2023年四川省绵阳市涪城区中考数学终极预测试卷（6月份）（含解析）

这是一份2023年四川省绵阳市涪城区中考数学终极预测试卷（6月份）（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省绵阳市涪城区中考数学终极预测试卷（6月份）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若|a+2|=−a−2，则|a−1|−|2−a|=(    )
A. 3 B. −3 C. 1 D. −1
2. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )


A. B. C. D.
3. 山西是我国古文明发祥地之一，其总面积约为160000平方千米，这个数据用科学记数法表示为平方千米．(    )
A. 0.16×106 B. 16×104 C. 1.6×104 D. 1.6×105
4. 关于等边三角形，下列说法不正确的是(    )
A. 等边三角形是轴对称图形 B. 所有的等边三角形都相似
C. 等边三角形是正多边形 D. 等边三角形是中心对称图形
5. 一组数据3、4、4、5，若添加一个数4后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会发生变化的是(    )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
6. 如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，B(2,0)，正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动.保持上述运动过程，经过(10, 3)的正六边形的顶点是(    )

A. 点C或点E B. 点B或点D C. 点A或点E D. 点B或点F
7. 估计(3 18− 12)÷ 3的值应该在(    )
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
8. 周末，青华到公园游玩，参加套环游戏，共进行四局，套中的次数分别为1，2，2，4.若将这组数每一个加1，则对这一组新数据描述正确的是(    )
A. 平均值不变 B. 方差不变 C. 中位数不变 D. 众数不变
9. 如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱(单位：mm).电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌的质量为(π的值取3.14)(    )


A. 282.6千克 B. 282600000千克 C. 357.96千克 D. 357960000千克
10. 如图1，在菱形ABCD中，∠C=120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为(2 3,3)，则图象最低点E的坐标为(    )


A. (2 33,2) B. (2 33, 3) C. (4 33, 3) D. ( 3,2)
11. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，有下列结论：①4a+2b+c<0；②a+c>0；③2a+b+c>0；④当−1 A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
12. 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC，分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点，∠AOG=30°，则下列结论是(    )
①DC=3OG；②OG=12BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE=16S矩形ABCD．
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 因式分解：5x3−45xy2= ______ ．
14. 分式方程13x=2x−2的解为______．
15. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，DE//BC，则∠AED的度数为______ ．


16. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠α=45°，∠β=30°，则竹竿AB与AD的长度之比为______ ．


17. 不等式组x−1<02x+1≥m的解集为−2≤x<1，则m的范围是______
18. 如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使PD=AD，则PB的最大值为______ ．




三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）
19. 某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
客车
甲种
乙种
载客量/(人/辆)
30
42
租金/(元/辆)
300
400
(1)参加此次拓展活动的老师有______人，参加此次拓展活动的学生有______人；
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为______辆．
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
四、解答题（本大题共6小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题16.0分)
(1)计算：tan60°×(−2)−1−( 34−38)+|−12 12|；
(2)先化简，再求值：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−x，其中x=20230+(12)−1
21. (本小题12.0分)
目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题．某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据(单位：t)，整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
月均用水量(t)
2≤x<3.5
3.5≤x<5
5≤x<6.5
6.5≤x<8
8≤x<9.5
频数
7


6

对应的扇形区域
A
B
C
D
E

根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数；
(2)为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由．
22. (本小题12.0分)
如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x在第一象限交于M(2,8)、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置(不需证明)，并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．

23. (本小题12.0分)
如图，已知：在△ABC中，∠C=90°，点P是BC边上的动点，PD⊥BC交AB于D，以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F．
(1)求证：∠EFP=∠EPB．
(2)若AB=20，sinB=35．
①当∠APB=4∠APD，求PC的长．
②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长．
(3)若sinB= 22，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为______．

