2023年江西省鹰潭市余江区中考二模数学试题（含解析）

2023年江西省鹰潭市余江区中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．计算：的结果是（    ）

A． B． C．5 D．9

2．如图是化学实验室经常用到的玻璃漏斗，其俯视图是（    ）

A． B． C． D．

3．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）

A．x1+x2＞0 B．x1•x2＜0 C．x1≠x2 D．方程必有一正根

4．从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择适合的出行方式，对6:00-10:00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行调查、记录与整理，数据如图所示．

根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（     ）

A．若8:00出发，驾车是最快的出行方式

B．地铁出行所用时长受出发时刻影响较小

C．若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7:30之前出发均可

D．同一时刻出发，不同出行方式所用时长的差最长可达30分钟

5．如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作的位似图形，若点D是点A的对应顶点，则点B的对应顶点是（　　）

A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点

6．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2＋c的图象正确的是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

7．分解因式：______________．

8．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题，大意为：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样（取米一把），数得粒内夹谷粒，则该人送来的这批米内夹谷约为___________石．

9．如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为___________．

10．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为______．

11．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住 7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为：_____．

12．如图，，点在上，且，是上的点，在上找点，以为边，，，为顶点作正方形，则的长为______．

三、解答题

13．（1）计算：；

（2）解不等式组：

14．矩形和矩形有公共顶点A和，、相交于点，、相交于点．求证：．

15．鹰潭高铁站开通后，从鹰潭北到南吕西站中间无其它站点，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从鹰潭北到南吕西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）。假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的．

(1)①“系统分给这两个人A，G座位”是___________（填“必然”或“不可能”或“随机”） 事件；

②若系统分给王某A座后，再给李某B座的概率是___________；

(2)利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率．

16．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若m为正整数，求此时方程的根．

17．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．

（1）在图1中，画出△ABC中AB边上的中线CM；

（2）在图2中，画出∠APC，使∠APC＝∠ABC，且点P是格点（画出一个即可）．

18．如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽为1.2米

（参考数据：，，，，，）

(1)当车门打开角度为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由

(2)若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？

19．如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为的中点，轴于点C，延长交反比例函数的图象于点D，且

(1)求k的值；

(2)连，，求证：四边形是菱形．

20．如图，A为外一点，线段交于点B，，，的半径为5，点P在上．

(1)当的面积最大时，求的长；

(2)当与相切时，求的长．

21．某学校科技小组对甲、乙两幅作品从创新性、使用性两个方面进行量化评分（得分为整数分），并把成绩制成不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．

(1)若甲、乙两幅作品的总得分相等，请补充完整条形统计图；

(2)若将甲、乙的两项量化成绩，按照扇形统计图各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，若甲作品的综合成绩高，求乙作品的使用性得分的最大值．

22．【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值、我们知道：如图1，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．

(1)【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是___________；

(2)【尺规作黄金分割点】如图2，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值；

(3)【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点A对应点H，得折痕，试说明：C是的黄金分割点．

23．如图1，地面BD上两根等长立柱AB， CD之间悬挂一根近似成抛物线的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；

（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】先去括号，然后计算即可．

【详解】解：，

故选：D．

【点睛】本题考查了有理数的减法运算．解题的关键在于正确的去括号．

2．D

【分析】根据从上向下看，确定俯视图，进行判断即可．

【详解】解：玻璃漏斗的俯视图是：

故选D．

【点睛】本题考查三视图．熟练掌握从不同的方向观察几何体，确定三视图，是解题的关键．

3．B

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1＋x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意．

【详解】解：A、根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；

B、根据根与系数的关系可得出x1x2＝−m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；

C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；

D、由x1•x2＝−m2≤0，结合两根之和大于0可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

4．B

【分析】根据折线统计图提供的信息逐项判断即可．

【详解】A项，若八点出发，驾车需要的时间是50min，而坐地铁和公交所用的时间则均低于40min，故A项说法错误；

B项通过统计图发现，乘坐地铁所用的时间的连线最接近水平，受时间段的影响产生的波动的幅度最小，即地铁出行受出发时刻的影响较小，B项说法正确；

C项通过统计图发现要30min内到达必须要在6:30之前出发才可以，故C项说法错误；

D项通过统计图发现不同出行方式所用时长的差最长可达20分钟，7：00出发时，驾车约要50多分钟，坐地铁则要30多分钟，时长差可达20min，故D项做错误；

故选：B．

【点睛】本题考查了折线统计图的知识，准确理解折线统计图所含信息、数形结合是解答本题的关键．

5．D

【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可．

【详解】解：如图，连接并延长，

∵以点为位似中心，点D是点A的对应点，

∴位似比为，

∴

∴则点B的对应点是N，

故选：D．

【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．

6．B

【分析】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，从而得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向和顶点坐标所在的位置，分析判断即可得到正确的函数图象．

