考点26 平面向量的数量积及平面向量的应用10种常见考法归类（解析版）

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考点26 平面向量的数量积及平面向量的应用10种常见考法归类


考点一 平面向量的数量积运算
（一）定义法
（二）基底法
（三）坐标法
（四）投影法
（五）极化恒等式法
考点二 平面向量的数量积的最值问题
考点三 平面向量数量积的应用
考点四 平面向量的垂直问题
考点五 平面向量的模长问题
（一）求向量的模
（二）求模的最值
（三）已知模求参数
考点六 平面向量的夹角问题
考点七 平面向量的投影、投影向量
（一）求向量的投影
（二）求向量的投影向量
考点八 平面向量与三角形“四心”
考点九 平面向量与其他知识的交汇
考点十 平面向量的应用


1. 向量的数量积

(1)向量数量积的定义
①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)向量的投影

①定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
(3)平面向量数量积的几何意义
的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
(4)向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝|a|cosθ.
注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量.
②a⊥b⇔a·b＝0.
注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 　
注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.
④．
注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.
⑤．
注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.
(5)向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
①a·b＝b·a；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(6)数量积的坐标表示
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模


数量积


夹角


的充要
条件


的充要
条件


与
的关系
(当且仅当时等号成立)

(7)数量积的有关结论
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.
2. 向量数量积的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且
3. 计算向量数量积的五种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
(4)投影法：在方向上的投影：
在方向上的投影：
所以
使用条件：已知向量的一个模，未知的向量在已知向量上做投影
（5）极化恒等式
平面向量数量积的运算律：
①
②
（1） 两式相加，有
即，其几何表示为：在平行四边形中，，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。

（2） 两式相减：
即①-②得：，
上式就是极化恒等式，转化为平行四边形模式如下：，表述了数量积可转化为可度量的平行四边形对角线的长度运算。它的几何意义是：向量的数量积可以表示为这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一倍。
进一步思考，可将数量积直接转化为三角形的中线长来运算，可得极化恒等式的三角形模式。
在中，为中点，则有

极化恒等式——最显著的特征是两个向量必须能够转化为同起点的向量，它揭示了三角形的中线与边长的关系，搭起了向量与数量之间的桥梁，实现了向量与代数、几何的完美结合．
使用极化恒等式求数量积最值的方法总结：①把两个向量转化为同起点向量；②构建三角形，取连接两向量终点的线段的中点，把数量积的最值转化为某个向量模的最值；③利用题目中的特殊条件找到动点的最佳位置，进而求最值.
4. 如何建立数量积问题与有效方法的对应关系？——“剪刀手”模型
情况一：三个要素都缺失，一问三不知——转基底
总结：将两个未知向量之间的数量积运算转化为两个确定模长和夹角的基底之间的四则运算
情况二：知道一个向量，知道一个手指长——转投影
总结：知道模长的那个向量就是地平线，学会做投影。
情况三：知道指尖连线长——转极化
总结：三角形模型：已知中线长或底边长
情况四：啥都不定可建系——转坐标
总结：建系只是选取了轴作为基底向量，用坐标运算而已
坐标化通过计算可以弥补向量和几何的缺失，但是运算上损失的时间在在考试上也自然会体现出来。
5.平面向量垂直问题的类型及求解方法
(1)判断两向量垂直
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两向量垂直求参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
6.平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝.
②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．
7.向量夹角问题的解答方法：
（1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
（2）两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
（4）求向量的夹角有两种方法：
①定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得．
②公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]．
（5）已知向量夹角为锐角或钝角，求参数
①向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线（同向）．
②向量a，b的夹角为钝角⇔a·b