24. (本小题12.0分)
如图1，已知y=−13x2−23 3x+3与x轴交于A、B两点，交y轴于C，连接AC，BC，过A作BC的平行线交抛物线于点D．
(1)判断△ABC的形状；
(2)点P是BC上方抛物线上的一点，过点P作PF⊥BC于F，作PE//y轴交BC于点Q，交AD于E，当PE− 32PF最大时，将△PQF沿射线CB平移得△P′Q′F′，当点F′与Q重合时停止运动，点M在BC上，点N在AD上，求P′M+MN− 32AN的最小值；
(3)如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB′D′，当点B′落在抛物线的对称轴上时停止旋转，在x轴上有一动点H，连接B′H，将△AB′H翻折得到△A′B′H，是否存在点H，使得△AA′B为等腰三角形？若存在，求出点H的坐标，若不存在，说明理由．


25. (本小题14.0分)
(1)【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形；
(2)【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=3，BC=4，求四边形ABFE的周长；
(3)【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=2 2，BC=4，∠C=45°，求EF的长．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵|a+2|=−a−2，
∴a+2≤0，
即a≤−2，
∴a−1<0，2−a>0，
∴|a−1|−|2−a|
=−a+1−2+a
=−1，
故选：D．
根据|a+2|=−a−2确定a的取值范围，进而确定a−1，2−a的符号，再根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．

2.【答案】A 
【解析】解：主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1．
故选：A．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

3.【答案】D 
【解析】解：160000平方千米，这个数据用科学记数法表示为1.6×105平方千米．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】D 
【解析】解：A、根据轴对称图形的定义，沿边上的垂直平分线折叠能够重合，所以本选项错误；
B、因为所有的等边三角形的角都是60°，所以本选项错误；
C、因为等边三角形的角相等，边相等，所以本选项错误；
D、根据中心对称图形的定义，等边三角形不是中心对称图形，所以本选项正确；
故选：D．
根据轴对称图形的定义，沿边上的垂直平分线折叠能够重合，即可判断；根据所有的等边三角形的角都是60°，即可判断；根据等边三角形的角相等，边相等，即可判断；根据中心对称图形的定义即可判断．
本题主要考查对等边三角形的性质，多边形，相似三角形的判定，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和正确，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：原数据的3，4，4，5，的平均数为3+4+4+54=4，中位数为4，众数为4，方差为14×[(3−4)2+(4−4)2×2+(5−4)2]=0.5；
新数据3，4，4，4，5的平均数为3+4+4+4+55=4，中位数为4，众数为4，方差为15×[(3−4)2+(4−4)2×3+(5−4)2]=0.4；
故选：D．
依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、标准差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：如图1，连接AC、AE、BF、BD、CE、DF，
∵正六边形ABCD，AB=1，
∴AC= 32AB×2= 3=AE=BF=BD=CE=DF，
在滚动的过程中，A(1,0)，B(2,0)，C(3,0)，D(4,0)，E(5,0)，F(6,0)，A(7,0)……
∴D(10,0)，如图2，
∴F(10, 3)，
由旋转规律可知，点B(10, 3).
故选：D．
根据正六边形的性质以及坐标的定义，可求出AC、AE、BF、BD、CE、DF的长，再由旋转的规律得出点D(10, 3)，进而得出F(10, 3)，B(10, 3)即可．
本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化，掌握正多边形的性质以及图形与坐标的变化规律是正确解答的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：(3 18− 12)÷ 3
=3 6−2，
∵7<3 6<8，
∴5<3 6−2<6，
∴估计(3 18− 12)÷ 3的值应该在5和6之间．
故选：C．
直接利用二次根式加减运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键．

8.【答案】B 
【解析】解：将一组数据中的每个数都加1，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加1，方差不变．
故选：B．
将一组数据中的每个数都加1，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加1，方差不变，据此可得答案．
本题主要考查了方差，掌握方差、众数、中位数和平均数的概念是关键．

