空间几何体的表面积与体积导学案-2024届高三一轮复习

第八章 第二节　空间几何体的表面积与体积

一、学习目标

【课标解读】

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

【衍生考点】

1.空间几何体的表面积与侧面积

2.空间几何体的体积

3.与球有关的切、接问题

二、相关知识回顾

1.多面体的表(侧)面积

因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是　　　　　　　　　　　　　　,表面积是侧面积与底面面积之和. 

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

【微点拨】当台体的上底面与下底面全等时,台体变为柱体;当台体上底面缩为一个点时,台体变为锥体.柱体、锥体、台体的体积公式间有如下联系:

【微拓展】球的截面的性质

(1)球的截面是圆面;

(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;

(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为

【微思考】如何求不规则几何体的体积?

【常用结论】

1.与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.

2.长方体的外接球

(1)球心:体对角线的交点. (2)半径:r=(a,b,c分别为长方体的长、宽、高).

3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)

(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径r=a(a为正四面体的棱长).

(2)内切球:球心是正四面体的中心;半径r=a(a为正四面体的棱长).

三、考点精讲精练

考点一 空间几何体的表面积与侧面积

【典例突破】

例1.(1)(2021四川成都三诊)某几何体的三视图如图所示,已知网格纸上的小正方形边长为1,则该几何体的表面积为(　　)

A.(20+8)π B.(20+4)π

C.(24+8)π D.(24+4)π

(2)(2021河南安阳高三三模)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示,该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形,若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为∶8,则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为(　　)

A. B. C. D.

对点训练1(1)(2020全国Ⅱ,理10)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为       

(2)(2021陕西西安检测)下图网格纸中小正方形的边长为1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为(　　)

A.4π+4π+6π B.4π+4π+6π

C.2π+2π+6π D.2π+2π+6π

考点二 空间几何体的体积(多考向探究)

考向1.简单几何体的体积

【典例突破】

例2.(1)(2021北京,8)某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如下:

在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h降雨量的等级是(　　)

A.小雨 B.中雨 

C.大雨 D.暴雨

(2)(2021浙江杭州二模)某四棱锥的三视图(图中每个小方格的边长为1)如图所示,则该四棱锥的体积为(　　)

A.4 B. 

C. D.1

考向2.不规则几何体的体积

【典例突破】

例3.(1)(2021河南开封模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈.问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出如下图所示,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为(　　)

A.5 000立方尺  B.5 500立方尺

C.6 000立方尺  D.6 500立方尺

(2)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为(　　)

A. B.

C. D.1+

对点训练2(1)(2021山东莱州高三检测)如图所示,半径为R的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的体积为　　　　　. 

(2)(2021福建龙岩高三模拟)某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图①的多面体石凳是由图②的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是cm3,则正方体石块的棱长为　　　　　.

考点三 与球有关的切、接问题(多考向探究)

考向1.几何体的外接球问题

【典例突破】

例4.(1)(2021广西玉林模拟)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑、园林建筑.某四角攒尖,它的主要部分轮廓可以近似看作一个正四棱锥,其三视图如图所示,则这个四棱锥外接球的表面积为(　　)

A.32π     B.16π     C.49π     D.64π

(2)(2021甘肃兰州月考)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,AD=1,

AB=2,侧棱PA⊥底面ABCD,且直线PB与CD所成角的余弦值为 ,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为　　　　　. 

对点训练3(1)(2021四川成都二诊)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为(　　)

A.4π  B.8π 

C.12π  D.16π

(2)(2021河北邯郸三模)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=BB1=CC1=DD1= ,AB=2,A1B1=1,则该四棱台的表面积为　　　　　　;该四棱台外接球的体积为　　　　　　. 

考向2.几何体的内切球问题

【典例突破】

例5.(1)(2021四川成都石室中学高三)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC, PA=BC=4,AB=3,AB⊥BC,若三棱锥P-ABC有一个内切球O,则球O的体积为(　　)

A. B. C. D.9π

(2)(2021山东潍坊三模改编)圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的表面积与该圆锥的表面积之比的最大值为　　　　. 

对点训练4(1)(2021广西桂林、崇左二模)有一底面半径与高的比值为的圆柱,则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为(　　)

A.4∶3  B.3∶2 

C.2∶1  D.8∶3

(2)(2021云南昆明一中高三月考)在封闭的正四棱锥内有一个体积为V的球.若正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则V的最大值是(　　)

A.36π B. 

C. D.