高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1讲函数及其表示学案

这是一份高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1讲函数及其表示学案，共10页。

知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理
知识点一 函数的概念及表示
1．函数与映射的概念
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．
(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
知识点二 分段函数及应用
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
重要结论
1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；
(2)映射的两个特征：
第一，在A中取元素的任意性；
第二，在B中对应元素的唯一性；
(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．
2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
双基自测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x)＝eq \f(1,\r(x－4))＋eq \r(3－x)是一个函数．( × )
(2)函数f(x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．( × )
(3)已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)等于m3.( × )
(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．( × )
(5)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋1，－1≤x≤1，,x＋3，x>1或x<－1，))
则f(－x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋1，－1≤x≤1，,－x＋3，x>1或x<－1.))( √ )
题组二 走进教材
2．(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
3．(必修1P24T4改编)已知f(x5)＝lg x，则f(2)等于( D )
A．lg 2 B．lg 32
C．lg eq \f(1,32) D．eq \f(1,5)lg 2
[解析] 解法一：由题意知x>0，令t＝x5，则t>0，x＝teq \s\up6(\f(1,5))，
∴f(t)＝lg teq \s\up6(\f(1,5))＝eq \f(1,5)lg t，即f(x)＝eq \f(1,5)lg x(x>0)，
∴f(2)＝eq \f(1,5)lg 2，故选D．
解法二：令x5＝2，则x＝2eq \s\up6(\f(1,5))，∴f(2)＝lg 2eq \s\up6(\f(1,5))＝eq \f(1,5)lg 2.故选D．
4．(必修1P25BT1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；值域是[1，5]；其中只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]．
题组三 走向高考
5．(2018·上海，16，5分)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转eq \f(π,6)后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( B )
A．eq \r(3) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(\r(3),3) D．0
[解析] A选项，若f(1)＝eq \r(3)，将点(1，eq \r(3))依次旋转eq \f(π,6)后可得到函数图象上的一些点，由图可知，当x＝±1、±eq \r(3)、0时，对应了两个y值，不符合函数定义，∴f(1)≠eq \r(3).同理，结合图象分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义，故选B．
6．(2015·陕西，5分)设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x<0，))则f[f(－2)]＝( C )
A．－1 B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,2)
[解析] ∵f(－2)＝2－2＝eq \f(1,4)，
∴f[f(－2)]＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1－eq \r(\f(1,4))＝eq \f(1,2)，故选C．
考点突破·互动探究
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点一 函数的概念及表示
考向1 函数与映射的概念——自主练透
例1 (1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？
①A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.
②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x.
③A＝N，B＝Q，f：x→y＝eq \f(1,x2).
④A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0，150]，f：每个同学与其高考数学的分数相对应．
(2)(多选题)(2021·河南安阳模拟改编)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有( BC )
(3)(多选题)下面各组函数中是同一函数的是( BD )
A．y＝eq \r(－2x3)与y＝xeq \r(－2x)
B．y＝eq \r(x2)与y＝|x|
C．y＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)与y＝eq \r(（x＋1）（x－1）)
D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
[解析] (1)①是映射，也是函数；
②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”；
③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数；
④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集．
(2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C．
(3)本题考查函数的定义及三要素．选项A中，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；选项B中，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；选项C中，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项D中，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数．故选BD．
[答案] (1)①是映射，也是函数
②不是映射，更不是函数
③不是映射，更不是函数
④是映射，但不是函数
(2)BC (3)BD
名师点拨 MING SHI DIAN BO
1.映射与函数的含义
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数．
2．判断两个函数是否相同的方法
(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．
(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
考向2 求函数的解析式——师生共研
例2 (1)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－1))＝lg x，则f(x)＝lg_eq \f(2,x＋1)(x>－1)．
(2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋x－2，则f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋5．
(4)已知f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，则f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)．
(5)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝x2＋x＋1．
[解析] (1)令t＝eq \f(2,x)－1，则由x>0知eq \f(2,x)－1>－1，x＝eq \f(2,t＋1)，所以由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－1))＝lg x，得f(t)＝lg eq \f(2,t＋1)(t>－1)，所以f(x)＝lg eq \f(2,x＋1)(x>－1)．
(2)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋x－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－2，
且当x>0时，x＋eq \f(1,x)≥2；当x<0时，x＋eq \f(1,x)≤－2，
所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(3) 因为f(x)是二次函数且f(0)＝5，
所以设f(x)＝ax2＋bx＋5(a≠0)．
又因为f(x＋1)－f(x)＝x－1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1，
整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－1＝0，,a＋b＋1＝0，))
解得a＝eq \f(1,2)，b＝－eq \f(3,2)，所以f(x)＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋5.