9.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查圆锥与圆柱的计算，掌握圆柱、圆锥侧面积的计算方法是正确解答的关键．
求出锚标浮筒上下两部分的圆锥侧面积和中间圆柱体的侧面积的和即可．
【解答】
解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3米，圆锥的高为0.4米，圆柱的高为1米．
则圆锥的母线长为： 0.32+0.42=0.5(米)．
∴圆锥的侧面积S1=12×2πr·l=πrl =π×0.3×0.5=0.15π(米 2)，
圆柱的侧面积S2=2π×0.3×1=0.6π(米 2)，
∴浮筒的表面积为2S1+S2=0.9π(米 2)，
∵每平方米用锌0.1千克，
∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1=0.09π(千克)，
∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.09π=90π≈282.6(千克)．
故选：A．  
10.【答案】C 
【解析】解：如图，连接AC，NC，

∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴AB=BC，AC垂直平分BD，∠ABC=60°，∠ABD=∠DBC=30°，
∴AN=CN，
∴AN+MN=CN+MN，
∴当点N在线段CM上时，AN+MN有最小值为CM的长，
∵点F的坐标为(2 3,3)，
∴DB=2 3，AB+BM=3，
∵点M是AB的中点，
∴AM=BM，
∴2BM+BM=3，
∴BM=1，
∵tan∠ABC=tan60°=CMBM= 3，
∴CM= 3，
∵cos∠ABD=cos30°=BMBN′= 32，
∴BN′=2 33，
∴DN′=4 33，
∴点E的坐标为：(4 33, 3)，
故选：C．
由函数图象可得点F表示图1中点N与点B重合时，即可求BD，BM的长，由锐角三角函数可求解．
本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，动点问题的函数图象，理解函数图象中点表示的具体意义是解题的关键．

11.【答案】C 
【解析】解：①∵x=2时，y=4a+2b+c，由图象知：y=4a+2b+c>0，故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴交于(3,0)
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴把(−1,0)代入解析式得，a−b+c=0，
∴a+c=b，
∵−b2a=1，a<0，
∴b=−2a>0，
∴a+c=b>0，故②正确；
③∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c>0，
∵b=−2a，
∴2a+b+c=2a−2a+c=c>0，故③正确；
④∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小，故④错误；
故正确的有②、③，共有2个，
故选：C．
根据图象上点的坐标特征以及二次函数的性质即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于基础题，关键是正确获取图象信息进行解题．

12.【答案】D 
【解析】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG=AG=GE=12AE，
∵∠AOG=30°，
∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°−∠AOG=90°−30°=60°，
∴△OGE是等边三角形，故③正确；
设AE=2a，则OE=OG=a，
由勾股定理得，AO= AE2−OE2= 4a2−a2= 3，
∵O为AC中点，
∴AC=2AO=2 3a，
∴BC=12AC=12×2 3a= 3a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB= 12a2−3a2=3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3a，
∴DC=3OG，故①正确；
∵OG=a，12BC= 32a，
∴OG≠12BC，故②错误；
∵S△AOE=12a⋅ 3a= 32a2，S矩形ABCD=3a⋅ 3a=3 3a2，
∴S△AOE=16S矩形ABCD，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④，
故选：D．
由直角三角形斜边上的中线性质得OG=AG=GE=12AE，再求出求出∠GOE=60°，得△OGE是等边三角形，则③正确；设AE=2a，由等边三角形的性质表示出OE，再由勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后由勾股定理求出AB=3a，得①正确，②错误；最后由三角形的面积和矩形的面积得④正确即可．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出BC的长是解题的关键．

13.【答案】5x(x+3y)(x−3y) 
【解析】解：5x3−45xy2
=5x(x2−9y2)
=5x(x+3y)(x−3y)．
故答案为：5x(x+3y)(x−3y)．
先提取公因式，再利用平方差公式．
本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．

14.【答案】x=−25 
【解析】解：去分母，得x−2=6x，
去括号，得5x=−2，
∴x=−25．
经检验，x=−25是原方程的解．
故答案为：x=−25．
去分母，求解整式方程并验根即可
本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，掌握解分式方程的一般步骤，是解决本题的关键．

