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人教版八年级数学上册第十三章《轴对称－复习训练》讲义第13讲 第13讲 轴对称－复习训练
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这是一份人教版八年级数学上册第十三章《轴对称－复习训练》讲义第13讲 第13讲 轴对称－复习训练，共31页。试卷主要包含了轴对称图形与轴对称，轴对称变换及用坐标表示轴对称，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，30°所对的直角边是斜边的一半等内容，欢迎下载使用。
第13讲 轴对称－复习训练
第一部分 知识梳理
第二部分 考点精讲精练
考点一、轴对称图形与轴对称
【知识要点】
（1）轴对称图形：如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。
（2）轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__________
【典型例题】
1．下列几何图形中，线段 ；角 ；直角三角形 ；半圆，其中一定是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图中，轴对称图形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．正n边形有_______条对称轴，圆有_______条对称轴
4、下列图形中，是轴对称图形的为（ ）
A B C D
5、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
6、下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（ ）
雪佛兰 三菱 雪铁龙 丰田
A.4个 B.5个 C. 6个 D.7个
7、如图所示的图形共有对称轴的条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8、下列图形中对称轴最多的是（ ）
A、圆 B、正方形 C、等腰三角形 D、线段
9、下列图形中不一定为轴对称图形的是（ ）
A、等腰三角形 B、正五角星 C、梯形 D、长方形
10、下列说法中，正确的是（ ）
A．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
B．全等三角形是关于某直线对称的
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
11、将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）
A
B
C
D
12、某居民小区搞绿化,要在一块长方形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)并且使整个长方形场地成轴对称图形,请在长方形中画出你设计的方案.
13、数的运算中会有一些有趣的对称形式，按照等式（1）的形式填空，并检验等式是否成立，你还能举出一些类似的例子吗？
（1）12×231=132×21
（2）12×462= × 。
（3）18×891= × 。
（4）24×231= × 。
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
【知识要点】
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_________的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．
作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形
【典型例题】
1、点 A（－3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是（ ）
A、（－3 ，－2） B、（3 ，2） C、（－3 ，2） D、（2 ，－3）
2、点P（a，b）关于 x 轴的对称点为P＇（1，-6），则A、B的值分别为（ ）
A、1 ，6 B、－1 ，－6 C、－1 ，6 D、1 ，－6
3、点P关于x 轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点P关于y轴对称点P"的坐标为（ ）
A、 (－4，5) B 、(4，－5) C、 (－4，－5) D 、(－5，－4)
4、平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是（ ）
A、x轴 B、y轴 C、直线y=4 D、直线x=-1
5、下列关于 直线 x=1 对称的点是（ ）
A、点（0 ，－3）与点（－2 ，－3） B、点（2 ，3）与点（－2 ，3）
C、点（2 ，3）与点（0 ，3） D、点（2 ，3）与点（2 ，－3 ）
6、已知A(－1，－2)和B(1，3），将点A向_____平移______个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．
7、如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点A的坐标为（2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为：B( ， )，C( ， )，D( ， )。
8、若A（m－1，2n+3）与B（n－1，2m+1）关于y轴对称，则m= ,n= .
9、已知a＜0，那么点P（－a²－2，2－a）关于x轴对称的对应点P'在第 象限
10、已知点M（1－a，2a+2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，求a的取值范围？
11、已知点A的坐标为（2x+y-3，x－2y）。它关于x轴对称的点A'的坐标为（x+3，y－4），求点A关于y轴对称的点的坐标。
12、如图，从△ABC到△A′B′C′是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换，找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的？
13、如图，画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，并写出△ABC关于y轴对称的三角形的各顶点坐标．
15、如图，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP，则AP+DP的最小值是 ．
考点三、线段垂直平分线的性质
【知识要点】
⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________
⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等
角平分线的性质
⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________
⑵角平分线上的点到______________________________相等
【典型例题】
1、如图，△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数．
2、如图，△ABC中，AB=AC，PB=PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC。
3、如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC 的周长为（ ）
A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠BAC的平分线交 BC于D. 过C点作CG⊥AB于G，交AD于E. 过D点作DF⊥AB于F.下列结论：
①∠CED=∠CDE；②︰︰；③∠ADF=2∠ECD；
④；⑤CE=DF. 其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
5、如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，∠A=50°，AB+BC=6cm，则△BCF的周长为____，∠EFC的度数为______．
F
E
D
C
B
A
G
（3） （4） （5）
6、如图所示，EFGH是一个长方形的台球台面，有黑白两球，分别位于A，B两点所在的位置，试问：怎样撞击黑球A，才能使黑球A先撞击台边EF，反弹后再击中白球B？
7、如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．（要求用尺规画图，保留作图痕迹）
8、如图，P为∠AOB内任意一点，分别在OA、OB上求作点P1、P2，使△PP1P2的周长最小。
9、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，求证：CM=2BM．
10、如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的
延长线于点F，连结AF．求证：∠BAF=∠ACF．
考点四、等腰三角形的性质和判定
【知识要点】
⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”）
⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”）
特别的：（1）等腰三角形是___________图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________.
⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”）
特别地：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．
（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．
（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．
（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
【典型例题】
1．已知等腰三角形的一个内角是800，则它的另外两个内角是 。
2．已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是 。
3．已知等腰三角形有两边的长分别为6，3，则这个等腰三角形的周长是 。
4．已知等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另外两边的长是 。
5．等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，则它的三边的长分别为 。
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角度数为 。
7、等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且=2cm，则腰AC的长为（ ）
A.10cm或6cm B.10cm C.6cm D.8cm或6cm
8、已知等腰三角形的两边a，b，满足+(2a+3b-13)2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A.7或8 B.6或10 C.6或7 D.7或10
9、如图所示，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（ ）
A.90° B.75° C.70° D.60°
10、等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为 .
11、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°，则这个三角形的顶角为 .
12、在△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=140°，则∠A= .
13、已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
14、如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形。
15、如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE．求证：△ABC是等腰三角形．
16、如图所示，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数.
D
C
B
A
考点五、等边三角形的性质和判定
【知识要点】
⑴、等边三角形的各____相等，各____相等并且每一个角都等于________
⑵、三个角相等的三角形是__________三角形
⑶、有一个角是60°的____________三角形是等边三角形
特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线___________________________
【典型例题】
1、下列推理中，错误的是（ ）
A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
2、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
3、已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AE=CF，BE、AF交于点D，则∠BDF＝_______度
4、如图，点P是等边△ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE、PF、PG，等边△ABC的高为AD，求证：PE+PF+PG=AD。
5、如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
6、如图，B、C、D在一直线上，ΔABC、ΔADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，则AC＝_____，∠ECD＝_____．
（5） （6）
7、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE； ②PQ∥AE； ③AP=BQ； ④DE=DP； ⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有________．（把你认为正确的序号都填上）
8、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为 BC的中点.
（1）写出点D到ΔABC三个顶点 A、B、C的距离的关系（不要求证明）
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，
请判断△DMN的形状，并证明你的结论
N
M
D
C
B
A
9、如图，在等边△ABC中，延长AC到D，以BD为一边作等边△BDE，连接AE，
求证：（1）△ABE≌△CBD； （2）AD=AE+AB．
10、如图所示，已知∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°.求证BD=AB
11、已知，如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°, D为BC中点，DE⊥AB于E。求证：AE=AB
12、已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形。
求证：（1）△AEF≌△CDE； （2）△ABC为等边三角形。
13、如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）
考点六、30°所对的直角边是斜边的一半
【知识要点】
性质定理：
【典型例题】
1、如图，AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC=120o，BC=6，则DE+DF= 。
2、如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F. 求证：BF=2CF.
3、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，AE⊥CD，AE、BD相交于O，求证：OD=BC.
第三部分 综合训练
一、选择题
1．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法：①线段AB、CD互相垂直平分，则AB是CD的对称轴，CD是AB的对称轴；②如果两条线段相等，那么这两条线段关于直线对称；③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线．其中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．正方形 D．长方形
4．一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm
5．如果等腰三角形的一个底角为α，那么（ ）
A．α不大于45° B．0°＜α＜90°
C．α不大于90° D．45°＜α＜90°6．
6．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
7．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
8．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25° B．40° C．25°或40° D．不能确定
9．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：a
①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC= ．
12．已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，其它两边的长为 ．
13．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．14．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC= cm．
15．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF= ．
16．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF= 度．
（14） （15） （16）
三、解答题=
17．要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）． 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由．
18．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）
19．如图，已知D、E两点在线段BC上，AB=AC，AD=AE．证明：BD=CE．
20．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，请说明DB=DE的理由．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．
22．如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．
23．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，BD=CE，求∠AFE的度数．
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24．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你说明
DA﹣DB=DC．
25．已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．
第13讲 轴对称－复习训练
第二部分 考点精讲精练
考点一、轴对称图形与轴对称
【典型例题】
1．C
2．B
3．___n___条， ___无数____条
4、D
5、C
6、C
7、B
8、A
9、C
10、 B
11、C
12、解：“答案不唯一”，如图所示：
13、依题意有12×462=264×21；18×891=198×81；24×231=132×42．
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
【典型例题】
1、B
2、A
3、A
4、C
5、C
6、___上___平移___5____个
7、B( -2 ， 1 )，C( -2 ， -1 )，D( 2 ， -1 )。
8、 , .
9、第 一 象限
10、
11、2X+Y-3=X+3 X＝5
解得
X-2Y=-(Y-4) Y＝1
即2X+Y-3=8,X＋3=6
X-2Y=3即-(Y-4)=3
故两个对称坐标为（8,3）和（8,－3）.
12、解：根据图形可知A（-2，2），B（1，1），C（2，-3），A′（-2，-2），B′（1，-1），C′（2，3），对应点A′与A，B′与B，C′与C之间的关系是：横坐标不变，纵坐标变成原来的相反数。根据关于x轴对称点之间的坐标规律： 点（x，y）关于x轴对称点的坐标为（x，-y），可知△A′B′C′与△ABC关于x轴对称。
13、如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；点A′（3，2），B′（4，-3），C′（1，-1）．
15、解：作A关于BC的对称点A'，连接A′B，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵PA=A'P，
∴△AA'B为等边三角形，
∴AP+DP=A'P+PD为A'与直线AB之间的连接线段，
∴最小值为A'到AB的距离=BC=6，
故答案为：6．
考点三、线段垂直平分线的性质
【典型例题】
1、解： ∵DE⊥BC，E是BC的中点，
∴BD=CD，
∴∠CBD=∠C，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠CBD=∠C，
∵△ABC中，∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=3∠C=90°，
∴∠C=30°．
2、证明：∵AB=AC，PB=PC，AP=AP，
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴∠BAP=∠CAP，
即AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC（三线合一）．
3、B
4、B
5、__6__，___40°___．
6、
过EF作A的对称点A'，
连接A'B，交EF于M点，
则将A球击向M点反弹后会击中B球．
7、如图所示，点P就是所求的点．
8、如图所示，分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连结P′P′′，交OA于点P1，交OB于点P2，则点P1、P2为所要求作的点。
9、证：如答图所示，连接AM，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠MAC=90°，
∴CM=2AM，
∴CM=2BM．
10、证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠ADF，
∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠ADF=∠B+∠DAB，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠CAD，
∴∠CAF=∠B，
∴∠BAC+∠FAC=∠B+∠BAC，
即∠BAF=∠ACF．
考点四、等腰三角形的性质和判定
【典型例题】
1． 500，500或800，200 。
2． 400，400 。
3． 15 。
4． 9或9 。
5． 6、6、4或 、、 。
6． 600或1200 。
7、A
8、A
9、D
10、 22cm .
