验：在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在耗油1L的情况下所行驶的路程（单位：km）．对得到的数据进行统计分析，结果如图所示．
（注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～14.5）
请依据统计结果回答以下问题：
（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数直方图；
（3）求扇形D的圆心角的度数．
19．（8分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为2，AE＝1，求菱形BEDF的面积．
20．（10分）已知函数y1＝kx+k+1与y2＝．
（1）若y1过点（1，3），求y1，y2的解析式；
（2）在（1）的条件下，若1≤y2≤2，求出此时y1的取值范围；
（3）若y1的图象过一、二、四象限，判断y2的图象所在的象限．
21．（10分）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．
22．（12分）已知二次函数y1＝ax2+2x+b与y2＝bx2+2x+a（a≠b）图象开口朝上．
（1）当a＝1时，讨论函数y1的增减性；
（2）若y1与y2的图象有两个交点为A、B．请求出这两个交点的横坐标；
（3）记y1与y2的最小值分别为m、n．若m＞0，n＞0，且mn＝4，求ab的值．
23．（12分）如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，MN＝4，求ON的长．
2021年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）计算+，结果正确的是（ ）
A．+2B．10C．4D．
【分析】直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：+＝+3
＝4．
故选：C．
2．（3分）若多项式9x2+mx+1是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．±3B．±6C．3D．±9
【分析】根据完全平方公式得到9x2+mx+1＝（3x+1）2或9x2+mx+1＝（3x﹣1）2，然后把等式右边展开，从而得到m的值．
【解答】解：∵多项式9x2+mx+1是一个完全平方式，
∴9x2+mx+1＝（3x+1）2或9x2+mx+1＝（3x﹣1）2，
即9x2+mx+1＝9x2+6x+1或9x2+mx+1＝9x2﹣6x+1，
∴m＝6或m＝﹣6．
故选：B．
3．（3分）一架直升机从高度为450m的位置开始，先以20m每秒的速度上升60s后，再以12m每秒的速度下降120s．这时直升机所在的高度为（ ）
A．210mB．250mC．440mD．690m
【分析】如果规定飞机上升为正，根据题意列出算式计算确定出所求即可．
【解答】解：如果规定飞机上升为正，根据题意得
450+20×60+（﹣12）×120
＝450+1200﹣1440
＝210（m）．
答：这时直升机所在高度是210m．
故选：A．
4．（3分）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（ ）
A．10cs50°B．10sin50°C．10tan50°D．10ct50°
【分析】根据直角三角形的边角关系可得结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵csB＝，∠B＝50°，AB＝10，
∴BC＝AB•csB＝10•cs50°，
故选：A．
5．（3分）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．ac＜bcB．ac2＞bc2C．ac+1＞bc+1D．a+c＞b+c
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，原变形正确，故此选项符合题意；
D、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+c，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）两条直线y1＝mx﹣n与y2＝nx﹣m在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象的性质加以分析即可．
【解答】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：
A．由y1＝mx﹣n图象可知m＜0，n＜0；由y2＝nx﹣m图象可知m＜0，n＞0．A错误；
B．由y1＝mx﹣n图象可知m＞0，n＜0；由y2＝nx﹣m图象可知m＞0，n＜0．B正确；
C．由y1＝mx﹣n图象可知m＞0，n＞0；由y2＝nx﹣m图象可知m＜0，n＞0．C错误；
D．由y1＝mx﹣n图象可知m＞0，n＞0；由y2＝nx﹣m图象可知m＞0，n＜0．D错误；
故选：B．
