2023-2024学年四川省绵阳市涪城区八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳市涪城区八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列说法错误的是(    )

A. 是的算术平方根 B. 的立方根是
C. 无理数都是无限小数 D. 的平方根是

2.  下列命题是真命题的是(    )

A. 和为的两个角是邻补角
B. 一条直线的垂线有且只有一条
C. 点到直线的距离是指这点到直线的垂线段
D. 两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等

3.  若，则下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若关于的不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：
；
；
；
．
其中正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  年月日北京市统计局发布了北京市年国民经济和社会发展统计公报，其中列举了年北京市居民人均可支配收入．下面是小明同学根据年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．

根据统计图提供的信息，下面四个判断中合理的是(    )

A. 年北京市居民人均可支配收入比年增加了元
B. 年北京市居民人均可支配收入有增有降
C. 年北京市居民人均可支配收入的增长率约为
D. 年北京市居民人均可支配收入增长率最大的年份是

7.  如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，，平分，，，，则下列结论：；平分；；，其中正确结论的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

11.  年月日零时，我国开展第七次全国人口普查年月日，国务院新闻办公室公布普查结果，如图是根据我国历次人口普查数据，绘制的我国每万人中拥有大学文化指大专及以上程度人数的折线图．设年每万人中拥有大学文化程度的人数与年相比的增长率为，则下列关于的方程正确的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

12.  小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择件甲，件乙，件丙时显示的价格为元；当购物车内选择件甲，件乙，件丙时显示的价格为元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  已知点在轴上，则点的坐标为______．

14.  如图，点、分别在轴和轴上，，，若将线段平移至，则的值为______ ．

15.  如图，已知，若，，则与之间的数量关系为______ ．

16.  已知：，当，取不同的值时，也有不同的值，当最小时，的算术平方根为______ ．

17.  中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为          ．

三、解答题（本大题共5小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：

 

19.  本小题分
如图，将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形．
画出三角形，并写出的坐标；
已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，则 ______ ， ______ ；
求三角形的面积．

20.  本小题分
已知，满足方程组且．
试用含的式子表示方程组的解；
求实数的取值范围；
化简．

21.  本小题分
如图，已知直线、分别与直线相交于、两点，
请添加一个条件，使直线，并说明理由；
如图，在的条件下，作的平分线交于点，求的度数．

 

22.  本小题分
已知，点为平面内一点．如图，，小颖说过点作，很容易说明和互余．请你帮小颖写出具体的思考过程；
如图，，点在射线上运动，当点移动到点与点之间时，试判断与，的数量关系，并说明理由；
在的条件下，当点在射线上的其他地方运动时点与，，三点不重合，请直接写出与，之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是的算术平方根，故本选项不符合题意；
B.，
的立方根是，故本选项不符合题意；
C.无理数是无限不循环小数，无限循环小数是有理数，故本选项不符合题意；
D.的平方根是，故本选项符合题意；
故选：．
根据算术平方根、立方根、平方根和无理数的定义逐个判断即可．
本题考查了算术平方根、立方根的、平方根和无理数的定义等知识点，能熟记算术平方根、立方根的、平方根和无理数的定义是解此题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、和为的两个角不一定是邻补角，故错误，为假命题；
B、一条直线有无数条垂线，故错误，为假命题；
C、点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，故错误，为假命题；
D、两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等，正确，为真命题，
故选D．
利用邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质，难度不大．

3.【答案】 

【解析】解：，
，原变形错误，故此选项不符合题意；
B.，
，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.，
，原变形错误，故此选项不符合题意；
D.，
，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用不等式的性质分别分析得出答案．
本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，得，
不等式组的解集为，
不等式组整数解共有三个，
不等式组的整数解为、、，
，
则，
故选：．
首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，故正确；
由题意得，
，故正确；
过点作，如图，

，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，故正确．
综上所述，正确的有个．
故选：．
由题意可得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；
由题意可得，利用邻补角即可求；
过点作，可得，从而得，可求得，再利用平行线的性质即可求得；
利用角的计算可求得，从而可判断．
本题主要考查平行线判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．