11、70° .
12、 100° .
13、∵BP=QC=PQ=AP=AQ，
∴△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，
∴∠APB=∠AQC=120°，
在△ABP和△CAQ中，
∵△ABP≌△CAQ（SAS），
∴∠QAC=∠B=∠APQ=30°，
同理：∠BAP=30°，
∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°．
14、证明：∵BD=BE， ∴∠D=∠BED
又∵∠FEC=∠BED， ∴∠D=∠FEC
∵DF⊥AC， ∴∠EFC=∠DFA=90°
∴∠D+∠A=90°，∠FEC +∠C=90°
∴∠A=∠C
∴AB=BC，即△ABC为等腰三角形。
15、证明：过D作DG∥AC交BC于G
∵DG∥AC
∴∠GDF=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中：∠GDF=∠CEF， DF=EF，∠DFG=∠CFE
∴△GDF≌△CEF（ASA）；
∴DG=CE
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形。
16、解：∵AD=BD ∴∠B=∠1
∵∠ADC=∠B+∠1 ∴∠ADC=2∠1
∵AC=CD ∴∠2=∠ADC=2∠1
∵∠B=∠C
∴5∠1=180°
∴∠1=36° ∴∠BAC=108°
考点五、等边三角形的性质和判定
【典型例题】
1、B
2、证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点．
3、___60____度
4、分析：连接PA、PB、PC，根据△ABP、△BCP、△ACP的面积和等于△ABC的面积，由等边三角形的三边相等，即可得出结论．
5、A
6、__9___，___60°__．
7、__①②③⑤______．
8、
9、
10、
11、
12、证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量加等量和相等）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
13、
考点六、30°所对的直角边是斜边的一半
【典型例题】
1、 3 。
2、证明：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=（180°−120°）/2=30°，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴BF=2CF（等量代换）．
3、
第三部分 综合训练
一、选择题
1．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称．
【解答】解：A、是平移变换，不符合题意；
B、是轴对称变换，符合题意；
C、是平移变换，不符合题意；
D、是中心对称变换，不符合题意．
故选B．
【点评】考查了图形的三种变换：平移、轴对称、旋转．
2．下列说法：①线段AB、CD互相垂直平分，则AB是CD的对称轴，CD是AB的对称轴；②如果两条线段相等，那么这两条线段关于直线对称；③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线．其中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：①线段AB、CD互相垂直平分，则线段AB所在的直线是线段CD的对称轴，线段CD所在的直线是线段AB的对称轴，故错误；
②如平行四边形的一组对边符合两条线段相等，但不关于任何一条直线对称，错误；
③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线所在的直线，错误．
错误的个数是3个，故选D．
【点评】掌握好轴对称的概念．
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．并且注意对称轴一定是直线．
3．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．正方形 D．长方形
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，确定各个图形有几条对称轴．
【解答】解：A、等腰直角三角形有一条对称轴；
B、等边三角形有三条；
C、正方形有四条；
D、长方形有两条对称轴．
故选A．
【点评】掌握好轴对称的概念．
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
4．一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分别从腰长是7cm，底边长为5cm，与腰长是5cm，底边长为7cm，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：若腰长是7cm，底边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是：7+7+5=19（cm）；
若腰长是5cm，底边长为7cm，则这个等腰三角形的周长是：7+5+5=17（cm）；
综上所述，这个等腰三角形的周长是17cm或19cm．
故选D．12283577
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
5．如果等腰三角形的一个底角为α，那么（ ）
A．α不大于45° B．0°＜α＜90° C．α不大于90° D．45°＜α＜90°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理进行分析即可．
【解答】解：等腰三角形的底角相等，一个底角是α，则另一底角也一定是α，根据三角形的内角和定理得三个内角的和是180°，因而两底角的和2α一定满足：0＜2α＜180°，则0°＜α＜90°．故选B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形的性质的运用．
6．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．
【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，
∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，
当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12．
故选：A．
7．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质，高线即是角平分线，再利用三角形的内角和定理知钝角的度数是120°．
【解答】解：∵等边△ABC的两条高线相交于O
∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=120°
故选B
【点评】此题主要考查了等边三角形三线合一的性质，比较简单．
8．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25° B．40° C．25°或40° D．不能确定
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣50°=40°；
当顶角是50°时，则它的底角就是（180°﹣50°）=65°则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣65°=25°；
故选C．
【点评】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°
9．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．
【解答】解：分二种情况进行讨论：
当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．
∴符合条件的点一共4个．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．
10．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：
①△ABC≌△A′B′C′；
②∠BAC′=∠B′AC；
③l垂直平分CC′；
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，
正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据关于某直线成轴对称的两个图形能够完全重合对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴①△ABC≌△A′B′C′，正确；
②∠BAC=∠B′AC′，
∴∠BAC+∠CAC′=∠B′AC′+∠CAC′，
即∠BAC′=∠B′AC，正确；
③l垂直平分CC′，正确；
④应为：直线BC和B′C′的交点一定在l上，故本小题错误．
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选B．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
二、填空题．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC= 2 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可．
【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC=AB=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，比较容易解答，要求熟记30°角所对的直角边是斜边的一半．
12．已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，其它两边的长为 5，5 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】由于长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
【解答】解：当腰为3时，另一腰也为3，则底为13﹣2×3=7，
∵3+3=6＜7，
∴这样的三边不能构成三角形．
当底为3时，腰为（13﹣3）÷2=5，
∴以3，5，5为边能构成三角形．
故答案为：5，5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是 90°或36° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据已知条件，根据比先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．
【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=2x，分情况讨论：
当∠A=∠C为底角时，x+x+2x=180°解得，x=45°，顶角∠B=2x=90°；
当∠B=∠C为底角时，2x+x+2x=180°解得，x=36°，顶角∠A=x=36°．
故这个等腰三角形的顶角度数为90°或36°．
故答案为：36°或90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
14．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC= 7 cm．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到AD=BD，进行等量代换后可得答案．
【解答】解：∵DE为AB边的垂直平分线
∴DA=DB
∵△ACD的周长为7cm
∴AD+AC+CD=AC+BC=7．