7．（3分）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，190，194．现用两名身高分别为187cm和188cm的队员换下场上身高为184cm和190cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变大，众数变小B．平均数变小，众数变大
C．平均数变小，众数变小D．平均数变大，众数变大
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和众数，再进行比较即可得出答案．
【解答】解：原数据的平均数为×（180+184+188+190+190+194）＝187，众数是190，
新数据的平均数为×（180+187+188+188+190+194）＝187，众数是188，
故平均数变大，众数变小．
故选：A．
8．（3分）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有三个的k值．
【解答】解：函数的图象如图：
根据图象知道当y＝3时，对应成立的x值恰好有三个，
∴k＝3．
故选：D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【分析】求出∠DAE的度数，再利用弧长计算公式求出即可．
【解答】解：由题意可知：AE＝AD＝BC＝2，
在Rt△ABE中，sin∠AEB＝＝＝，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
l＝＝＝，
故A、B、D错误，
故选：C．
10．（3分）二次函数y1＝x2第一象限的图象上有两点A（a，k），B（b，k+1），关于二次函数y2＝x2+x+（m为任意实数）与x轴交点个数判断错误的是（ ）
A．若m＝1，则y2与x轴可能没有交点
B．若m＝，则y2与x轴必有2个交点
C．若m＝﹣1，则y2与x轴必有2个交点
D．若m＝，则y2与x轴必有2个交点
【分析】由点A、B在二次函数y1＝x2第一象限的图象上，得到b2＝a2+1，由△＝（）2﹣4×＝，即可求解．
【解答】解：点A、B在二次函数y1＝x2第一象限的图象上，
则k＝a2且k+1＝b2，即b2＝a2+1，
对于函数函数y2，△＝（）2﹣4×＝，
当m＝时，△＝＝＞0，
故m＝，则y2与x轴必有2个交点正确，故D正确，不符合题意；
当m＝﹣1时，同理可得：△＝＞0，故C正确，不符合题意；
当m＝时，同理可得：△＝≥0，故B错误，符合题意；
同理可得：A正确，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）若分式的值等于0，则a的值为 5 ．
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零且分母不为零进而得出答案．
【解答】解：若分式的值等于0，则a﹣5＝0且a≠0，
解得a＝5，
故答案为：5．
12．（4分）如图，AB∥CD，∠A＝35°，∠C＝80°，则∠E＝ 45° ．
【分析】由平行线的性质可求得∠BFE，结合三角形的外角的性质可求得∠E．
【解答】解：
∵AB∥CD，∠C＝80°，
∴∠BFE＝∠C＝80°，
∵∠A+∠E＝∠BFE，∠A＝35°，
∴∠E＝∠BFE﹣∠A＝45°，
故答案为：45°．
13．（4分）若x﹣y＝5，xy＝2，则x2+y2＝ 29 ．
【分析】根据完全平方公式求解即可．
【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝2，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝52+2×2＝25+4＝29．
故答案为：29．
14．（4分）掷一枚骰子两次，两次面朝上的数字之和为偶数的概率是 ．
【分析】由列表法列举出两次抛掷一枚骰子出现的所有情况，找出两次面朝上的数字之和为偶数的情况数，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：根据题意列表如下：
共有36个等情况数，其中两次面朝上的数字之和为偶数的结果有18个，
∴两次面朝上的数字之和为偶数的概率为＝，
故答案为：．
15．（4分）在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是圆上除A、B外的一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是 1﹣≤CM＜ ．
【分析】如图，连接OD、OC、OE，先计算出∠DOC+∠COE＝90°，则可判断△ODE为等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，则OM＝DE＝，利用OC﹣OM≤CM（当且仅当O、M、C共线时取等号）得到CM≥1﹣，由于当C点在A点或B点时，CM＝，从而得到CM的取值范围是1﹣≤CM＜．
【解答】解：如图，连接OD、OC、OE，
∵AB为直径，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵D、E分别是、的中点，
∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝，