【详解】解：由y＝ax2+bx+c的图象可得a＜0，b＞0，c＞0，

∵函数y＝a（x﹣b）2+c，

∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，

故选：B

【点睛】本题考查由二次函数图象判断各项系数的符号，牢记相关知识点是解题关键．

7．

【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．

【详解】解：；

故答案为．

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

8．

【分析】利用概率的意义能求出结果．

【详解】解：这批米内夹谷约为：（石），

故答案为：

【点睛】本题考查用样本估算总体，掌握概率的意义是解答本题的关键．

9．/128度

【分析】根据平行线性质求出，根据三角形外角性质得出，再利用邻补角的性质求出即可．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平行线，三角形的外角性质，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形的外角性质．

10．3

【详解】解：如下图所示，

图2中阴影部分实际上是由图1中的等腰直角三角形A和平行四边形B组成，

∵图1中的A、B、C三部分的面积：，

图1中的C的面积=，

∴阴影部分的面积．

【点睛】本题考查了七巧板中图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键．

11．

【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．

【详解】解：根据题意得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

12．或或

【分析】分四种情况：当点在点右侧，在上方时；当点在点左侧，在上方时；当点在右侧，在上方时；当点在点左侧，在点上方时；分别画出图形，根据正方形的性质、通过解直角三角形求解即可．

【详解】分四种情况：

①如下图，当点在点右侧，在上方时．

在直角三角形中，，，

∴，

∵四边形是正方形，

∴．

②如下图，当点在点左侧，在上方时．

设，则，

在直角三角形中，，

∴，

解得：，即．

③如下图，当点在右侧，在上方时．

设，则，

在直角三角形中，，

∴，

解得：，即．

④如下图，当点在点左侧，在点上方时．

在直角三角形中，，，

∴，

∵四边形是正方形，

∴．

综上，的长为或或．

【点睛】本题考查了正方形的性质和解直角三角形等知识，正确分类、熟练解直角三角形是解题的关键．

13．（1）；（2）

【分析】（1）利用乘法法则、二次根式的除法法则、负整数指数幂分别计算后，再进行加减混合运算即可；

（2）求出每个不等式的解集，找到公共部分即可．

【详解】解：（1）

；

（2）

解不等式①得，，

解不等式②得，，

∴不等式组的解集是．

【点睛】此题考查了实数的混合运算和一元一次不等式组，熟练掌握二次根式的运算法则和一元一次不等式的解法是解题的关键．

14．见解析

【分析】根据四边形与四边形都是矩形得到，，即可得到四边形是平行四边形，得到，结合矩形性质即可得证明；

【详解】四边形与四边形都是矩形，

∴，，

∴四边形是平行四边形，

∴，

四边形与四边形都是矩形，

，，，

，，

，

在与中，

，

．

【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形判定与性质，三角形全等的判定，解题的关键是根据矩形性质得到四边形是平行四边形．

15．(1)①不可能，②

(2)

【分析】（1）①一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位，即可得到“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件；②系统分给王某A座后，还剩下4个座位，即可得到再给李某B座的概率；

（2）列出表格，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有、、、、，6种等可能情况，根据概率公式即可得到答案．

【详解】（1）解：①∵一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位，

∴“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件，

故答案为：不可能

②系统分给王某A座后，再给李某B座的概率是，

故答案为：

（2）画树状图如下：

系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有、、、、、，6种等可能情况，故系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为．

【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，概率公式、事件的分类等知识，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．

16．（1）且m≠1；（2）x1＝1，x2＝2．

【分析】（1）由方程有两个相等的实数根得△=b2﹣4ac≥0，可得关于m的不等式，解之可得m的范围，再结合一元二次方程的定义，可得答案；

（2）根据题意并由（1）知m=2，代入方程，再用因式分解法，即可求解．

【详解】解：（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4（m﹣1）×2=﹣8m+17，

依题意，得 ，

解得且m≠1；

（2）∵m为正整数，结合（1），

∴m=2，

∴原方程为x2﹣3x+2=0，

即，

解得x1=1，x2=2．

【点睛】本题考查一元二次方程，难度不大，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及解法是顺利结解题的关键．

17．（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）连接DE，交AB与点M，由菱形的判定与性质可知M是AB的中点，根据三角形中线的定义即可得到结论；

（2）连接AP，根据全等三角形的判定与性质可证∠ABC=∠BAP， ∠APC=∠BCP，由三角形内角和可知∠APC=∠BCP．

【详解】解：（1）如图所示，线段CM即为所求；

（2）如图所示，点P即为所求．

【点睛】本题考查了作图-应用与设计，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

18．(1)车门不会碰到墙，理由见解析

(2)

