2022年湖南省长沙市长沙县中考数学一模试卷（含解析）
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一．选择题（本题共10小题，共30分）
- 的相反数是
A. B. C. D.
- 年月日，国际奥委会新闻发言人马克亚当斯在新闻发布会上透露，北京冬奥会开幕式中国大陆地区观看人数约人，与平昌冬奥会开幕式的全球观看人数大体相当．将用科学记数法表示为
A. B. C. D.
- 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
- 下列说法正确的是
A. “明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨
B. 了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C. 一组数据，，，，的中位数是
D. 有关部门对某药店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了包口罩，其中包合格，该商店共进货包，估计合格的口罩约有包
- 下列计算正确的是
A. B.
C. D.
- 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当时，随的增大而增大．
则这个函数表达式可能是
A. B. C. D.
- 不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
- 在解一元二次方程时，小红看错了常数项，得到方程的两个根是，，小明看错了一次项系数，得到方程两个根是，，则原来的方程是
A. B.
C. D.
- 图是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图所示，此时液面
A. B. C. D.
- 在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为
- B. C. D.
二．填空题（本题共6小题，共18分）
- 分解因式：______．
- 如果是方程的一个根，那么代数式的值为______．
- 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球的个数为______．
- 如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高，斜坡的坡度为：，则迎水斜坡为______
|
- 某同学的作业如下框，其中处填的依据是______．
如图，已知直线，，，若，则． |
- 曹老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子接缝忽略不计，如果圆锥形帽子的半径是，则这张扇形纸板的圆心角是______．
三．解答题（本题共9小题，共72分）
- 计算：．
- 先化简，再求值：，其中．
- 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作周髀算经作注解时，用个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为年在北京召开的国际数学家大会的会徽．
请回答下列问题：
请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么______；
请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理．
- 年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：表示“从未听说过”，表示“不太了解”，表示“比较了解”，表示“非常了解”根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
参加这次调查的学生总人数为______人；扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是______；
将条形统计图补充完整；
在类的学生中，有名男生和名女生，现需从这名学生中随机抽取名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率．
- 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，≌．
求证：四边形是矩形；
若，，求矩形的周长．
- 为弘扬雷锋精神，重温革命先烈的艰苦奋斗历史，某校组织九年级全体师生前往雷锋纪念馆参观，需要租用甲、乙两种客车共辆每种车至少租一辆已知甲、乙两种客车的租金分别为元辆和元辆，设租用乙种客车辆，租车费用为元．
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？
- 如图，四边形是平行四边形，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且．
求证：∽；
若，，求的长．
- 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，请研究如下美丽的圆，如图，以为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接、、，过点作的切线交的延长线于点，且．
求证：是的切线；
若，，则：
求的长；
求的长．
- 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点坐标为，连结、、．
求抛物线的表达式；
判断的形状，并说明理由；
如图，点为线段的中点，点，分别为轴，轴上的动点，当四边形的周长取最小值时，求，两点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，利用此概念解答即可．
本题考查了相反数的定义，掌握其概念是解决此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
4.【答案】
【解析】解：、“明天下雨的概率为”，意味着明天下雨的可能性是，故A不符合题意；
B、了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故B不符合题意；
C、一组数据，，，，的中位数是，故C不符合题意；
D、有关部门对某药店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了包口罩，其中包合格，该商店共进货包，估计合格的口罩约有包，故D符合题意；
故选：．
根据概率的意义，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，中位数，概率公式，逐一判断即可．
本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，中位数，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：不能合并，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查合并同类项、整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
6.【答案】
【解析】解：把点分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；
又函数过第四象限，而只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；
对于函数，当时，随的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项A不符合题意．
故选：．
结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．
7.【答案】
【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
在数轴上表示出来为：
，
故选：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设此方程的两个根是、，根据题意得：，，
则以、为根的一元二次方程是．
故选：．
先设这个方程的两根是、，根据两个根是，和两个根是，，得出，，从而得出符合题意的方程．
本题考查了根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
9.【答案】
【解析】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，
