26，安徽省六安第二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份26，安徽省六安第二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了 已知，，则的值为， 下列各式中值为1的是等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 分值：150分 命题人：葛晓宇 审题人：张全
注意事项或温馨提示
1.考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上.
3.请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损.
一、单项选择题：本大題共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将改写为，根据终边相同角的定义即可求解.
【详解】因为，所以角与角终边相同.
故选：C
2. 已知函数则（ ）
A. 5B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的要求，按段代入求值即可.
【详解】由可得：，
故选：B.
3. 已知扇形的周长为4，圆心角为弧度数2，则扇形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设扇形的半径为，弧长为，由扇形的弧长公式结合扇形的周长可求得的值，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积．
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的周长为，可得，所以，，故该扇形的面积为．
故选：A.
4. 若a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的性质，结合充分必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，取，则，即充分性不成立；
当时，有，则，故，
所以，即，即必要性成立；
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算相遇时间，再确定转过的角度，结合三角函数的定义即可求解.
【详解】相遇时间为秒，
故转过的角度为，
其对应的坐标为，即.
故选：C
6. 已知函数是函数的反函数，函数的零点为，且（）则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据反函数的定义可得，进而得，结合函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由题意知，，则，
所以函数在上单调递增，
又，
所以，即.
故选：B
7. 已知，，则的值为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数之间关系化简得，再利用两角差的余弦公式得，最后再利用两角和的余弦公式即可得到答案.
【详解】,且,
则
整理得：,
则，
整理得,
所以
故选：D.
8. 已知函数，若对于定义域内任意，总存在，使得，则满足条件的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件可知函数在定义域内无最小值，令，从而得到函数在定义域内无最小值或，即可求出实数的取值范围.
【详解】由题意当或时，函数无意义，所以，
因为对于定义域内任意，总存在，使得，
所以函数定义域内无最小值，
令，
则函数在定义域内无最小值或，
因为当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各式中值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据对数的运算性质判断A；根据分数指数幂的运算判断B；根据二倍角的余弦公式和诱导公式判断CD.
【详解】A：，故A符合题意；
B：，故B符合题意；
C：，故C符合题意；
D：，故D不符合题意.
故选：ABC
10. 南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（ ）
A. ，是一个函数B. 当时，
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题中定义逐项分析判断.
【详解】对于选项A：对于任意，均存在唯一的与之对应，
符合函数的定义，可知，是一个函数，故A正确；
对于选项BC：因为，故B错误，C正确；
对于选项D：由定义可知，故D正确；
故选：ACD.
11. 对任意正实数，记函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则的所有可能值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据和函数图像，对a分类讨论求解即可.
【详解】和的图像如图：
当时，则，，
可得，解得；
当时，则，
可得，解得；
综上所述：或.
故选：AD .
12. 已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的一个周期是
C. 的最大值为D. 是区间上的增函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用诱导公式证明，结合对称性的定义可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用复合函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，
，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，
，
所以的一个周期是，故B正确；
对于C，，所以的最大值为，
当时，，取得最大值，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，在上单调递增，且，
则在上单调递增，
在上单调递减，且，
根据复合函数的单调性易知，在上单调递增，
所以是区间上的增函数，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握函数对称性及周期性的判定及三角函数的图象与性质.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知集合，，若，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出集合，，由且，从而可求解.
【详解】由题意得，，
因为且，所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
14. 函数（且）的图象都过定点P，且点P在角的终边上，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意先求出定点，然后结合三角函数定义即可得解.
【详解】因为，所以令，得，且此时，即点，
所以.
故答案为：.
15. 如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点A到，的距离分别为3，4.点是直线上异于点的一动点，作，且使与直线交于点.则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设，可得，，利用三角函数的性质即可求出.
【详解】设,，则在中，，，所以，
在中，，，所以，
所以，其中，
所以的最大值为.
故答案为：.