∵M是弦DE的中点，
∴OM＝DE＝，
∵OC﹣OM≤CM（当且仅当O、M、C共线时取等号），
∴CM≥1﹣，
当C点在A点或B点时，CM＝，
∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，PA平分∠BAD且BP⊥AP，过点P作一条直线分别与AD，BC所在直线交于点E，F，若AB＝EF，BP＝3，AP＝4，则AE＝ 或 ．
【分析】分两种情形：①AB∥EF，得到四边形ABFE是平行四边形，②AB与EF不平行，得到四边形ABFE是等腰梯形，分别求解即可．
【解答】解：要使EF＝AB，有两种情况：
①EF∥AB，如图1中，
∵BC∥AD，
∴∠CBA+∠BAD＝180°，
又∵PA平分∠BAD且BP⊥AP，
∴∠BAP＝∠PAD，且∠PBA+∠BAP＝90°，
∴∠DBP+∠PAD＝∠DBP+∠BAP＝90°，
∴∠DBP＝∠PBA，
∴BP平分∠CBA，
∵EF∥AB，
∴∠ABP＝∠FPB，
即∠FBP＝∠FPB，
∴PF＝BF，
同理：AE＝PE，
∵BC∥AD，EF∥AB，
∴四边形BAEF是平行四边形，
∴EF＝AB，AE＝BF，
∴PE＝PF
∵BP⊥AP，
∴AB＝＝＝5，
∴PE＝PF＝，
∴AE＝．
②如图2中，当AB与FE不平行时，四边形ABFE是等腰梯形．过点P作PT⊥AE于T．
∵∠PAB＝∠PAT，∠APB＝∠ATP＝90°，
∴△PAB∽△TAP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴TA＝，PT＝，
∵PE＝PF＝，
∴TE＝＝＝，
∴AE＝AT+TE＝+＝．
综上所述，AE的长为或．
故答案为：或．
三、简答题（共66分）
17．（6分）小明在解一道分式方程﹣1＝，过程如下：
方程整理．
去分母x﹣1﹣1＝2x﹣5，
移项，合并同类项x＝3，
检验，经检验x＝3是原来方程的根．
小明的解答是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【分析】去分母的时候，1没有乘以（x﹣2），所以小明的解答错误，正确解答即可．
【解答】解：有错误，正确解答如下：
方程整理为：，
方程两边都乘以（x﹣2）得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，
解得：x＝3．
经检验，x＝3是原方程的根．
18．（8分）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常积极的意义．某市有关部门对该市的某一型号的若干辆汽车进行了一项油耗抽样试验：在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在耗油1L的情况下所行驶的路程（单位：km）．对得到的数据进行统计分析，结果如图所示．
（注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～14.5）
请依据统计结果回答以下问题：
（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数直方图；
（3）求扇形D的圆心角的度数．
【分析】（1）根据C所占的百分比以及频数，即可得到进行该试验的车辆数；
（2）根据B的百分比，计算得到B的频数，进而得到D的频数，据此补全频数分布直方图；
（3）用360°乘以D频数所占比例即可．
【解答】解：（1）进行该试验的车辆数为：9÷30%＝30（辆），
（2）B：20%×30＝6（辆），
D：30﹣2﹣6﹣9﹣4＝9（辆），
补全频数分布直方图如下：
（3）扇形D的圆心角的度数为360°×＝108°．
19．（8分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为2，AE＝1，求菱形BEDF的面积．
【分析】（1）连接BD，根据对角线互相平分证出四边形BEDF为平行四边形，再根据对角线互相垂直证出四边形BEDF是菱形；
（2）根据勾股定理求出正方形对角线的长，再求出菱形的对角线EF的长，根据菱形的面积公式＝对角线乘积的一半，求出菱形的面积．
【解答】解：（1）证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
又∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝AC＝2，
∴AC＝BD＝＝＝4，
∵AE＝1，
∴CF＝AE＝1，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝4﹣1﹣1＝2，
∴菱形BEDF的面积＝×EF×BD＝×2×4＝4．
20．（10分）已知函数y1＝kx+k+1与y2＝．
（1）若y1过点（1，3），求y1，y2的解析式；
（2）在（1）的条件下，若1≤y2≤2，求出此时y1的取值范围；
（3）若y1的图象过一、二、四象限，判断y2的图象所在的象限．
【分析】（1）关键函数y1过点（1，3），，解方程即可得k值；
（2）由1≤y2≤2，求出自变量取值范围1≤x≤2，再根据y1的增减性确定y1的取值范围；
