浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1. 以下四个汽车标志中，是中心对称图形的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义判断即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，本选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，本选项不符合题意；

C、是中心对称图形，本选项符合题意；

D、不是中心对称图形，本选项不符合题意.

故选C.

【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，属于基础题型，熟练掌握中心对称图形的定义是关键.

2. 二次根式中字母x取值可以是(    )

A.  B. 0  C.   D. -1

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项．

【详解】解：由题意得：

 x-1≥0

 解之：x≥1.

 ∵．

 故选：A．

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．

3. 某市一周空气质量报告中，某项污染指数的数据是：，，，，，，，这组数据的中位数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．

【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为，，，，，，，

∴这组数据的中位数为，

故选：A．

【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

4. 用配方法解方程x2+4x=6，下列配方正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，求出即可．

【详解】解：∵x2+4x=6，

∴x2+4x+4=6+4，

∴（x+2）2=10．

故选B．

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

5. 如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（    ）

A.  B.

C.  D. 互相垂直

【答案】D

【解析】

【分析】根据菱形的判定即可得．

【详解】由平行四边形的性质可得：，，则选项A不符题意

，则选项B不符题意

若，则

对角线相等的平行四边形一定是矩形，但不一定是菱形，则选项C不符题意

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则选项D符合题意

故选：D．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定等知识点，熟记菱形的判定方法是解题关键．

6. 为执行“均衡教育”政策，某县2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2014年投入教育经费+2014年投入教育经费×（1+增长率）+2014年投入教育经费×（1+增长率）2=1.2亿元，据此列方程．

【详解】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，

由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2=12000．

故选：D．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．

7. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（    ）

A. 四边形中没有一个角是钝角或直角

B. 四边形中至多有一个钝角或直角

C. 四边形中没有一个角是锐角

D. 四边形中没有一个角是钝角

【答案】A

【解析】

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．

【详解】试题解析：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．

故选A．

【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

8. 如图，中，，的垂直平分线交于点，则的周长是（　　）

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质得出，．再根据线段垂直平分线的性质可得出，最后由三角形周长公式计算即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，．

∵的垂直平分线交于点，

∴．

∴．

故选C．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．

9. 如图，在中，是边上的中线，将沿边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，则与的应满足怎样的关系（    ）

A.  B.

C. 且 D. 且

【答案】D

【解析】

【分析】由折叠的性质和正方形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得且，即可求解．

【详解】解：将沿边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，

，，

又是边上的中线，

，，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

10. 如图，点P，Q分别是菱形ABCD边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为(    )

A. 4  B. 10  C. 12 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．

【详解】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，

 当PQ⊥BC时，PQ的值最小，

 ∴PQ=8，∠Q=90°，

 在Rt△ACQ中，

 在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，

 ∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2

 解之：x=10.

 故答案为：B．

【点睛】本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．

二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是__________边形．

【答案】4##四

【解析】

【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．

【详解】解：设这个多边形是边形，

由题意知，，

解得，

故答案为：4．

【点睛】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．解题的关键在于熟练掌握边形的内角和为．

12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．

【答案】

【解析】

【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，

解得：x≥2．

故答案为：x≥2．

【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．

13. 关于的x一元二次方程的一个根是，则的值是__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入进行计算即可求解．

【详解】解：∵关于的x一元二次方程的一个根是，

∴，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．

14. 已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据-1，1，3，x-2，y-2的平均数是_______．

【答案】1

【解析】

【分析】根据平均数的计算公式即可得．

【详解】∵一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，

，

解得，

则所求的平均数为，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了平均数的计算公式，熟记公式是解题关键．

15. 在中，，的平分线交平行四边形的边于点E，若，则的周长是__________．

【答案】14或10

【解析】

【分析】分两种情况讨论，由平行四边形得到，再由已知平分，进一步推出，即，即可求出的长，就能求出答案．

【详解】解：如图，当点E在上时，

∵为的平分线，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的周长，

如图，当点E上时，

同理可求，

∴的周长，

故答案为14或10．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行证明．

16. 如图，在四边形纸片ABCD中，，，，．将纸片先沿直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，则________．

【答案】2+2或2+

【解析】

【分析】根据题意，裁剪的方法有两种，分别画出图形，可知，所得的平行四边形是菱形，由菱形的性质和平行四边形的面积，求得相关边长，进而可求得CD的长.

【详解】如图① ，当沿从B（D）出发的直线裁剪，四边形ABED是平行四边形，延长BE交CD于点N，过点A作于点T，

∵AB=AD,

∴四边形ABED是菱形，

∵，，，

∴ ∠ABT=45°，∠BAT=45°，∠ABT=∠DEN=45°，∠END=90°，

∴∠NDE=45°，

∵平行四边形ABED的面积是，

∴设AT=x，则AB=BE=ED=，

∴，解得x=（-舍去），

∴BE=ED=2，EN=DN=，

∵是等腰直角三角形，

∴NC=BE+EN= 2+，

∴DC=DN+NC=+2+=2+2；

如图② ，当沿从A出发的直线裁剪，四边形AECF是平行四边形，

∵AB=AD，，∠AEB=∠AFD，

∴，

∴AE=AF，

∴四边形AECF是菱形，

∵，，

∴∠BCA=∠DCA=22.5°，

∵AE=CE，

∴∠AEB=45°，

∴设AB=y，则BE=y，AE=，

∵四边形AECF的面积是2，

∴，

解得，y=，故CE=2，BE=，

∴CD=BC=2+，

综上所述，CD的值为：2+2或2+.

【点睛】本题主要考查，平行四边形的性质和菱形的判定方法与性质以及平行四边形的面积公式，根据题意，画出图形，是解题的关键，主要要分类讨论.