故填7．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识；利用垂直平分线的性质后进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
15．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF= 75° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°，
∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠MEF=∠EFD+∠A=60°+15°=75°．
故答案为：75°．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
16．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF= 55 度．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】首先求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠A，从而利用四边形内角和定理求出∠EDF．
【解答】解：∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°
又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E
∴∠C=180°﹣（∠CFD+∠FDC）=55°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°
根据四边形内角和为360°可得：
∠EDF=360°﹣（∠AED+∠AFD+∠A）=55°
∴∠EDF为55°．
故填55．
【点评】本题考查的是四边形内角和定理以及等腰三角形的性质；解题关键是先求出∠A的度数，再利用四边形的内角和定理求出所求角．
三、解答题
17．要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）． 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】可作B点关于小河的对称点B′，连接B′A与小河的交点P，就是所求．
【解答】解：先作点B关于河岸的对称点，然后连接此对称点与点A，交河岸于点P，点P即为所求．
【点评】本题考查路程最短的问题，实质利用了线段垂直平分线的性质，是考试中经常出现的问题．
18．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】由于AB=AD，利用等边对等角可得∠ABD=∠ADB，而AD∥BC，利用平行线性质，可得∠ABD=∠CBD，等量代换可得∠ABD=∠CBD，从而可知BD是∠ABC的角平分线．
【解答】证明：∵AB=AD（已知），
∴∠ABD=∠ADB（等边对等角），
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABD=∠CBD（等量代换），
∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义．
19．如图，已知D、E两点在线段BC上，AB=AC，AD=AE．
证明：BD=CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质求出BF=CF，DF=EF，相减即可求出答案．
【解答】证明：
过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，AD=AE，AF⊥BC，
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF﹣DF=CF﹣EF，
∴BD=CE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
20．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，请说明DB=DE的理由．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得∠CBD=30°，∠ACB=60°，根据CD=CE可得∠CDE=∠CED，根据∠CDE+∠CED=∠ACB即可解题．
【解答】解：∵等边三角形三线合一，
∴BD为∠ABC的角平分线，
∴∠CBD=30°，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE+∠CED=∠ACB，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠CBD=∠CED=30°，
∴BD=DE．
【点评】本题考查了等边三角形各边相等的性质，等腰三角形底角相等的性质，本题中求证∠CBD=∠CED是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD=x，结合三角形外角的性质，则可用x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数．
【解答】解：∵DE=EB
∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°，
∴∠A=2x=22.5°×2=45°．
【点评】①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；
③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
22．如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．
【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质．
【分析】过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC=15°，根据平行线的性质可得∠DPO=∠AOP=15°，从而可得PD=OD，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
【解答】解：过P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=15°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠AOP=15°，
∴∠BOC=∠DPO，
∴PD=OD=4cm，
∵∠AOB=30°，PD∥OA，
∴∠BDP=30°，
∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，
∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
∴PE=PF=2cm．
【点评】此题主要考查：（1）含30°度的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
23．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，BD=CE，求∠AFE的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，∠ABC与∠C的关系，根据全等三角形的判定，可得△ABD与△BCE的关系，根据全等三角形的性质，可得∠BAD与∠EBC的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．
【解答】解；△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°．
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE．
由三角形弯角的性质得∠AFE=∠BAF+∠ABF，
∠AFE=∠CBE+∠ABF=60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明三角形全等，在证明全等三角形的对应角相等，最后由三角形的外角的性质得出答案．
24．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你说明
DA﹣DB=DC．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，BD、BE、DE的关系，根据三角形全等的判定，可得△ABE与△CBD的关系，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，根据线段的和差，等量代换，可得证明结果．
【解答】证明：△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD=DE（等边三角形的边相等），
∠ABC=∠EBD=60°（等边三角形的角是60°）．
∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBD﹣∠EBC
∠ABE=CBD （等式的性质），
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE=DC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD﹣DE=AE（线段的和差）
∴AD﹣BD=DC（等量代换）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明三角形全等，再证明全等三角形的对应边相等，最后等量代换．
25．已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．
第13讲 轴对称－复习训练
第一部分 知识梳理
第二部分 考点精讲精练
考点一、轴对称图形与轴对称
【知识要点】
（1）轴对称图形：如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。
（2）轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__________
【典型例题】
1．下列几何图形中，线段 ；角 ；直角三角形 ；半圆，其中一定是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图中，轴对称图形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．正n边形有_______条对称轴，圆有_______条对称轴
4、下列图形中，是轴对称图形的为（ ）
A B C D
5、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
6、下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（ ）
雪佛兰 三菱 雪铁龙 丰田
A.4个 B.5个 C. 6个 D.7个
7、如图所示的图形共有对称轴的条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8、下列图形中对称轴最多的是（ ）
A、圆 B、正方形 C、等腰三角形 D、线段
9、下列图形中不一定为轴对称图形的是（ ）
A、等腰三角形 B、正五角星 C、梯形 D、长方形
10、下列说法中，正确的是（ ）
A．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
B．全等三角形是关于某直线对称的
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
11、将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）
A
B
C
D
12、某居民小区搞绿化,要在一块长方形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)并且使整个长方形场地成轴对称图形,请在长方形中画出你设计的方案.