15.【答案】80° 
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACB=180°−(∠A+∠B)=80°，
∴∠AED=∠ACB=80°．
故答案为：80°．
根据平行线的性质，∠AED=∠ACB，只需求出∠ACB即可．
本题考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，综合性较强，难度适中．

16.【答案】 22 
【解析】解：根据题意可知：
∠ACE=90°，
∵∠α=45°，
∴AC=BC，
∴AB= 2AC，
∵∠β=30°，
∴AD=2AC，
∴AB：AD= 22．
所以竹竿AB与AD的长度之比为 22．
故答案为： 22．
根据题意可得，∠ACE=90°，∠α=45°，根据三角函数可得AB= 2AC，由∠β=30°，可得AD=2AC，进而可得竹竿AB与AD的长度之比．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．

17.【答案】m=−3 
【解析】解：解不等式x−1<0，得：x<1，
解不等式2x+1≥m，得：x≥m−12，
∵不等式组的解集为−2≤x<1，
∴m−12=−2，
解得m=−3，
故答案为：m=−3．
先解不等式组求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出关于m的方程，解之可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18.【答案】4+2 2 
【解析】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABF，延长AF至点E.使AF=EF，连接EP，BE．

∵△CBD和△ABF都是等腰直角三角形，
∴BCBD=BABF= 2，∠CBD=∠ABF=45°，
∴∠CBD−∠CBF=∠ABF−∠CBF，即∠FBD=∠ABC，
∴△ABC∽△FBD，
∴ACDF=BCBD，
∵AC=2，
∴DF=AC 2=2 2= 2，
∵AD=DP，AF=FE，
∴DF是△AEP的中位线，
∴EP=2DF=2 2，
∵△ABF是等腰直角三角形，AF=FE，
∴BF垂直平分AE，
∴BA=BE，
∵AB=4，
∴BE=4，
∴当B，E，P三点共线时，PB的值最大，
∴PB的最大值为4+2 2，
故答案为：4+2 2．
如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABF，延长AF至点E.使AF=EF，连接EP，BE，根据等腰直角三角形的性质得到BCBD=BABF= 2，∠CBD=∠ABF=45°，根据相似三角形的性质得到DF=AC 2=2 2= 2，根据三角形的中位线定理得到EP=2DF=2 2，根据线段垂直平分线的性质得到BA=BE，当B，E，P三点共线时，PB的值最大，于是得到结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．

19.【答案】16  284  8 
【解析】解：(1)设老师有x名，学生有y名．
依题意，得17x=y−1218x=y+4，解得x=16y=284，
故答案为：16，284；

(2)∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能超过8辆；
又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于30042=507(取整为8)辆，
综合起来可知汽车总数为8辆；
故答案为：8；

(3)设租a辆甲种客车，由题意可得：
3200−100a≤310030a+42(8−a)≥300，
解得1≤a≤3(a为整数)，
∴共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用2900元；
方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用3000元；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用3100元；
∴最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
(1)设出老师有x名，学生有y名，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有2名老师，且要保证300名师生有车坐，可得租用客车总数；
(2)根据汽车总数不能超过30042=507(取整为8)辆，即可求出；
(3)设租a辆甲种客车，由题意列出不等式组，得出a取值范围，分析得出即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键．

20.【答案】解：(1)原式= 3×(−12)−( 32−2)+ 3
=− 32− 32+2+ 3
=− 3+2+ 3
=2；
(2)原式=x−2x−1⋅x(x−1)(x−2)2
=xx−2，
当x=20230+(12)−1=1+2=3时，原式=33−2=3． 
【解析】(1)分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，涉及到特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、数的开方法则等知识，熟知以上知识是解题的关键．

21.【答案】解：(1)抽取的总数为：7÷14%=50，
B的频数为：50×46%=23，
C的频数为：50×24%=12，
E的频数为：50−7−23−12−6=2，
频数分布直方图如下：

