考点24 解三角形12种常见考法归类（解析版）

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考点24 解三角形12种常见考法归类


考点一 利用正弦、余弦定理解三角形
（一）求边或角
（二）判断三角形解的个数
考点二 正弦定理的应用
考点三 余弦定理的应用
考点四 判断三角形的形状
考点五 正余弦定理的综合应用
考点六 与角度、边长有关的最值问题
考点七 三角形面积的计算及应用
（一）求三角形的面积
（二）已知三角形面积求边、角
（三）三角形面积的最值问题
考点八 三角形周长的计算及应用
（一）求三角形的周长
（二）三角形周长的最值问题
考点九 解三角形的实际应用
（一）测量距离问题
（二）测量高度问题
（三）测量角度问题
（四）其他实际问题
考点十 正、余弦定理解决几何问题
考点十一 解三角形与三角函数的综合问题
考点十二 解三角形与平面向量的综合问题

1. 正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则

正弦定理
余弦定理
文字
语言
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
公式
＝＝.
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
常见
变形
(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.
(5)大边对大角 大角对大边

(6)合分比：

(1) cosA＝，
cosB＝，
cosC＝.
(2) ，
，

2. 三角形内角和及三角形常见重要关系
(1)内角和定理：，进而有＝－等式子
(2)三角函数关系：①
同理有：，.
②；
③斜三角形中，
④；
(3) 等差关系：若三角形三内角A，B，C成等差数列，则B＝，A＋C＝；若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c⇔2sinB＝sinA＋sinC.
(4)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．
(5)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：＝.

3. 三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高).
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
(3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
(4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长.
(5)其中

4．正弦定理、余弦定理的作用
正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
（1）已知两角及任意一边解三角形
①正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
②因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
（2）已知两边及其中一边的对角解三角形
①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；
②用三角形内角和定理求出第三个角；
③根据正弦定理求出第三条边.
其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值.
（3）解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式





解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
（4）利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．
(2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
（5）利用正、余弦定理解三角形的注意点
正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　
（6）当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形.

5．判断三角形形状的2种途径

判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.
(1)利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
①化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)；＝，＝，＝；
②化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：
sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)；＝，＝，＝.
(2)利用余弦定理判断三角形形状的方法
①利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
②判断三角形的形状时，经常用到以下结论
△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2