高三数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第三课时导数与函数的极值、最大(小)值学案

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1．函数的极值
(1)函数的极小值：
若函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，则a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)函数的极大值：
若函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
2．对极值的诠释
(1)极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小；
(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3．求函数f (x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x);
(2)求方程f ′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格，检查f ′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值；如果左、右不改变符号即都为正或都为负，则f (x)在这个根处无极值．
[典例1] (1)已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f ′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．
①当x＝32时函数取得极小值；
②f (x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
(2)(2023·四川成都统考二模)函数f (x)＝13x3－x2＋1的极大值为________．
(3)(2023·吉林延边统考二模)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝3处有极小值，则c的值为________．
(1)① (2)1 (3)3 [(1)由图象可知，当x∈(－∞，1)时，f ′(x)>0；
当x∈(1，2)时， f ′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0．
所以函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
f (x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．
故答案为：①．
(2)因为f (x)＝13x3－x2＋1，所以x∈R，
所以f ′(x)＝x2－2x＝x(x－2)，
所以在(－∞，0)，(2，＋∞)上，f ′(x)>0，f (x)单调递增；
在(0，2)上，f ′(x)<0，f (x)单调递减．
所以f (x)在x＝0处取得极大值：
f (0)＝13×03－02＋1＝1．
故答案为：1．
(3)因为f (x)＝x(x－c)2，
所以f ′(x)＝(x－c)(3x－c)，
又因为函数f (x)＝x(x－c)2在x＝3处有极小值，
所以f ′(3)＝(3－c)(9－c)＝0，解得c＝3或c＝9，
当c＝3时，f ′(x)＝(x－3)(3x－3)，
所以x>3时，f ′(x)>0，1所以函数f (x)在x＝3处取得极小值；
当c＝9时，f ′(x)＝(x－9)(3x－9)，
所以30，
所以函数f (x)在x＝3处取得极大值，不合题意，舍去，故答案为：3．]
本例(1)判别f (x0)是极大、极小值的方法：
若x0满足f ′(x0)＝0，且在x0的两侧f (x)的导数异号，则x0是f (x)的极值点，f (x0)是极值，并且如果f ′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f (x)的极大值点，f (x0)是极大值；如果f ′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f (x)的极小值点，f (x0)是极小值．本例(3)要注意根据极值点处导数为0求解后验证根的合理性．
【教师备用】
已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝12时，求f (x)的极值；
(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数．
[解] (1)当a＝12时，f (x)＝ln x－12x，x>0，f ′(x)＝1x－12＝2-x2x，
令f ′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表．
故f (x)在定义域上的极大值为f (x)极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)由(1)知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x－a＝1-axx．
当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，若x∈0，1a，则f ′(x)>0，
若x∈1a，+∞，则f ′(x)<0，故函数在x＝1a处有极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值点；当a>0时，函数y＝f (x)有一个极大值点．
跟进训练1 (1)(多选)如果函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f (x)的判断正确的是( )
A．在区间(2，4)内单调递减
B．在区间(2，3)内单调递增
C．x＝－3是极小值点
D．x＝4是极大值点
(2)(2024·阜新模拟)已知函数f (x)＝x3＋f'25x2－9x，则f (x)的极大值为( )
A．－3 B．1
C．27 D．－5
(3)若函数f (x)＝x3－3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围为________．