6.【答案】 

【解析】解：、年北京市居民人均可支配收入比年增加了元，原叙述错误，故本选项不合题意；
B、年北京市居民人均可支配收入逐年增长，原叙述错误，故本选项不合题意；
C、年北京市居民人均可支配收入的增长率，正确，故本选项符合题意；
D、年北京市居民人均可支配收入增长幅度最大的年份是年，原叙述错误，故本选项不合题意；
故选：．
根据统计图中给出的数据对每一项进行分析，即可得出答案．
本题考查的是折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
故正确；
，
，
，
平分；
故正确；
，
，
，
平分，
；
故正确；
，
，
，
；
故正确．
故正确结论的个数有个．
故选：．
根据平行线的性质可得；由，即可求得的度数，得到平分；由，根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数，的度数；又由，即可求得与的度数．
此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

10.【答案】 

【解析】解：如图，设，
纸条沿折叠，
，，
，
纸条沿折叠，
，
而，
，
解得，
，
，
．
故选：．
设，根据折叠的性质得，，则，再由第次折叠得到，于是利用平角定义可计算出，接着根据平行线的性质得，所以．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形．

11.【答案】 

【解析】解：设年每万人中拥有大学文化程度的人数与年相比的增长率为，
根据题意得：，
故选：．
从折线图中找到年和年的数据，然后列出方程即可．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解增长了年该表示为，难度不大．

12.【答案】 

【解析】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款元，元，元，
根据题意得：，
得：，即，
，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款元．
故选：．
设购买甲、乙、丙三种商品需付款元，元，元，根据题意列出方程组，计算即可求出，，的值，即可得到结果．
此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
解得，
，
点的坐标为．
故答案为：．
根据轴上点的纵坐标为列方程求出的值，再求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记轴上点的纵坐标为是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：由作图可知，线段向右平移个单位，再向下平移个单位得到线段，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
由作图可知，线段向右平移个单位，再向下平移个单位得到线段，求出，的坐标可得结论．
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

15.【答案】 

【解析】解：过作，过作，
，
，
，，，，
，
，
，，
．
故答案为：．
过作，过作，得到，由平行线的性质推出，，，，得到，即可得到答案．
本题考查平行线的性质，关键是过作，过作，得到，由平行线的性质即可解决问题．

16.【答案】 

【解析】解：已知，
，，
当，时，有最小值，
则，，
那么，
则的算术平方根为，
故答案为：．
结合已知条件，根据二次根式的非负性确定，的值，然后求得的算术平方根即可．
本题考查二次根式的非负性及算术平方根，结合已知条件求得，的值是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：
．
故答案是：．
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．

18.【答案】解：，
，可得，
解得，
把代入，可得，
解得，
原方程组的解是．
 解不等式得，
解不等式得，
故不等式组的解集是． 

【解析】整理成一般式，再利用加减消元法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】   

【解析】解：如图所示．，，；

平移后点的对应点，
，
，
解得．
故答案为：，；
．
分别作出，，的对应点，，即可解决问题．
利用平移规律，构建方程组即可解决问题．
利用分割法求出三角形的面积即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积，属于中考常考题型．

20.【答案】解：，
得，
解得，
把代入得：，
解得，
则方程组的解为；
，
，
解得；
，
，，
则原式． 

【解析】把看作已知数表示出与；
把表示出的与代入不等式计算即可求出的范围；
根据的范围，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

21.【答案】解：可以添加：．
理由：如图中，，，
，
．

，平分，
，
，
，
． 

【解析】可以添加：利用同位角相等两直线平行即可证明．
利用平行线的性质求出即可．
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

22.【答案】解：如图，过作，则，

又，
，
，
又和互余，
，
，
；
，理由如下：
如图，过作，交于，则，

又，
，
，
；
当点在、两点之间时，如图，；

当点在的延长线上时，如图，．
 

【解析】过作，根据平行线的性质可得，再根据和互余，可得，进一步得到，可得；
过作，交于，根据平行线的性质可得，可得；
分两种情况：当点在、两点之间时；当点在射线上时；进行讨论可求与，的数量关系．
考查了平行线的判定和性质，余角和补角，垂线，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．