(4)因为2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，①
所以将x用eq \f(1,x)替换，得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x)，②
由①②解得f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)，
即f(x)的解析式是f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)．
(5)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，
∴f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
名师点拨 MING SHI DIAN BO
求函数解析式的五种方法
〔变式训练1〕
(1)已知f(cs x)＝sin2x，则f(x)＝1－x2，x∈[－1，1]．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x(x∈R)．
(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－eq \f(x（x＋1）,2).
[解析] (1)(换元法)设cs x＝t，t∈[－1，1]，
∵f(cs x)＝sin2x＝1－cs2x，
∴f(t)＝1－t2，t∈[－1，1]．
即f(x)＝1－x2，x∈[－1，1]．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq \f(1,2).
所以f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x(x∈R)．
(3)(转换法)当－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，
故f(x＋1)＝(x＋1)(1－x－1)＝－x(x＋1)，又f(x＋1)＝2f(x)，
所以当－1≤x≤0时，f(x)＝－eq \f(x（x＋1）,2).
考点二 分段函数及应用——多维探究
角度1 分段函数求值问题
例3 (2020·山西太原期中)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≥2，,f（x＋1），x<2，))则f(lg23)＝( A )
A．eq \f(1,6) B．3
C．eq \f(1,3) D．6
[解析] 解法一：∵函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≥2，,f（x＋1），x<2，))
∴f(lg23)＝f(lg23＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(lg23＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(lg\f(1,2)\f(1,3))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6).故选A．
解法二：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg23))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg23＋1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg26))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(lg26)＝eq \f(1,6).故选A．
角度2 分段函数与方程的交汇问题
例4 设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin（πx2），－1[解析] 由于f(1)＝e1－1＝1，再根据f(1)＋f(a)＝2得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，解得a＝1；当－1角度3 分段函数与不等式的交汇问题
例5 (2018·全国Ⅰ，12)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
[解析]
画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知：
①当x＋1≥0且2x≥0，即x≥0时，f(2x)＝f(x＋1)，不满足题意；
②当x＋1>0且2x<0，即－1③当x＋1≤0时，x≤－1，此时2x<0，若f(x＋1)2x，解得x<1.故x≤－1.
综上所述，x的取值范围为(－∞，0)．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
分段函数问题的求解策略
(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．
(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．
〔变式训练2〕
(1)(角度2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋1，x<2，,x2＋ax，x≥2，))若feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))))＝－6，则实数a的值为－5，f(2)＝－6．
(2)(角度1)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs \f(πx,2)，x≤0，,f（x－1）＋1，x>0，))则f(2)＝3．
(3)(角度3)函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)≤a，则实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
[解析] (1)由题意得，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝3·eq \f(2,3)＋1＝3，
所以feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))))＝f(3)＝9＋3a＝－6，
所以a＝－5，f(2) ＝4－5×2＝－6.
(2)f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)×0))＋2＝1＋2＝3.
(3)当a≥0时，由f(a)＝eq \f(1,2)a－1≤a，解得a≥－2，所以a≥0；当a<0时，由f(a)＝eq \f(1,a)≤a，解得－1≤a≤1且a≠0，所以－1≤a<0.综上所述，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
数学抽象——函数新定义问题中的核心素养
例6 设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝eq \f(1,x－1)；③f(x)＝ln(2x＋3)；
④f(x)＝2x－2－x；⑤f(x)＝2sin x－1.
其中是“美丽函数”的序号有②③④．
[解析] 由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数的值域为R，值域关于原点对称，故④符合题意；⑤中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故⑤不符合题意．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．
〔变式训练3〕
定义a☆b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·b，a·b≥0，,\f(a,b)，a·b<0，))设函数f(x)＝ln x☆x，则f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( D )
A．4ln 2 B．－4ln 2
C．2 D．0
[解析] 解法一：2×ln 2>0，所以f(2)＝2×ln 2＝2ln 2.因为eq \f(1,2)×ln eq \f(1,2)<0，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(ln \f(1,2),\f(1,2))＝－2ln 2.则f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2ln 2－2ln 2＝0.
解法二：f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xln x x>1,\f(ln x,x) 0∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2ln 2＋eq \f(ln \f(1,2),\f(1,2))＝2ln 2－2ln 2＝0.
函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应
名称
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射