（3）由一次函数经过第一、二、四象限，可得不等式组，解不等式组即可得到k的范围，进而判断y2的图象所在的象限．
【解答】解：（1）把点（1，3）代入y1＝kx+k+1中，得：
3＝k+k+1，解得：k＝1．
故y1＝x+2；y2＝＝．
（2）在（1）条件下，当1≤y2≤2时，则1≤x≤2，
∵y1＝x+2中，y1随x增大而增大，
故3≤y1≤4．
（3）由y1的图象过一、二、四象限，由一次函数图象性质得：
，解得：﹣1＜k＜0．
∴0＜k+1＜1，
故y2的图象过第一、三象限．
21．（10分）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．
【分析】（1）通过证明△ADF∽△CDB，可得∠F＝∠B，由余角的性质可求解；
（2）通过证明△ABE∽△CBD，可得，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AF•CD＝BC•AD，
∴，
设＝k，
∴AF＝kAD，BC＝kCD，
∴DF＝＝AD，BD＝＝CD，
∴，
又∵∠ADF＝∠BDC，
∴△ADF∽△CDB，
∴∠F＝∠B，
∵∠B+∠BCD＝90°，
∴∠F+∠BCD＝90°，
∴AE⊥BC；
（2）∵BE＝CE，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABE＝∠DBC，∠BDC＝∠AEB＝90°，
∴△ABE∽△CBD，
∴，
∴BC•BC＝AB•BD，
∴BC2＝2BD•AC．
22．（12分）已知二次函数y1＝ax2+2x+b与y2＝bx2+2x+a（a≠b）图象开口朝上．
（1）当a＝1时，讨论函数y1的增减性；
（2）若y1与y2的图象有两个交点为A、B．请求出这两个交点的横坐标；
（3）记y1与y2的最小值分别为m、n．若m＞0，n＞0，且mn＝4，求ab的值．
【分析】（1）根据二次函数的图象的性质回答即可；
（2）根据y1＝y2，化简求解即可得到答案；
（3）根据二次函数的最值及点的坐标特征求解即可得到答案．
【解答】解：（1）a＝1时，y1＝x2+2x+b，
∴对称轴x＝﹣＝﹣，图象开口向上，
∴在x时，y1随x的增大而增大；
（2）y1＝y2，即ax2+2x+b＝bx2+2x+a，
∴（a﹣b）x2+b﹣a＝0，
∴（a﹣b）（x2﹣1）＝0，
∴（a﹣b）（x﹣1）（x+1）＝0，
y1与y2有2个交点，即为x＝1和x＝﹣1．
（3）y1：当x＝﹣＝﹣时，y1有最小值，此时y1＝a＝＝m，
∴ab＞3，
y2：当x＝﹣＝﹣时，y2有最小值，此时y2＝a﹣＝n，
∵MN＝4，即（b﹣）（a﹣）＝4，
∴ab﹣3﹣3+＝4，
∴ab+﹣10＝0，
∴（ab）2+9﹣10ab＝0，
∴（ab﹣1）（ab﹣9）＝0，
∴ab＝9．
23．（12分）如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，MN＝4，求ON的长．
【分析】（1）利用垂径定理得到AB垂直平分CD，所以PC＝PD，因为PC是⊙O切线，所以得到∠ODP＝90°，因为OC＝OD，得到∠OCD＝∠ODC，通过等量代换，可以算得∠OCP＝90°，即OC⊥CP，又OC是半径，从而证明CP是⊙O切线；
（2）①利用CE⊥OP，得到∠OCE+∠DCP＝90°，又△COP是直角三角形，则∠DCP+∠MPO＝90°，证得∠OCE＝∠MPO，又OM平分∠COP，得到∠CON＝∠MOP，从而得到△OMP∽△ONC；
②利用△OMP∽△ONC，得到∠CNO＝∠OMP，利用等角的补角相等，得到∠CNM＝∠CMO，所以CM＝CN＝10，过C作CG⊥MN于G，解直角△CMG，得到∠CMG的三角函数值，在直角三角形CMO中，因为CM＝10，tan∠CMO＝2，从而求得CO和OM的值，ON即可求．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1，
∵PD为⊙O切线，
∴∠ODP＝90°，
∵AB⊥CD，且AB为⊙O直径，
∴AB垂直平分CD，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
又∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCP＝∠OCD+∠PCD＝∠ODC+∠PDC＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线；
（2）①∵AB⊥CD，
∴∠CEP＝90°，
∴∠ECP+∠MPO＝90°，
又∠OCD+∠ECP＝90°，
∴∠MPO＝∠OCD，
又OM平分∠COP，
∴∠CON＝∠MOP，
∴△OMP∽△ONC；
解：②过C作CG⊥OM于G，
∵△OMP∽△ONC，
∴∠CNO＝∠OMP，
∵180°﹣∠CNO＝180°﹣∠OMP，
∴∠CMO＝∠CNM，
∴CM＝CN＝10，
∵CG⊥MN，
∴NG＝MG＝，
∴CG＝，
∴tan∠CMN＝，
又在Rt△COM中，
tan∠CMN＝，
∴OC＝2CM＝20，
∴OM＝，
∴ON﹣OM﹣MN＝．

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