三．解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. （1）计算

①    

②

（2）解方程

①    

②

【答案】（1）①；②；（2）①；②；

【解析】

【分析】（1）①根据立方根及算术平方根的性质求解即可；②根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；

（2）①运用十字相乘法进行求解即可；②先移项，再运用因式分解法求解即可．

【详解】（1）①   

；

②

；

（2）① 

，

解得：，

②，

，

，

，

，

，

，

解得：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、立方根及算术平方根的性质、二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．

18. 已知，，求下列各式的值：

（1）

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先计算，然后根据完全平方公式因式分解，然后代入即可求解；

（2）计算，然后根据平方差公式因式分解，代入进行计算即可求解．

【小问1详解】

解：∵，，

∴，

∴；

【小问2详解】

解：∵，，

∴，，

∴．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，公式法因式分解，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

19. 关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4=0：

（1）试证明无论a取何实数这个方程都是一元二次方程；

（2）当a=2时，解这个方程．

【答案】（1）见解析；（2）x1=x2=﹣2．

【解析】

【分析】（1）无论a取何实数满足一元二次方程的条件是，二次项系数不为0，即，利用配方法即可得出结论.（2）代入a=2，可得关于x的一元二次方程，求解即可.

【详解】解：（1），

∵，

∴+，

∴无论a取何实数关于x的方程都是一元二次方程；

（2）当时，原方程变为，

解得：.

【点睛】本题考查了一元二次方程成立条件及求解.（1）解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)，尤其注意a≠0.（2）掌握配方法运用，配方法：把一元二次方程移项之后，在等号两边都加上一次项系数绝对值一半的平方.

20. 某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班，，，，；八（2）班，，，，．通过数据分析，列表如下：

（1）直接写出表中a，b，c的值；

（2）求d的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由．

【答案】（1），，   

（2），八（2）班前名同学的成绩较好,理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的概念进行解答即可；

（2）先根据方差公式计算方差，然后根据它们的平均数和方差进行判断即可解答本题．

【小问1详解】

，

将八（1）的成绩排序、、、、，

可知中位数是，众数是，

所以，；

【小问2详解】

解：

∵，平均数，

∴八（2）班前名同学的成绩较好

【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、方差，解题的关键熟练掌握平均数、众数、中位数的求解方法，以及方差的意义．

21. 如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．

（1）求证：△BEF≌△CDF．

（2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ABCD且AB=CD，进而证明∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD, ASA证明△BEF≌△CDF.

（2）根据等边对等角证明FD=FC，进而证明，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明

【详解】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,

∴ABCD且AB=CD.

∵BE=AB,

∴BECD且BE=CD.

∴∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD,

∴△BEF≌△CDF.

(2)∵BECD且BE=CD.

∴四边形BECD为平行四边形,

∴DF=DE,CF=BC,

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴∠FCD=∠A,

∵∠BFD=∠FCD+∠FDC,∠BFD=2∠A,

∴∠FDC=∠FCD,

∴FD=FC.

又DF=DE,CF=BC,

∴BC=DE,

∴▱BECD是矩形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．

22. 如图1，有一张长宽的长方形硬纸片，裁去角上个小正方形和个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．

（1）若纸盒的高是cm，求纸盒底面长方形的长和宽；

（2）若纸盒的底面积是，求纸盒的高．

【答案】（1）长为，宽为；（2）5cm

【解析】

【分析】（1）根据纸盒底面长方形的长（长方形硬纸片的长纸盒的高），可求出纸盒底面长方形的长；根据纸盒底面长方形的宽长方形硬纸片的宽纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽；

（2）设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【详解】解：（1）纸盒底面长方形的长为，

纸盒底面长方形的宽为．

答：纸盒底面长方形的长为，宽为．

（2）设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，

依题意，得：，

化简，得：，

解得：，．

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意，舍去．

答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23. 如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．

（1）当，时，求直线MN到直线AB的距离；

（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？写出证明过程；

（3）若D为AB中点，则当的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？直接写出答案．

【答案】（1）   

（2）四边形BECD是菱形，证明见解析；   

（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．

【解析】

【分析】（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，根据垂直定义可得∠CGB＝90°，在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求出CG的长，即可解答；

（2）根据垂直定义可得∠DFB＝90°，从而可得AC∥DE，进而可证四边形ADEC是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝CE，再利用线段中点的定义可得AD＝DB，从而得到CE＝DB，进而可证四边形CDBE是平行四边形，最后根据菱形的判定方法即可解答；

（3）根据已知可得AC＝BC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得CD⊥AB，从而可得∠CDB＝90°，最后再利用（2）的结论，根据正方形的判定方法即可解答．

【小问1详解】

解：过点C作CG⊥AB，垂足为G，

∴∠CGB＝90°，

∵∠ACB＝90°，BC＝2 ，AC＝2，

∴AB＝，

∵，

∴，

∴CG＝，

∴直线MN到直线AB的距离为；

【小问2详解】

四边形BECD是菱形，

证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB＝90°，

∴∠DFB＝∠ACB＝90°，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴AD＝CE，

∵D为AB中点，

∴AD＝DB，

∴CE＝DB，

∴四边形CDBE是平行四边形，

∵DE⊥BC，

∴四边形BECD是菱形；

【小问3详解】

解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，

理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，

∴∠ABC＝90°﹣∠A＝45°，

∴AC＝BC，

∵D为AB中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∵四边形BECD是菱形，

∴四边形BECD是正方形，

∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．

【点睛】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的面积、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定，以及正方形的判定是解题的关键．