扇形图中扇形E对应的圆心角的度数为：360°×250=14.4°；

(2)要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：
因为月平均用水量不超过5吨的有7+23=30(户)，30÷50=60%． 
【解析】(1)根据题A的频数和百分比得到抽取的总数，进而求得B、C的频数即可补全频数分布直方图，求出E的频数，360°乘以E所占的比例即可求解；
(2)由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而7+23=30，故家庭月均用水量应该定为5吨．
本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

22.【答案】解：(1)∵反比例函数y=k2x过点M(2,8)，
∴k2=2×8=16，
∴反比例函数的解析式为y=16x，
设N(m,16m)，
∵M(2,8)，
过点M作MB⊥x轴
∴S△OMB=12×2×8=8，
∵四边形OANM的面积为38，
∴四边形ABMN的面积为30，
∴12(8+16m)⋅(m−2)=30，
解得m1=8，m2=−12(舍去)，
∴N(8,2)，
∵一次函数y=k1x+b的图象经过点M、N，
∴2k1+b=88k1+b=2，解得k1=−1b=10，
∴一次函数的解析式为y=−x+10；
(2)与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y=16x有唯一公共点P时，△PMN的面积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y=−x+n，当与y=16x在第三象限有唯一公共点时，
有方程−x+n=16x(x<0)唯一解，
即x2−nx+16=0有两个相等的实数根，
∴n2−4×1×16=0，
解得n=−8或x=8(舍去)，
∴与直线MN平行的直线的关系式为y=−x−8，
∴方程−x−8=16x的解为x=−4或x=4(舍去)，
经检验，x=−4是原方程的解，
当x=−4时，y=16−4=−4，
∴点P(−4,−4)，
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，
PD=4，DQ=8，CD=2，MC=8+4=12，NQ=2+4=6，
∴S△PMN=S△MPC+S梯形MCQN−S△PNQ
=12×6×12+12(12+6)×6−12×12×6
=36+54−36
=54，
答：点P(−4,−4)，△PMN面积的最小值为54． 
【解析】(1)利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出12(8+16m)⋅(m−2)=30，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入y=k1x+b，进一步求得一次函数的解析式；
(2)求出与直线MN平行且在第三象限内与反比例函数y=16x有唯一公共点的坐标即为点P的坐标，此时△PMN面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式，掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据坐标得出相应线段的长是计算面积的关键．

23.【答案】3− 52 
【解析】(1)证明：∵PD为⊙O的直径，PD⊥BC，
∴BC为⊙O的切线，
∴∠EFP=∠EPB；
(2)解：①∵∠APB=4∠APD，∠APB=90°+∠APD，
∴4∠APD=90°+∠APD，
∴∠APD=30°．
∴∠APC=90°−∠APD=60°．
∵AB=20，sinB=35，
∴AC=AB⋅sinB=20×35=12．
∵tan∠APC=ACPC= 3，
∴PC=12 3=4 3；
②当EF=EP时，
∵EF=EP，
∴∠EPF=∠EFP，
∵∠EFP=∠EPB，
∴∠EPF=∠EPB．
∵PD为⊙O的直径，
∴PE⊥AB．
∴∠BEP=∠AEP=90°，
在△BEP和△AEP中，
∠BEP=∠AEP=90°PE=PE∠EPB=∠EPA，
∴△BEP≌△AEP(ASA)，
∴BE=AE=10．
∵sinB=35，
∴tanB=34=PEAE，
∴PE=152；
当EP=FP时，
∵EP=FP，
∴EP=FP，
∵PD为⊙O的直径，
∴PD⊥EF，
∵PD⊥BC，
∴EF//BC．
∴∠B=∠AEF，
∵∠AEF=∠DPF，
∴∠B=∠DPF．
∵PD⊥EF，AC⊥BC，
∴DP//AC，
∴∠DPF=∠PAC，
∴∠PAC=∠B．
∴tan∠PAC=tanB=34=PCAC．
∴PC=9．
∴PB=BC−PC=7．
∵sinB=35=PEPB，
∴PE=215；
当FE=PF时，
∵FE=PF，
∴∠FEP=∠FPE．
∵FEP+∠AEF=90°，∠FPE+∠FAE=90°，
∴∠AEF=∠FAE，
∴EF=AF．
∴AF=FP=EF．
∵∠DPA=∠AEF，
∴∠DPA=∠DAP，
∴PD=AD．
设PD=AD=3x，
∵sinB=35=PDBD，
∴BD=5x．
∴AB=BD+AD=8x=20，
∴x=52．
∴BD=5x=252．
∵cosB=45=BPBD，
∴BP=10．
∴PC=BC−BP=6．
∴AP= AC2+PC2=6 5．
∴PF=12AP=3 5．
综上，当△PEF为等腰三角形时，满足条件的△PEF的腰长为3 5或152或215．
(3)解：当D，F，C在一条直线上时，