13、数的运算中会有一些有趣的对称形式，按照等式（1）的形式填空，并检验等式是否成立，你还能举出一些类似的例子吗？
（1）12×231=132×21
（2）12×462= × 。
（3）18×891= × 。
（4）24×231= × 。
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
【知识要点】
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_________的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．
作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形
【典型例题】
1、点 A（－3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是（ ）
A、（－3 ，－2） B、（3 ，2） C、（－3 ，2） D、（2 ，－3）
2、点P（a，b）关于 x 轴的对称点为P＇（1，-6），则A、B的值分别为（ ）
A、1 ，6 B、－1 ，－6 C、－1 ，6 D、1 ，－6
3、点P关于x 轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点P关于y轴对称点P"的坐标为（ ）
A、 (－4，5) B 、(4，－5) C、 (－4，－5) D 、(－5，－4)
4、平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是（ ）
A、x轴 B、y轴 C、直线y=4 D、直线x=-1
5、下列关于 直线 x=1 对称的点是（ ）
A、点（0 ，－3）与点（－2 ，－3） B、点（2 ，3）与点（－2 ，3）
C、点（2 ，3）与点（0 ，3） D、点（2 ，3）与点（2 ，－3 ）
6、已知A(－1，－2)和B(1，3），将点A向_____平移______个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．
7、如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点A的坐标为（2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为：B( ， )，C( ， )，D( ， )。
8、若A（m－1，2n+3）与B（n－1，2m+1）关于y轴对称，则m= ,n= .
9、已知a＜0，那么点P（－a²－2，2－a）关于x轴对称的对应点P'在第 象限
10、已知点M（1－a，2a+2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，求a的取值范围？
11、已知点A的坐标为（2x+y-3，x－2y）。它关于x轴对称的点A'的坐标为（x+3，y－4），求点A关于y轴对称的点的坐标。
12、如图，从△ABC到△A′B′C′是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换，找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的？
13、如图，画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，并写出△ABC关于y轴对称的三角形的各顶点坐标．
15、如图，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP，则AP+DP的最小值是 ．
考点三、线段垂直平分线的性质
【知识要点】
⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________
⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等
角平分线的性质
⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________
⑵角平分线上的点到______________________________相等
【典型例题】
1、如图，△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数．
2、如图，△ABC中，AB=AC，PB=PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC。
3、如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC 的周长为（ ）
A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠BAC的平分线交 BC于D. 过C点作CG⊥AB于G，交AD于E. 过D点作DF⊥AB于F.下列结论：
①∠CED=∠CDE；②︰︰；③∠ADF=2∠ECD；
④；⑤CE=DF. 其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
5、如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，∠A=50°，AB+BC=6cm，则△BCF的周长为____，∠EFC的度数为______．
F
E
D
C
B
A
G
（3） （4） （5）
6、如图所示，EFGH是一个长方形的台球台面，有黑白两球，分别位于A，B两点所在的位置，试问：怎样撞击黑球A，才能使黑球A先撞击台边EF，反弹后再击中白球B？
7、如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．（要求用尺规画图，保留作图痕迹）
8、如图，P为∠AOB内任意一点，分别在OA、OB上求作点P1、P2，使△PP1P2的周长最小。
9、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，求证：CM=2BM．
10、如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的
延长线于点F，连结AF．求证：∠BAF=∠ACF．
考点四、等腰三角形的性质和判定
【知识要点】
⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”）
⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”）
特别的：（1）等腰三角形是___________图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________.
⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”）
特别地：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．
（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．
（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．
（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
【典型例题】
1．已知等腰三角形的一个内角是800，则它的另外两个内角是 。
2．已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是 。
3．已知等腰三角形有两边的长分别为6，3，则这个等腰三角形的周长是 。
4．已知等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另外两边的长是 。
5．等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，则它的三边的长分别为 。
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角度数为 。
7、等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且=2cm，则腰AC的长为（ ）
A.10cm或6cm B.10cm C.6cm D.8cm或6cm
8、已知等腰三角形的两边a，b，满足+(2a+3b-13)2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A.7或8 B.6或10 C.6或7 D.7或10
9、如图所示，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（ ）
A.90° B.75° C.70° D.60°
10、等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为 .
