湖南省长沙市望城区达标名校2022年中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．一次函数的图像不经过的象限是：（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．在平面直角坐标系内，点P（a，a+3）的位置一定不在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知点A（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如表所示：

下列结论：

（1）abc＜0

（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；

（3）16a+4b+c＜0

（4）x=3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的个数为（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

5．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

6．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（   ）

A．2mn B．（m+n）2 C．（m-n）2 D．m2-n2

7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为

A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里

8．已知一次函数y=kx+3和y=k1x+5，假设k＜0且k1＞0，则这两个一次函数的图像的交点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9．下列计算正确的是（　　）

A．a2+a2=2a4 B．（﹣a2b）3=﹣a6b3 C．a2•a3=a6 D．a8÷a2=a4

10．若，代数式的值是　　

A．0 B． C．2 D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．计算的结果等于______________________.

12．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则an＝__________（用含n的代数式表示）．

13．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线（x≥0）与（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=_．

14．计算：.

15．在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝75°，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于F、G作直线FG，分别交AB，AC于点D、E，若AC的长为4，则BC的长为_____．

16．已知(x-ay)(x+ay)，那么a=_______

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．

（1）在图1中，过点O作AC的平行线；

（2）在图2中，过点E作AC的平行线．

18．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴于D，若OB＝1，OD＝6，△AOB的面积为1．求一次函数与反比例函数的表达式；当x＞0时，比较kx+b与的大小．

19．（8分）已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．

20．（8分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；

（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

21．（8分）据某省商务厅最新消息，2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元，第三季度的投资额增加到了14.4亿美元．求该省第二、三季度投资额的平均增长率．

22．（10分）解分式方程：=1

23．（12分）如图，∠MON的边OM上有两点A、B在∠MON的内部求作一点P，使得点P到∠MON的两边的距离相等，且△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）

24．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．若∠A＝n°，求∠BOC的度数．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

试题分析：根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质可知：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限.这个一次函数的k=＜0与b=1＞0，因此不经过第三象限.

答案为C

考点：一次函数的图像

2、D

【解析】
判断出P的横纵坐标的符号,即可判断出点P所在的相应象限.

【详解】

当a为正数的时候,a+3一定为正数,所以点P可能在第一象限,一定不在第四象限, 当a为负数的时候,a+3可能为正数,也可能为负数,所以点P可能在第二象限,也可能在第三象限, 
故选D.

【点睛】

本题考查了点的坐标的知识点，解题的关键是由a的取值判断出相应的象限.

3、B

【解析】
先分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【详解】

解：根据题意，得： ，

解不等式①，得：x＞，

解不等式②，得：x＞1，

∴不等式组的解集为x＞1，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式组，关键要掌握解一元一次不等式的方法，牢记确定不等式组解集方法．

4、B

【解析】
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式为y=-x2+x+3，即可判定正确；

（2）求得对称轴，即可判定此结论错误；

（3）由当x=4和x=-1时对应的函数值相同，即可判定结论正确；

（4）当x=3时，二次函数y=ax2+bx+c=3，即可判定正确．

【详解】

（1）∵x=-1时y=-，x=0时，y=3，x=1时，y=，

∴，

解得

∴abc＜0，故正确；

（2）∵y=-x2+x+3，

∴对称轴为直线x=-=，

所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故错误；

（3）∵对称轴为直线x=，

∴当x=4和x=-1时对应的函数值相同，

∴16a+4b+c＜0，故正确；

（4）当x=3时，二次函数y=ax2+bx+c=3，

∴x=3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，故正确；

综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．

5、D

【解析】
连接BD，BE，BO，EO，先根据B、E是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S△ABC﹣S扇形BOE，然后分别求出面积相减即可得出答案.

【详解】

解：连接BD，BE，BO，EO，

∵B，E是半圆弧的三等分点，

∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，

∴∠BAD＝∠EBA＝30°，

∴BE∥AD，

∵ 的长为 ，

∴

解得：R＝4，

∴AB＝ADcos30°＝ ，

∴BC＝AB＝，

∴AC＝BC＝6，

∴S△ABC＝×BC×AC＝××6＝，

∵△BOE和△ABE同底等高，

∴△BOE和△ABE面积相等，

∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝

故选：D．

【点睛】

本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键.

6、C

【解析】
解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）1．

又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）1-4mn=（m-n）1．

故选C．

7、D

【解析】

分析：依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，

∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，

∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．

∴NP＝NM＝80海里．故选D．

8、B

【解析】
依题意在同一坐标系内画出图像即可判断.

【详解】

根据题意可作两函数图像，由图像知交点在第二象限，故选B.

【点睛】

此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是根据题意作出相应的图像.

9、B

【解析】
解：A．a2+a2=2a2，故A错误；

C、a2a3=a5，故C错误；

D、a8÷a2=a6，故D错误；

本题选B.