∵PD为⊙O的直径，
∴PF⊥CD，
∴∠FAC+∠FCA=90°，
∵∠FCP+∠FCA=90°，
∴∠FAC=∠FCP．
∵∠ACP=∠DPC=90°，
∴△ACP∽△CPD．
∴PCAC=PDPC，
∴PC2=AC⋅PD．
∵sinB= 22，
∴∠B=45°．
∴BC=AC，PD=PB．
∴PC=BC−BP=AC−PD．
∴(AC−PD)2=AC⋅PD，
∴DP2−3DP⋅AC+AC2=0．
解得：DP=3− 52AC或DP=3+ 52AC(不合题意，舍去)．
∴DPAC=3− 52，
故答案为：3− 52．
(1)利用切线的判定定理与弦切角定理解答即可；
(2)①利用直角三角形的边角关系解答即可；
②利用分类讨论的方法分三种情况讨论解答：当EF=EP时，通过证明△BEP≌△AEP，利用直角三角形的边角关系解答即可；当EP=FP时，利用垂径定理和直角三角形的边角关系解答即可；当FE=PF时，利用等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系和勾股定理解答即可；
(3)画出符合题意的图形，通过证明△ACP∽△CPD，得出比例式，利用等腰直角三角形的判定与性质，通过等量代换得到关于DP与AC的一元二次方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，弦切角定理，求得三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，一元二次方程的解法，勾股定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．

24.【答案】解：(1)如图1，

由−13x2−23 3x+3=0得，x1=−3 3，x2= 3，
∴OA⋅OB=9，
∵OC=3，
∴OA⋅OB=OC2，
又∠BOC=∠AOC=90°，
∴△BOC∽△COA，
∴∠ACO=∠OBC，
∴∠ACO+∠BCO=∠OBC+∠BCO=90°，
∴△ABC是直角三角形；
(2)如图2，

∵tan∠OBC=OCOB= 33，
∴∠OBC=30°，
∵∠PGB=∠PFB=90°，
∴B、G、F、P共圆，
∴∠GPF=∠OBC=30°，
设P(x,−13x2−23 3x+3)，
∵A(−3 3,0)，C(0,3)，
∴BC的函数关系式是y= 33x+3，
∴Q(x, 33x+3)，
∴PQ=(−13x2−23 3x+3)−( 33x+3)=−13x2− 3x，
在Rt△PQF中，PF=PQ⋅cos30°= 32PQ，
∴ 32PF=34PQ，
∴PE− 32PF=(PQ+QE)−34PQ
=14PQ+OC=14PQ+4
=−112(x+32 3)2+916，
∴当x=−b2a=−− 32×(−13)=−3 32时，PE− 32PF最大=916，
∴PQ=94，PF=9 38，QF=98，
如图3，连接P′D，交BC于M，交AD于N(D)，