11、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°，则这个三角形的顶角为 .
12、在△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=140°，则∠A= .
13、已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
14、如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形。
15、如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE．求证：△ABC是等腰三角形．
16、如图所示，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数.
D
C
B
A
考点五、等边三角形的性质和判定
【知识要点】
⑴、等边三角形的各____相等，各____相等并且每一个角都等于________
⑵、三个角相等的三角形是__________三角形
⑶、有一个角是60°的____________三角形是等边三角形
特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线___________________________
【典型例题】
1、下列推理中，错误的是（ ）
A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
2、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
3、已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AE=CF，BE、AF交于点D，则∠BDF＝_______度
4、如图，点P是等边△ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE、PF、PG，等边△ABC的高为AD，求证：PE+PF+PG=AD。
5、如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
6、如图，B、C、D在一直线上，ΔABC、ΔADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，则AC＝_____，∠ECD＝_____．
（5） （6）
7、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE； ②PQ∥AE； ③AP=BQ； ④DE=DP； ⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有________．（把你认为正确的序号都填上）
8、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为 BC的中点.
（1）写出点D到ΔABC三个顶点 A、B、C的距离的关系（不要求证明）
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，
请判断△DMN的形状，并证明你的结论
N
M
D
C
B
A
9、如图，在等边△ABC中，延长AC到D，以BD为一边作等边△BDE，连接AE，
求证：（1）△ABE≌△CBD； （2）AD=AE+AB．
10、如图所示，已知∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°.求证BD=AB
11、已知，如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°, D为BC中点，DE⊥AB于E。求证：AE=AB
12、已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形。
求证：（1）△AEF≌△CDE； （2）△ABC为等边三角形。
13、如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）
考点六、30°所对的直角边是斜边的一半
【知识要点】
性质定理：
【典型例题】
1、如图，AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC=120o，BC=6，则DE+DF= 。
2、如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F. 求证：BF=2CF.
3、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，AE⊥CD，AE、BD相交于O，求证：OD=BC.
第三部分 综合训练
一、选择题
1．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法：①线段AB、CD互相垂直平分，则AB是CD的对称轴，CD是AB的对称轴；②如果两条线段相等，那么这两条线段关于直线对称；③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线．其中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．正方形 D．长方形
4．一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm
5．如果等腰三角形的一个底角为α，那么（ ）
A．α不大于45° B．0°＜α＜90°
C．α不大于90° D．45°＜α＜90°6．
6．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
7．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
8．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25° B．40° C．25°或40° D．不能确定
9．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：a
①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC= ．
12．已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，其它两边的长为 ．
13．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．14．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC= cm．
15．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF= ．
16．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF= 度．
（14） （15） （16）
三、解答题=
17．要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）． 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由．
18．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）
19．如图，已知D、E两点在线段BC上，AB=AC，AD=AE．证明：BD=CE．
20．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，请说明DB=DE的理由．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．
22．如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．
23．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，BD=CE，求∠AFE的度数．
12283577
24．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你说明
DA﹣DB=DC．
25．已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．
第13讲 轴对称－复习训练
第二部分 考点精讲精练
考点一、轴对称图形与轴对称
【典型例题】
1．C
2．B
3．___n___条， ___无数____条
4、D
5、C
6、C
7、B
8、A
9、C
10、 B
11、C
12、解：“答案不唯一”，如图所示：
13、依题意有12×462=264×21；18×891=198×81；24×231=132×42．
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
【典型例题】
1、B
2、A
3、A
4、C
5、C
6、___上___平移___5____个
7、B( -2 ， 1 )，C( -2 ， -1 )，D( 2 ， -1 )。
8、 , .
9、第 一 象限
10、
11、2X+Y-3=X+3 X＝5
解得
X-2Y=-(Y-4) Y＝1
即2X+Y-3=8,X＋3=6
X-2Y=3即-(Y-4)=3
故两个对称坐标为（8,3）和（8,－3）.
12、解：根据图形可知A（-2，2），B（1，1），C（2，-3），A′（-2，-2），B′（1，-1），C′（2，3），对应点A′与A，B′与B，C′与C之间的关系是：横坐标不变，纵坐标变成原来的相反数。根据关于x轴对称点之间的坐标规律： 点（x，y）关于x轴对称点的坐标为（x，-y），可知△A′B′C′与△ABC关于x轴对称。
13、如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；点A′（3，2），B′（4，-3），C′（1，-1）．
15、解：作A关于BC的对称点A'，连接A′B，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵PA=A'P，
∴△AA'B为等边三角形，
∴AP+DP=A'P+PD为A'与直线AB之间的连接线段，
∴最小值为A'到AB的距离=BC=6，
故答案为：6．
考点三、线段垂直平分线的性质
【典型例题】
1、解： ∵DE⊥BC，E是BC的中点，
∴BD=CD，
∴∠CBD=∠C，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠CBD=∠C，
∵△ABC中，∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=3∠C=90°，
∴∠C=30°．
2、证明：∵AB=AC，PB=PC，AP=AP，
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴∠BAP=∠CAP，
即AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC（三线合一）．
3、B
4、B
5、__6__，___40°___．
6、
过EF作A的对称点A'，
连接A'B，交EF于M点，
则将A球击向M点反弹后会击中B球．
7、如图所示，点P就是所求的点．
8、如图所示，分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连结P′P′′，交OA于点P1，交OB于点P2，则点P1、P2为所要求作的点。
9、证：如答图所示，连接AM，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠MAC=90°，
∴CM=2AM，
∴CM=2BM．
10、证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠ADF，
∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠ADF=∠B+∠DAB，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠CAD，
∴∠CAF=∠B，
∴∠BAC+∠FAC=∠B+∠BAC，
即∠BAF=∠ACF．
考点四、等腰三角形的性质和判定
【典型例题】
1． 500，500或800，200 。
2． 400，400 。
3． 15 。
4． 9或9 。
5． 6、6、4或 、、 。
6． 600或1200 。
7、A
8、A
9、D
10、 22cm .