，
∽，即相似比为，
，
，，
，
，
故选：．
高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
10.【答案】
【解析】解：由图象知，、、组成的点开口向上，；
A、、组成的二次函数开口向上，；
B、、三点组成的二次函数开口向下，；
A、、三点组成的二次函数开口向下，；
即只需比较、、组成的二次函数和、、组成的二次函数即可．
设、、组成的二次函数为，
把，，代入上式得，
，
解得；
设、、组成的二次函数为，
把，，代入上式得，
，
解得，
即最大的值为，
故选：．
比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：把代入方程，得到，
所以代数式；
故答案为：．
先把代入方程，得到，再代入代数式，即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】
【解析】解：设盒子内白色乒乓球的个数为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
故答案为：．
首先设盒子内白色乒乓球的个数为，则盒子里装有个球，根据概率公式列出方程，再解即可．
此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件的概率．
14.【答案】
【解析】解：过点作水平面于，
斜坡的坡度为：，
，
，
，
故答案为：．
过点作水平面于，根据坡度的概念求出，根据含角的直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
15.【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】解：，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
故答案为：两直线平行，同位角相等．
先证，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设扇形纸板的圆心角是，
根据题意得：，
解得：，
所以扇形的圆心角为，
故答案为：．
根据底面周长等于扇形的弧长列式计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17.【答案】解：
．
【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
18.【答案】解：原式，
当时，原式．
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
19.【答案】
【解析】解：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．
故答案为：．
，，，
，
即．
用文字及符号语言叙述勾股定理即可；
如图，根据四个全等的直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，代入数值，即可证明．
本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．
20.【答案】
【解析】解：参加这次调查的学生总人数为人，
则扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：，；
类别人数为人，
补全图形如下：
画树状图为：
共有种等可能的结果，，其中恰好选中名男生和名女生的结果为种，
所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率．
根据类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数，再用乘以类别人数所占比例即可；
根据四种类别人数人数之和等于总人数求出类别人数，即可补全图形；
画树状图，共有种等可能的结果，，其中恰好选中名男生和名女生的结果数为种，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法，正确画树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了统计图．
21.【答案】证明：≌，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
矩形的周长．
【解析】由全等三角形的性质得，，则四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，则，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理求出的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明四边形为矩形是解题的关键．
22.【答案】解：设租用乙种客车辆，租车费用为元，依题意得：
，
整理得：；
租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，
，
即
或，
当时，，
当时，，
故租用乙种客车辆时，租车费用最少，为元．
答：租用乙种客车辆时，租车费用最少，为元．
【解析】租车费用分为两部分，甲客车的费用与乙客车的费用，分别表示出两种客车的费用相加即可；
由租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，则可得或，代入中的函数关系式进行求解即可．
本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是读清楚题意，明确租车费用分为两部分．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
∽；
解：四边形是平行四边形，
，
由得∽，
，
，，
，，
即，
．
【解析】由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又由公共角，可证得∽；
根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图．
24.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
即，
又是的半径，
是的切线；
解：连接，
为的切线，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
；
在中，设，则，，
由勾股定理得，，
即，
解得，
即的长为．
【解析】连接，根据等腰三角形的性质得，继而得出，即，即可得证结论；
连接，根据切线定理得，，，推出，证∽，根据线段比例关系求长度即可；
在中，设，则，，利用勾股定理列方程求出的值即可．
本题主要考查圆的综合题型，熟练掌握圆的相关概念和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
25.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过点，
．
．
抛物线的表达式为．
的形状是直角三角形，理由：
令，则．
解得：或．
，．
．
，
．
．
过点作于点，过点作与点，如图，
则四边形为矩形．
．
，
，，．
，
．
，．
，
．
．
的形状是直角三角形．
作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，分别交轴，轴于点，，如图，
则此时四边形的周长取最小值；
令，则．
解得：或．
，．
，
．
．
，
．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
令，则，
．
令，则．
．
综上，当四边形的周长取最小值时，求，两点的坐标分别为，．
【解析】利用待定系数法解答即可；
过点作于点，过点作与点，利用点的坐标表示出相应线段的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
利用轴对称的性质分别作出点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，分别交轴，轴于点，，则此时四边形的周长取最小值；利用待定系数法求得直线的解析式即可求得结论．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上的坐标的特征，勾股定理及其逆定理，轴对称的性质，利用轴对称的性质找出四边形的最小值是解题的关键．
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