【分析】（1）如图：过点A作，垂足为点G．解三角形求出AC的长度，然后比较即可；

（2）如图：过点A作，垂足为D，，求出即可．

【详解】（1）解：车门不会碰到墙，理由如下：

如图：过点A作，垂足为点C．

在中，，

∴，

∵，

∴车门不会碰到墙．

（2）解：过点A作，垂足为D，

在中，

∵，

∴．

∴，

又∵正弦值随着角度的增大而增大，

∴靠墙一侧车门能打开的最大角度为．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形并灵活解直角三角形是解答本题的关键．

19．(1)；

(2)见解析

【分析】（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由轴，利用三线合一得到，根据，得到一对内错角相等，证明，利用全等三角形对应边相等得到，，求出A与B坐标，进而确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；

（2）由（1）的全等得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到为平行四边形，再根据即可得证．

【详解】（1）解：∵，P为中点，

∴，

∵轴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，，

一次函数中，令，得到，令，得到，

即B点坐标，A点坐标，

∴，

∴，，

所以点D的坐标，

代入反比例解析式得；

（2）证明：由（1），得，又，

∴四边形为平行四边形，

又，

∴四边形为菱形．

【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的性质，平行四边形及菱形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）由，得到，点P在上，则当时，点P到的距离最大，此时的面积最大，设于点D，连接，则，在中，，得到，由勾股定理即可得到答案；

（2）当与相切时，如图，连接，过点O作于点D，由切线性质定理得到，由垂径定理得到，则，利用勾股定理求得，，在中，由勾股定理即可得到答案．

【详解】（1）解：∵，，

∴，

∵点P在上，

∴当时，点P到的距离最大，此时的面积最大，

如图，设于点D，连接，则，

在中，，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得，，

即当的面积最大时，的长为；

（2）当与相切时，如图，连接，过点O作于点D，

则，，

∴，

在中，，

在中，，

在中，，

即的长为．

【点睛】此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，准确画出图形，数形结合是解题的关键．

21．(1)见解析

(2)87分

【分析】（1）根据甲、乙两幅作品的总得分相等列式计算得到乙作品的使用性得分，即可补充完整条形统计图；

（2）设乙作品的使用性得分为x，依据题意得出不等式，即可求解．

【详解】（1）解：乙作品的使用性得分，

所以补充完整条形统计图如图，

；

（2）解：设乙作品的使用性得分为x，依据题意得，

，

，

因为x是整数，所以x最大值为87分．

【点睛】此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析．

22．(1)

(2)

(3)见解析

【分析】（1）由得到，由，代入后整理得到，解方程即可得到答案；

（2）在中，，，，由勾股定理得，，由得到，则，即可得到的值；

（3）设与相交于点P，作于点Q，由，，且为的中点得到，，可得到，设，则，由勾股定理得到，由得到，解得，则，求出，，即可得到结论．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

整理得，，

两边同除以得，，

解得，（不合题意，舍去），

∴与的比值是，

故答案为：

（2）在中，，，，

由勾股定理得，，

∵，

∴，

∴，

∴，

即的值为；

（3）设与相交于点P，作于点Q，

∵，，且为的中点，

∴，，

∵平分，

∴，

设，

则，

∵，

∴，

∴，

解得，

经检验是分式方程的根，

∴，

∴，

，

∴，

∴C是的黄金分割点．

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理、正方形的性质、解方程等知识，正确做出辅助线是解题的关键．

23．（1）m；（2）MN的长度为2.1m；（3）m的取值范围是4≤m≤8﹣2．

【详解】试题分析：（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x=3时，y的值，进而得出MN的长；（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．

试题解析：（1）∵a=＞0，

∴抛物线顶点为最低点，

∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+，

∴绳子最低点离地面的距离为：m；

（2）由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8，

令x=0得y=3，

∴A（0，3），C（8，3），

由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），

设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，

将（0，3）代入得：4a+1.8=3，

解得：a=0.3，

∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，

当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，

∴MN的长度为：2.1m；

（3）∵MN=DC=3，

∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，

∴抛物线F2的顶点坐标为：（m+4，k），

∴抛物线F2的解析式为：y=（x﹣m﹣4）2+k，

把C（8，3）代入得：（8﹣m﹣4）2+k=3，

解得：k=﹣（4﹣m）2+3，

∴k=﹣（m﹣8）2+3，

∴k是关于m的二次函数，

又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，

∴k随m的增大而增大，

∴当k=2时，﹣（m﹣8）2+3=2，

解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），

当k=2.5时，﹣（m﹣8）2+3=2.5，

解得：m1=8﹣2，m2=8+2（不符合题意，舍去），

∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．

考点：二次函数的应用．