2024年新高考数学一轮复习 第八章 第一节 直线方程及两直线位置关系

课时跟踪检测（五十五） 直线方程及两直线位置关系

1．(2023·昌吉诊断)已知直线l1：2x＋y＋2＝0，l2：2x＋y＝0，则l1与l2间的距离为(　 )

A.       B.       C.  D.

解析：选A　由平行线间的距离公式可知，l1与l2间的距离为＝.故选A.

2．(2023·杭州模拟)点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(　 )

A．(1,0)  B．(0,1)

C．(0，－1)  D．(2,1)

解析：选B　设点A(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是B(a，b)，则有解得a＝0，b＝1，故点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0,1)．故选B.

3．直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则(　 )

A．a<0，b<0  B．a<0，b>0

C．a>0，b<0  D．a>0，b>0

解析：选C　因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则该直线的斜率－<0，可得a>0，该直线在y轴上的截距－>0，可得b<0.故选C.

4．(2023·锦州模拟)已知直线l：ax＋y＋a＝0，直线m：x＋ay＋a＝0，则l∥m的充要条件是(　 )

A．a＝－1  B．a＝1

C．a＝±1  D．a＝0

解析：选A　因为直线l：ax＋y＋a＝0，直线m：x＋ay＋a＝0，易知a＝0时，两直线垂直，所以l∥m的充要条件是＝≠，即a＝－1.故选A.

5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,1)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　 )

A．2x＋4y－3＝0  B．x－2y－3＝0

C．2x－y－3＝0  D．4x－2y－3＝0

解析：选D　由AC＝BC及题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线，AB的中点为M，斜率kAB＝－，则AB垂直平分线的斜率k＝2，则△ABC的欧拉线的方程为y－＝2(x－1)，即4x－2y－3＝0，故选D.

6．设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　 )

A．[0，π]  B.

C.  D.∪

解析：选C　由题意知，当sin θ＝0时，直线l的斜率不存在，其倾斜角α＝；当sin θ≠0时，直线l的斜率k＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以倾斜角α∈∪.综上，α∈.

7．(2023·重庆模拟)已知实数a，b，c成等差数列，则点P(2，－1)到直线ax＋by＋c＝0的最大距离是(　 )

A.      B．1        C.  D．2

解析：选C　由题意得a＋c＝2b.设点P到直线ax＋by＋c＝0的距离为d，则d＝＝＝，由基本不等式知(a＋b)2≤2(a2＋b2)，当且仅当a＝b时等号成立，故d≤.故选C.

8．(2023·西安模拟)已知点P(cos θ，sin θ)在直线ax－y＋3＝0上，则当θ变化时，实数a的范围为(　 )

A．[－2，2]

B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－3,3]

D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

解析：选B　∵点P(cos θ，sin θ)在直线ax－y＋3＝0上，∴acos θ－sin θ＋3＝0，∴sin θ－acos θ＝sin(θ－φ)＝3，其中tan φ＝a，∵sin(θ－φ)≤1，∴≥3，即a2≥8，解得a≤－2或a≥2.故选B.

9．(2023·湖北华中师大一附中模拟)美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2 cm，五眼中一眼的宽度为1 cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为(　 )

A.        B.      C.  D.

解析：选B　如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则A，B，直线AB：＝，整理为x－y＋＝0，原点O到直线的距离为＝，故选B.

10．(多选)已知直线l：mx＋y－m＋1＝0，A(1,2)，B(3,4)，则下列结论正确的是(　 )

A．存在实数m，使得直线l与直线AB垂直

B．存在实数m，使得直线l与直线AB平行

C．存在实数m，使得点A到直线l的距离为4

D．存在实数m，使得以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为＋

解析：选ABD　∵直线l：mx＋y－m＋1＝0，A(1,2)，B(3,4)，∴直线l的斜率为－m，直线AB的斜率为1，故当m＝1时，直线l与直线AB垂直；当m＝－1时，直线l与直线AB平行，故A、B正确；直线l：mx＋y－m＋1＝0，即m(x－1)＋y＋1＝0，令求得可得直线经过定点P(1，－1)，由于AP＝3，故点A到直线l的最大距离为3，故C错误；由于A(1,2)，B(3,4)，AB＝＝2，故以AB为直径的圆的圆心Q(2,3)，且PQ＝＝，故圆的半径为，圆心Q到直线l的最大距离为，故以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为＋，故D正确，故选A、B、D.

11．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是(　 )

A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行

B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直

C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直

D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交

解析：选A　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与l垂直，错误；对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．

12．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1,2,3，…，9)均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1,2，3，…，9)均为16 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝66 m，|OA1|＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为(　 )

A．±0.47  B．±0.45 

C．±0.42  D．±0.40

解析：选C　根据题意，|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝86＋9×16＝230，即点A10(230,0)，同理B10(－230,0)，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝66＋9×3.4＝96.6，即点P10(0,96.6)，所以kA10P10＝＝－0.42，kB10P10＝＝0.42，故选C.

13．(2023·茂名月考)一条与直线2y＋3＝0平行且距离大于的直线方程为________．

解析：由题意，令平行于2y＋3＝0的直线为y＝k，∴距离大于的直线方程有y＝6.

答案：y＝6(答案不唯一)

14．(2023·浙江绍兴模拟)已知直线l：3x＋4y－1＝0，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是______，点(2,0)到l的距离是________．

解析：直线l：3x＋4y－1＝0的斜率为k＝－，所以可设与l垂直的直线方程为4x－3y＋c＝0，把(0,0)代入，求得c＝0，所以过坐标原点且与l垂直的直线方程是4x－3y＝0；点(2,0)到l的距离为d＝＝1.

答案：4x－3y＝0　1

15．(2023·湖北宜城一中模拟)若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为________．

解析：由题意，设直线方程为y＝kx＋b，直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位后，直线方程为y＝k(x－2)＋b＋1，化简得y＝kx－2k＋b＋1，因为平移后与原直线重合，则kx＋b＝kx－2k＋b＋1，解得k＝，即直线的斜率为.

答案：

16．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为________．

解析：设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得易知点(4，－2)在直线BC上，∴BC所在直线的方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)．

答案：(2,4)

17.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，

kOB＝tan(180°－30°)＝－，

所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.

设A(m，m)，B(－n，n)，

所以AB的中点C，

由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得

解得m＝，所以A(，)．

又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，

所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.

18．直线l1：y＝mx＋1，l2：x＝－my＋1相交于点P，其中|m|≤1.

(1)求证：l1，l2分别过定点A，B，并求点A，B的坐标；

(2)求△ABP的面积S；

(3)m为何值时，S最大？

解：(1)证明：在直线l1的方程中，令x＝0，可得y＝1，则直线l1过定点A(0,1)；

在直线l2的方程中，令y＝0，可得x＝1，则直线l2过定点B(1,0)．

(2)联立直线l1，l2的方程解得即点P.

|AP|＝＝，

|BP|＝＝.

由题意可知l1⊥l2，所以AP⊥BP.因为－1≤m≤1，所以S＝|AP|·|BP|＝＝＝.

(3)因为S＝，且－1≤m≤1，

因此，当m＝0时，S取得最大值，即Smax＝.