11、70° .
12、 100° .
13、∵BP=QC=PQ=AP=AQ，
∴△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，
∴∠APB=∠AQC=120°，
在△ABP和△CAQ中，
∵△ABP≌△CAQ（SAS），
∴∠QAC=∠B=∠APQ=30°，
同理：∠BAP=30°，
∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°．
14、证明：∵BD=BE， ∴∠D=∠BED
又∵∠FEC=∠BED， ∴∠D=∠FEC
∵DF⊥AC， ∴∠EFC=∠DFA=90°
∴∠D+∠A=90°，∠FEC +∠C=90°
∴∠A=∠C
∴AB=BC，即△ABC为等腰三角形。
15、证明：过D作DG∥AC交BC于G
∵DG∥AC
∴∠GDF=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中：∠GDF=∠CEF， DF=EF，∠DFG=∠CFE
∴△GDF≌△CEF（ASA）；
∴DG=CE
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形。
16、解：∵AD=BD ∴∠B=∠1
∵∠ADC=∠B+∠1 ∴∠ADC=2∠1
∵AC=CD ∴∠2=∠ADC=2∠1
∵∠B=∠C
∴5∠1=180°
∴∠1=36° ∴∠BAC=108°
考点五、等边三角形的性质和判定
【典型例题】
1、B
2、证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点．
3、___60____度
4、分析：连接PA、PB、PC，根据△ABP、△BCP、△ACP的面积和等于△ABC的面积，由等边三角形的三边相等，即可得出结论．
5、A
6、__9___，___60°__．
7、__①②③⑤______．
8、
9、
10、
11、
12、证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量加等量和相等）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
13、
考点六、30°所对的直角边是斜边的一半
【典型例题】
1、 3 。
2、证明：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=（180°−120°）/2=30°，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴BF=2CF（等量代换）．
3、
第三部分 综合训练
一、选择题
1．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称．
【解答】解：A、是平移变换，不符合题意；
B、是轴对称变换，符合题意；
C、是平移变换，不符合题意；
D、是中心对称变换，不符合题意．
故选B．
【点评】考查了图形的三种变换：平移、轴对称、旋转．
2．下列说法：①线段AB、CD互相垂直平分，则AB是CD的对称轴，CD是AB的对称轴；②如果两条线段相等，那么这两条线段关于直线对称；③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线．其中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：①线段AB、CD互相垂直平分，则线段AB所在的直线是线段CD的对称轴，线段CD所在的直线是线段AB的对称轴，故错误；
②如平行四边形的一组对边符合两条线段相等，但不关于任何一条直线对称，错误；
③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线所在的直线，错误．
错误的个数是3个，故选D．
【点评】掌握好轴对称的概念．
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．并且注意对称轴一定是直线．
3．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．正方形 D．长方形
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，确定各个图形有几条对称轴．
【解答】解：A、等腰直角三角形有一条对称轴；
B、等边三角形有三条；
C、正方形有四条；
D、长方形有两条对称轴．
故选A．
【点评】掌握好轴对称的概念．
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
4．一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分别从腰长是7cm，底边长为5cm，与腰长是5cm，底边长为7cm，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：若腰长是7cm，底边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是：7+7+5=19（cm）；
若腰长是5cm，底边长为7cm，则这个等腰三角形的周长是：7+5+5=17（cm）；
综上所述，这个等腰三角形的周长是17cm或19cm．
故选D．12283577
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
5．如果等腰三角形的一个底角为α，那么（ ）
A．α不大于45° B．0°＜α＜90° C．α不大于90° D．45°＜α＜90°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理进行分析即可．
【解答】解：等腰三角形的底角相等，一个底角是α，则另一底角也一定是α，根据三角形的内角和定理得三个内角的和是180°，因而两底角的和2α一定满足：0＜2α＜180°，则0°＜α＜90°．故选B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形的性质的运用．
6．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．
【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，
∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，
当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12．
故选：A．
7．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质，高线即是角平分线，再利用三角形的内角和定理知钝角的度数是120°．
【解答】解：∵等边△ABC的两条高线相交于O
∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=120°
故选B
【点评】此题主要考查了等边三角形三线合一的性质，比较简单．
8．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25° B．40° C．25°或40° D．不能确定
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣50°=40°；
当顶角是50°时，则它的底角就是（180°﹣50°）=65°则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣65°=25°；
故选C．
【点评】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°
9．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．
【解答】解：分二种情况进行讨论：
当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．
∴符合条件的点一共4个．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．
10．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：
①△ABC≌△A′B′C′；
②∠BAC′=∠B′AC；
③l垂直平分CC′；
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，
正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据关于某直线成轴对称的两个图形能够完全重合对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴①△ABC≌△A′B′C′，正确；
②∠BAC=∠B′AC′，
∴∠BAC+∠CAC′=∠B′AC′+∠CAC′，
即∠BAC′=∠B′AC，正确；
③l垂直平分CC′，正确；
④应为：直线BC和B′C′的交点一定在l上，故本小题错误．
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选B．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
二、填空题．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC= 2 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可．
【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC=AB=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，比较容易解答，要求熟记30°角所对的直角边是斜边的一半．
12．已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，其它两边的长为 5，5 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】由于长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
【解答】解：当腰为3时，另一腰也为3，则底为13﹣2×3=7，
∵3+3=6＜7，
∴这样的三边不能构成三角形．
当底为3时，腰为（13﹣3）÷2=5，
∴以3，5，5为边能构成三角形．
故答案为：5，5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是 90°或36° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据已知条件，根据比先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．