(1)BD (2)C (3)(0，1) [(1)A．函数y＝f (x)在区间(2，4)内f ′(x)>0，则函数单调递增，故A错误；
B．函数y＝f (x)在区间(2，3)的导数f ′(x)>0，
则函数y＝f (x)在区间(2，3)上单调递增，故B正确；
C．由图象知当x＝－3时，函数f ′(x)取得极小值，但是函数y＝f (x)没有取得极小值，故C错误；
D．x＝4时，f ′(x)＝0，当20，函数y＝f (x)单调递增，当x>4时，f ′(x)<0，此时函数y＝f (x)单调递减，则函数y＝f (x)有极大值，x＝4是极大值点，故D正确．故选BD．
(2)∵f (x)＝x3＋f'25x2－9x，
∴f ′(x)＝3x2＋2f'25x－9，
∴f ′(2)＝12＋45f ′(2)－9，解得f ′(2)＝15，
∴f (x)＝x3＋3x2－9x，f ′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，
∴当x<－3或x>1时，f ′(x)>0；
当－3∴f (x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，
∴当x＝－3时，f (x)取得极大值27．
故选C．
(3)由f (x)＝x3－3ax＋1可得f ′(x)＝3x2－3a，当a≤0时，f ′(x)＝3x2－3a>0恒成立，所以f (x)在(0，1)上单调递增，无极值；
当a>0时，令f ′(x)＝3x2－3a>0，可得x>a或x<－a；
令f ′(x)＝3x2－3a<0，可得－a0时，f (x)＝x3－3ax＋1在x＝a处取得极小值，
若函数f (x)＝x3－3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则0考点二 利用导数求函数的最值
1．函数的最大(小)值
(1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[典例2] (2021·北京卷)已知函数f (x)＝3-2xx2+a．
(1)若a＝0，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若函数f (x)在x＝－1处取得极值，求f (x)的单调区间，以及其最大值与最小值．
[解] (1)当a＝0时，f (x)＝3-2xx2，∴f (1)＝1，
又f ′(x)＝2x-6x3，故f ′(1)＝－4，故曲线y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程为y＝－4(x－1)＋1，即4x＋y－5＝0．
(2)由题意得f ′(x)＝2x2-6x-2ax2+a2，且f ′(－1)＝0，故8－2a＝0，解得a＝4，
故f (x)＝3-2xx2+4，x∈R，f ′(x)＝2x2-6x-8x2+42＝2x+1x-4x2+42，
令f ′(x)>0，解得x>4或x<－1；令f ′(x)<0，解得－1故函数f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)．
所以f (x)的极大值为f (－1)＝1，f (x)的极小值为f (4)＝－14．
又当x∈(－∞，－1)时，3－2x>0，故f (x)>0；
当x∈(4，＋∞)时，3－2x<0，故f (x)<0，
∴f (x)max＝f (－1)＝1，f (x)min＝f (4)＝－14．
(1)当a＝0时，求出f (1)与f ′(1)的值，再写出切线方程；(2)由f ′(－1)＝0求出a的值，再通过导函数的符号求出f (x)的单调区间和最值．
跟进训练2 设函数f (x)＝ln (2x＋3)＋x2．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)求f (x)在区间-34，14的最大值和最小值．
[解] (1)函数f (x)＝ln (2x＋3)＋x2的定义域为-32，+∞，
又f ′(x)＝22x+3＋2x＝4x+12x+12x+3x>-32．
令f ′(x)>0，解得x>－12或－32令f ′(x)<0，解得－1所以函数f (x)在-32，-1，-12，+∞上单调递增；在-1，-12上单调递减．
(2)由(1)可得：函数f (x)在区间-34，-12内单调递减，在-12，14内单调递增．
所以当x＝－12时，函数f (x)取得最小值f -12＝14＋ln 2，
又f -34＝916＋ln 32，f 14＝116＋ln 72，
而f -34－f 14＝916＋ln 32－116－ln 72
＝12＋ln 37＝121-ln499<0，
所以当x＝14时，函数f (x)取得最大值为116＋ln 72．
即f (x)在区间-34，14上的最大值为116＋ln 72，最小值为14＋ln 2．
课后习题(十六) 导数与函数的极值、最大(小)值
1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [由题意知在x＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f (x)在x＝－1左减右增，f (x)在x＝－1处取得极小值．故选A．]
2．(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)函数f (x)＝2x－x ln x的极大值是( )
A．1eB．2e
C．e D．e2
C [f ′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x．令f ′(x)＝0，得x＝e．当0＜x＜e时，f ′(x)＞0；当x＞e时，f ′(x)＜0．所以x＝e时，f (x)取到极大值，f (x)极大值＝f (e)＝e．]
3．(人教A版选择性必修第二册P104T9改编)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( )
A．4 B．2或6
C．2 D．6
C [函数f (x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝3x2－4cx＋c2．
由题意知，f (x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6．