考点：合同类型、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方

10、D

【解析】
由可得，整体代入到原式即可得出答案．

【详解】

解：，
，
则原式．
故选：D．

【点睛】

本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】
根据完全平方式可求解,完全平方式为

【详解】

【点睛】

此题主要考查二次根式的运算，完全平方式的正确运用是解题关键

12、3n+1．

【解析】

试题分析：从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．

试题解析：故剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．

考点：规律型：图形的变化类．

13、5-

【解析】

试题分析：本题我们可以假设一个点的坐标，然后进行求解．设点C的坐标为（1，），则点B的坐标为（，），点D的坐标为（1，1），点E的坐标为（，1），则AB=，DE=－1，则=5－．

考点：二次函数的性质

14、3+

【解析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【详解】

原式=2×+2﹣+1，

=2+2﹣+1，

=3+．

【点睛】

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数、绝对值等考点的运算

15、

【解析】
连接CD在根据垂直平分线的性质可得到△ADC为等腰直角三角形，结合已知的即可得到∠BCD的大小，然后就可以解答出此题

【详解】

解：连接CD，

∵DE垂直平分AC，

∴AD＝CD，

∴∠DCA＝∠BAC＝45°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴，∠ADC＝90°，

∴∠BDC＝90°，

∵∠ACB＝75°，

∴∠BCD＝30°，

∴BC＝ ，

故答案为．

【点睛】

此题主要考查垂直平分线的性质，解题关键在于连接CD利用垂直平分线的性质证明△ADC为等腰直角三角形

16、±4

【解析】
根据平方差公式展开左边即可得出答案.

【详解】

∵(x-ay)(x+ay)=

又(x-ay)(x+ay)

∴

解得：a=±4

故答案为：±4.

【点睛】

本题考查的平方差公式：.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）作图见解析；（2）作图见解析.

【解析】

试题分析：利用正六边形的特性作图即可.

试题解析：（1）如图所示（答案不唯一）：

（2）如图所示（答案不唯一）：

18、 (1) ,;(2) 当0＜x＜6时，kx+b＜,当x＞6时，kx+b＞

【解析】
（1）根据点A和点B的坐标求出一次函数的解析式，再求出C的坐标6，2）

，利用待定系数法求解即可求出解析式

（2）由C（6，2）分析图形可知，当0＜x＜6时，kx+b＜,当x＞6时，kx+b＞

【详解】

（1）S△AOB＝ OA•OB＝1，

∴OA＝2，

∴点A的坐标是（0，﹣2），

∵B（1，0）

∴

∴ 

∴y＝x﹣2．

当x＝6时，y＝ ×6﹣2＝2，∴C（6，2）

∴m＝2×6＝3．

∴y＝．

（2）由C（6，2），观察图象可知：

当0＜x＜6时，kx+b＜,当x＞6时，kx+b＞．

【点睛】

此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出C的坐标

19、（1）y＝－(x－3)2＋5（2）5

【解析】
（1）设顶点式y=a（x-3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．

【详解】

(1)设此抛物线的表达式为y＝a(x－3)2＋5，

将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得

∴此抛物线的表达式为

(2)∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x＝3，

∴B(5，3)．

令x＝0，则

∴△ABC的面积

【点睛】

考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.

20、（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）

【解析】

分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；

（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；

（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．

详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，

∴A（1，3），

把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，

∴y与x之间的函数关系式为：y=；

（2）∵A（1，3），

∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；

（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，

∴点B的坐标为（4，0），

把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，

∴b=，

∴y2=x+，

令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），

∴BC=7，

∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，

∴CP=BC=，或BP=BC=

∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，

∴P（﹣，0）或（，0）．

点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

21、第二、三季度的平均增长率为20%．

【解析】
设增长率为x，则第二季度的投资额为10（1+x）万元，第三季度的投资额为10（1+x）2万元，由第三季度投资额为10（1+x）2＝14.4万元建立方程求出其解即可．

【详解】

设该省第二、三季度投资额的平均增长率为x，由题意，得：

10（1+x）2＝14.4，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．

答：第二、三季度的平均增长率为20%．

【点睛】

本题考查了增长率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据第三季度投资额为10（1+x）2＝14.4建立方程是关键．

22、x=1

【解析】
分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

化为整式方程得：2﹣3x=x﹣2，

解得：x=1，

经检验x=1是原方程的解，

所以原方程的解是x=1．

【点睛】

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为

整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

23、详见解析

【解析】
作∠MON的角平分线OT，在ON上截取OA′，使得OA′＝OA，连接BA′交OT于点P，点P即为所求．

【详解】

解：如图，点P即为所求．

【点睛】

本题主要考查作图-复杂作图，利用了角平分线的性质，难点在于利用轴对称求最短路线的问题．

24、（1）125°；（2）125°；（3）∠BOC=90°+n°．

【解析】
如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．

【详解】

如图，

∵BO、CO是角平分线，

∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

∴2∠1+2∠2+∠A=180°，

∵∠1+∠2+∠BOC=180°，

∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，

∴2∠BOC﹣∠A=180°，

∴∠BOC=90°+∠A，

（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，

∴∠BOC=90°+×70°=125°；

（2）∠BOC=90°+∠A=125°；

（3）∠BOC=90°+n°．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．