则P′M+MN− 32AN最小，
直线BC过(−3 3,0)，(0,3)，
∴BC的解析式是：y= 33x+3，
∴直线AD的解析式是：y= 33x−1，
由−13x2−23 3x+3= 33x−1得，x1=4 3，x2= 3，
∴OR=4 3，
∴AR=OR+AO=5 3，
∴AN=ARcos∠DAB=10，
∴HN=AN⋅tan∠DAB=10 33，
在Rt△BGQ中，BG=3 32，
∴QG=BG⋅tan30°=3 32× 33=32，
∴BQ=2QG=3，
∴BK=BQcos30∘=2 3，
∴AK=AB−BK=2 3，
∴AI=AK⋅cos30°=3，
∴NI=AN−AI=10−3=7，
在Rt△P′IN中，NI=7，P′I=P′F′+QI=9 38+2 3=25 38，
∴P′N= NI2+P′I2= 49+(25 38)2= 35118，
则P′M+MN− 32AN最小= 35118−10 32．
(3)如图4，

当B′在AB的垂直平分线上时，BA′=AB′=AB=4 3，AM=2 3，
∴MB′=6，
∴MA′=4 3−6，
设OH=x，
在Rt△HMA′中，MH 3−x，A′H=AH= 3+x，
∴( 3+x)2−( 3−x)=(4 3−6)2，
∴x=7 3−12，
∴H(12−7 3,0)，
如图5，

当AB=A′B，H(−3 3,0)，
如图6，

当AB=AA′时，H(5 3,0)．
综上所述，当H(12−7 3,0)，(−3 3,0)，(5 3,0)时，△AA′B为等腰三角形． 
【解析】(1)由OC=3，OB=3 3，OA= 3，得出OC2=OA⋅OB，进而得出结果；
(2)先由PE− 32PF最大时，得出P点的位置，再得出平移后的位置，找出P′M+MN− 32AN的最小时，M、N的位置，进而求出；
(3)△AA′B为等腰三角形，分为三种情形，作出图形后，可以观察出两种，利用勾股定理列方程计算一种．
本题考查一次函数、二次函数、三角形相似、解直角三角形等综合知识的运用，题目难度很大，计算复杂，解决问题的关键是画出图形和分类．

25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//CF，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，AO=OC，
∴△EAO≌△FCO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
(2)解：过点F作FH⊥AD于H，
由折叠可知：AF=CF，∠AFE=∠EFC，
在Rt△ABF中，AF2=BF2+AB2，即(4−BF)2=BF2+9，
∴BF=78，
∴AF=CF=258，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，
∴AE=AF=258，
∵∠B=∠BAD=∠AHF=90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴AB=FH=3，AH=BF=78，
∴EH=94，
∴EF= EH2+FH2= 9+8116=154，
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+AE+EF=3+78+258+154=434；
(3)解：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°，
∴∠ABC=135°，
∴∠ABN=45°，
∵AN⊥BC，
∴∠ABN=∠BAN=45°，
∴AN=BN= 22AB=2，
由折叠的性质可知：AF=CF，∠AFE=∠EFC，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AF2=AN2+NF2，
∴AF2=4+(6−AF)2，
∴AF=103，
∴AE=AF=103，
∵AN//MF，AD//BC，
∴四边形ANFM是平行四边形，
∵AN⊥BC，
∴四边形ANFM是矩形，
∴AN=MF=2，
在Rt△AMF中，AM= AF2−MF2= 1009−4=83，
∴ME=AE−AM=23，
在Rt△MFE中，EF= MF2+ME2= 49+4=2 103． 
【解析】(1)通过证明△EAO≌△FCO(ASA)，得到OE=OF，可证四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，可证平行四边形AFCE为菱形；
(2)过点F作FH⊥AD于H，先判断四边形ABFH是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
(3)过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，先证明四边形ANFM是平行四边形，再证明四边形ANFM是矩形，在Rt△AMF中，求出ME=AE−AM=23，Rt△MFE中，求出EF即可．
本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．