又函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正．当c＝2时，f (x)＝x(x－2)2的导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，即在x＝2处有极小值．而当c＝6时，f (x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值．故c＝2．]
4．(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)若函数f (x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．
4 [f ′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f ′(x)<0，当x∈(2，3]时，f ′(x)>0，所以f (x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f (0)＝m，f (3)＝－3＋m．所以在[0，3]上，f (x)max＝f (0)＝4，所以m＝4．]
5．(2023·巴蜀中学一模)设函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(x＋1)f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．函数f (x)有极大值f (－3)和f (3)
B．函数f (x)有极小值f (－3)和f (3)
C．函数f (x)有极小值f (－3)和极大值f (3)
D．函数f (x)有极小值f (3)和极大值f (－3)
C [由题图可知，当x＜－3时，x＋1＜0，则f ′(x)＜0，
当－3＜x＜－1时，x＋1＜0，则f ′(x)＞0，
当－1＜x＜3时，x＋1＞0，则f ′(x)＞0，
当x＞3时，x＋1＞0，则f ′(x)＜0，
所以函数f (x)有极小值f (－3)和极大值f (3)．故选C．]
6．(多选)(2023·山西运城统考三模)已知函数f (x)＝e2x－2ex－12x，则下列说法正确的是( )
A．曲线y＝f (x)在x＝0处的切线与直线x＋12y＝0垂直
B．f (x)在(2，＋∞)上单调递增
C．f (x)的极小值为3－12ln 3
D．f (x)在[－2，1]上的最小值为3－12ln 3
BC [因为f (x)＝e2x－2ex－12x，
所以f ′(x)＝2e2x－2ex－12＝2(ex－3)(ex＋2)，
所以f ′(0)＝－12，故A错误；
令f ′(x)>0，解得x>ln 3，所以f (x)的单调递增区间为(ln 3，＋∞)，
而(2，＋∞)⊆(ln 3，＋∞)，所以f (x)在(2，＋∞)上单调递增，故B正确；
当x所以f (x)的极小值为f (ln 3)＝3－12ln 3，故C正确；
f (x)在[－2，1]上单调递减，所以最小值为f (1)＝e2－2e－12，故D错误．
故选BC．]
7．(2023·陕西宝鸡二模)函数f (x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为( )
A．-32，2B．-32，2
C．-43，2D．-43，1
A [f ′(x)＝2x＋(a－1)－3x＝2x2+a-1x-3x，
设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24＞0，因此g(x)＝0有两个不同实根，
又g(0)＝－3＜0，因此g(x)＝0的两根一正一负，
由题意正根在(1，2)内，
所以g1=2+a-1-3＜0，g2=8+2a-1-3＞0，
解得－32＜a＜2．故选A．]
8．(2024·苏州模拟)函数f (x)＝－13x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是____________．
[－2，1) [由于f ′(x)＝－x2＋1，易知f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，
故若函数f (x)在(a，10－a2)上存在最大值，则a<1，10-a2>1，f1≥fa，即－2≤a<1．]
9．求函数f (x)＝12x2－ln x的极值．
[解] f (x)＝12x2－ln x，x∈(0，＋∞)，
f ′(x)＝x－1x＝x+1x-1x，令f ′(x)＝0，得x＝1．
当f ′(x)<0时，x∈(0，1)；当f ′(x)>0时，x∈(1，＋∞)．
所以f (x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．
故f (x)不存在极大值；存在极小值，且极小值为f (1)＝12．
10．(2024·安徽安庆模拟)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．
(1)若函数f (x)在x＝1处有极值10，求b的值；
(2)在(1)的条件下，求f (x)在区间[0，2]上的最值．
[解] (1)f (x)的定义域为R，
f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得f ′(1)＝3＋2a＋b＝0，
且f (1)＝1＋a＋b＋a2＝10，解得a＝4或a＝－3．
当a＝4时，b＝－11，
此时f ′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
故当－113＜x＜1时，f ′(x)＜0，
当x＜－113或x＞1时，f ′(x)＞0，
所以f (x)在x＝1处取得极小值，满足要求．
当a＝－3时，b＝3，此时f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故x＝1不是函数f (x)的极值点，舍去．
综上，b＝－11．
(2)由(1)可知f (x)＝x3＋4x2－11x＋16，f ′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
由(1)知，f (x)在区间[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，
所以f (x)在x＝1处取得极小值，也是最小值，且f (1)＝1＋4－11＋16＝10，
又f (0)＝16，f (2)＝8＋16－22＋16＝18，18＞16，
故f (x)的最小值为10，最大值为18．x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
f (x)

ln 2－1