16. 安徽省六安第二中学始建于1923年，悠悠历史翻开新篇：2023年，六安二中迎来百年校庆——百年二中，桃李芬芳；海峰传人，扬帆起航.2023年12月29日在海峰堂举行了盛大的百年校庆庆典活动，若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，，不等式恒成立，且，设为“海峰函数”，则满足“海峰函数”的的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解.
【详解】因为函数在上单调递增，，
则，即，
由，得，即，
又因为函数在上单调递增，因此，
所以函数在上单调递减，
而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且，
由及，得，
因此或，
对于，可得：
当时，，，此时不等式组无解；
当时，，，不等式组的解为；
当时，，，则有，解得，即；
因此不等式组的解为；
对于，由，得，则，不等式组无解；
所以“海峰函数”的x的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤.
17. 已知，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）由，求出集合，利用集合的并集运算从而可求解.
（2）由题意可知集合是集合的真子集，再分类讨论，从而可求解.
【小问1详解】
由题意知，当，得，
因为，所以.
【小问2详解】
由“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
当时，即，解得；
当时，即，解得
综上实数的取值范围为.
18. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数解析式；
（2）将图象上所有点先向右平移个单位长度，再将纵坐标变为原来的2倍，得到函数，求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数图像最大值得，利用周期算，代图像上的点计算，得函数的解析式；
（2）由函数图像的变换求的解析式，由函数定义区间，利用解析式和正弦函数的性质求值域.
【小问1详解】
由图形可得，，解得，
∵过点，∴，即，
∴．又∵，∴．
∴．
【小问2详解】
解：由（1）知，
将图像上所有点向右平移个单位长度，再将纵坐标变为原来的2倍，
得到，
∵，∴，∴
∴
所以的值域为
19. 六安瓜片是中国历史茗茶、中国十大名茶之一，属于极品绿茶，口感极好.冲泡后的六安瓜片，汤色青绿明亮，味道醉厚，回甘悠长，带有飘逸的兰花香，瓜片的口感与水的温度有关.经验表明，六安瓜片用90℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的瓜片达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测一次茶水温度，温度随时间变化的数据如下：
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：①（，，），②（，，）.
（1）上述两种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式：
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的瓜片达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.
（参考数据：，）
【答案】19. 选，理由见解析，
20.
【解析】
【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式.
（2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
【小问1详解】
根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，
所以选①，
则，解得，
所以.
【小问2详解】
由，得，
两边取以10为底的对数得，
.
答：最佳饮用口感的放置时间为.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，且，求的值.
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数诱导公式及二倍角公式并结合辅助角对函数化简得，再利用整体代换法即可求解单调递增区间，从而可求解.
（2）由（1）可得，由可得，又因为，从而可求解.
【小问1详解】
由
，
当，，
即，时单调递增，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
由，即，
又因为，所以，所以，
所以
，
故.
21. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数，双曲余弦函数：.
（1）求的值；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意直接求出的值，即可证明；
（2）由（1），，令，利用换元法可得，结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由题意，，
则，
所以的值为1.
【小问2详解】
由（1）可知：，
则，
令，则，当且仅当时取等，
可得，
又函数在上单调递增，故，
故的值域为，即的值域为.
22. 已知函数在上为奇函数，，.
（1）求实数值；
（2）若对任意，，不等式都成立，求正数的取值范围.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意有，可得，由此求得的值；
（2）结合（1）可得，进而可知函数的单调性,将原不等式问题转为对任意，，有的恒成立问题，再根据，，代入即可得到，进而可求出正数的取值范围．
【小问1详解】
由函数在R上奇函数，则有，
即，
所以，又，得．
【小问2详解】
由（1）知，
又，令，在单调递增，
所以，在单调递减，又因为在R上为奇函数，，
且，所以函数在R上是减函数．
由对任意，，不等式都成立，
即对任意，，不等式都成立，
又函数在R上是减函数，
所以，
即
又，则，所以，
又，则，所以，
所以，即，解得．
综上，正数的取值范围．
【点睛】关键点睛：第二小问解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到t的范围．放置时间/
0
1
2
3
4
茶水温度/℃
90.00
84.00
78.62
73.75
69.39