【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=2x，分情况讨论：
当∠A=∠C为底角时，x+x+2x=180°解得，x=45°，顶角∠B=2x=90°；
当∠B=∠C为底角时，2x+x+2x=180°解得，x=36°，顶角∠A=x=36°．
故这个等腰三角形的顶角度数为90°或36°．
故答案为：36°或90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
14．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC= 7 cm．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到AD=BD，进行等量代换后可得答案．
【解答】解：∵DE为AB边的垂直平分线
∴DA=DB
∵△ACD的周长为7cm
∴AD+AC+CD=AC+BC=7．
故填7．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识；利用垂直平分线的性质后进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
15．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF= 75° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°，
∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠MEF=∠EFD+∠A=60°+15°=75°．
故答案为：75°．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
16．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF= 55 度．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】首先求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠A，从而利用四边形内角和定理求出∠EDF．
【解答】解：∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°
又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E
∴∠C=180°﹣（∠CFD+∠FDC）=55°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°
根据四边形内角和为360°可得：
∠EDF=360°﹣（∠AED+∠AFD+∠A）=55°
∴∠EDF为55°．
故填55．
【点评】本题考查的是四边形内角和定理以及等腰三角形的性质；解题关键是先求出∠A的度数，再利用四边形的内角和定理求出所求角．
三、解答题
17．要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）． 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】可作B点关于小河的对称点B′，连接B′A与小河的交点P，就是所求．
【解答】解：先作点B关于河岸的对称点，然后连接此对称点与点A，交河岸于点P，点P即为所求．
【点评】本题考查路程最短的问题，实质利用了线段垂直平分线的性质，是考试中经常出现的问题．
18．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】由于AB=AD，利用等边对等角可得∠ABD=∠ADB，而AD∥BC，利用平行线性质，可得∠ABD=∠CBD，等量代换可得∠ABD=∠CBD，从而可知BD是∠ABC的角平分线．
【解答】证明：∵AB=AD（已知），
∴∠ABD=∠ADB（等边对等角），
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABD=∠CBD（等量代换），
∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义．
19．如图，已知D、E两点在线段BC上，AB=AC，AD=AE．
证明：BD=CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质求出BF=CF，DF=EF，相减即可求出答案．
【解答】证明：
过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，AD=AE，AF⊥BC，
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF﹣DF=CF﹣EF，
∴BD=CE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
20．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，请说明DB=DE的理由．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得∠CBD=30°，∠ACB=60°，根据CD=CE可得∠CDE=∠CED，根据∠CDE+∠CED=∠ACB即可解题．
【解答】解：∵等边三角形三线合一，
∴BD为∠ABC的角平分线，
∴∠CBD=30°，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE+∠CED=∠ACB，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠CBD=∠CED=30°，
∴BD=DE．
【点评】本题考查了等边三角形各边相等的性质，等腰三角形底角相等的性质，本题中求证∠CBD=∠CED是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD=x，结合三角形外角的性质，则可用x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数．
【解答】解：∵DE=EB
∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°，
∴∠A=2x=22.5°×2=45°．
【点评】①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；
③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
22．如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．
【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质．
【分析】过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC=15°，根据平行线的性质可得∠DPO=∠AOP=15°，从而可得PD=OD，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
【解答】解：过P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=15°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠AOP=15°，
∴∠BOC=∠DPO，
∴PD=OD=4cm，
∵∠AOB=30°，PD∥OA，
∴∠BDP=30°，
∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，
∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
∴PE=PF=2cm．
【点评】此题主要考查：（1）含30°度的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
23．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，BD=CE，求∠AFE的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，∠ABC与∠C的关系，根据全等三角形的判定，可得△ABD与△BCE的关系，根据全等三角形的性质，可得∠BAD与∠EBC的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．
【解答】解；△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°．
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE．
由三角形弯角的性质得∠AFE=∠BAF+∠ABF，
∠AFE=∠CBE+∠ABF=60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明三角形全等，在证明全等三角形的对应角相等，最后由三角形的外角的性质得出答案．
24．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你说明
DA﹣DB=DC．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，BD、BE、DE的关系，根据三角形全等的判定，可得△ABE与△CBD的关系，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，根据线段的和差，等量代换，可得证明结果．
【解答】证明：△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD=DE（等边三角形的边相等），
∠ABC=∠EBD=60°（等边三角形的角是60°）．
∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBD﹣∠EBC
∠ABE=CBD （等式的性质），
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE=DC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD﹣DE=AE（线段的和差）
∴AD﹣BD=DC（等量代换）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明三角形全等，再证明全等三角形的对应边相等，最后等量代换．
25．已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．
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