考点11 幂函数与二次函数6种常见考法归类（解析版）

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考点11 幂函数与二次函数6种常见考法归类


考点一 幂函数的定义及其应用
考点二 幂函数的定义域和值域
考点三 幂函数的图象及应用
（一）依据图象高低判定幂指数大小
（二）图象的识别
（三）幂函数图象过定点问题
考点四 幂函数的性质及其应用
（一）由幂函数的单调性求参数
（二）由幂函数的单调性解不等式
（三）由幂函数的单调性比较大小
（四）幂函数奇偶性的应用
（五）幂函数的单调性和奇偶性的综合应用
（六）幂函数性质的综合应用
考点五 幂函数的综合问题
考点六 二次函数的图象与性质
（一）二次函数的图象
（二）二次函数的单调性
（三）二次函数在闭区间上的最值
（四）二次方程根的分布
（五）二次函数中的恒成立问题



1、 幂函数的判断及应用
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等函数都不是幂函数。2、常见的幂函数图像及性质
函数





图象





定义域





值域





奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点

3、 幂函数的图象及应用
（1）幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
（2）要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：
①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
②任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限．
③当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象上抛；当0<α<1时，幂函数的图象右抛．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
注：幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
⑤在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．

4、形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断
形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.

5、解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

6、二次函数及其应用
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：；
②顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
③零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
(2)二次函数的图象与性质：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：
①对称轴：x＝－.
②顶点坐标：.
③开口方向：a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下.
④值域：a＞0时，y∈；a＜0时，y∈ . 　
⑤单调性：①当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.
⑥与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
7、二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值. 它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值. 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动. 不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.

8、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

9、 一元二次方程根的分布
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示.
根的分布
(m＜n＜p且m，
n，p均为常数)　
图象
满足的条件
x1＜x2＜m


m＜x1＜x2


x1＜m＜x2

f(m)<0.
m＜x1＜x2＜n


m＜x1＜n＜x2＜p


m

只有一根
在区间(m，n)内

f(m)f(n)<0


考点一 幂函数的定义及其应用
1．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为___________．
2．【多选】（2023秋·高三单元测试）已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（    ）
A．1 B．-2 C．3 D．-4
3．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（    ）
A．2 B． C． D．
考点二 幂函数的定义域和值域
4．（2023·全国·高三专题练习）下列函数定义域为的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·上海·高三专题练习）函数的定义域为_______．
6．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数的图象过点，则的值域为____________．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则函数值域是（    ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数.
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若，都有成立，求实数的取值范围.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
考点三 幂函数的图象及应用

（一）依据图象高低判定幂指数大小
12．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ）

A． B． C． D．
13．（2023秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ）

A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
14．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ）

A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
（二）图象的识别
15．（2023秋·广东·高三统考学业考试）函数的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）函数的大致图象是（    ）
A． B．
C． D．
17．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
18．（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）函数的图像大致是（    ）
A． B．
C． D．
19．【多选】（2023秋·辽宁·高三校联考期中）函数的大致图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
（三）幂函数图象过定点问题
20．（2023秋·河南开封·高三校考阶段练习）函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝________.
21．（2023·全国·高三专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；
22．（2023秋·福建漳州·高三校考阶段练习）已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为____________
考点四 幂函数的性质及其应用
（一）由幂函数的单调性求参数
23．（2023秋·高三课时练习）幂函数在上单调递减，则实数的值为_______
24．（2023春·四川广安·高三校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增．
(1)求m的值及函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值．
25．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ）
A． B． C． D．
（二）由幂函数的单调性解不等式
26．（2023·全国·高三专题练习）若，试求的取值范围.
27．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
28．（2023·全国·高三专题练习）满足的实数m的取值范围是（    ）.
A． B．
C． D．
29．（2023·贵州毕节·统考二模）已知，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
（三）由幂函数的单调性比较大小
30．（2023·天津·一模）已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
31．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系是（   ）
A． B． C． D．
32．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（    ）
A． B． C． D．
33．（2023春·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
34．【多选】（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（    ）
A． B．
C． D．
（四）幂函数奇偶性的应用
35．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域是且为偶函数的是（    ）
A． B． C． D．
36．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．
37．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
38．（2023·全国·高三专题练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ）
A．或 B．或 C．或 D．、或
39．（2023·全国·高三专题练习）设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（五）幂函数的单调性和奇偶性的综合应用
40．（2023·全国·高三专题练习）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.

41．（2023·全国·高三专题练习）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.
42．（2023·全国·高三专题练习）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
43．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．
44．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（    ）
A． B． C． D．
45．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（    ）
A．8 B．4 C．2 D．1
46．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
（六）幂函数性质的综合应用
47．【多选】（2023秋·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校考期末）若幂函数的图象过，下列说法正确的有（    ）
A．且 B．是偶函数
C．在定义域上是减函数 D．的值域为
48．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则（    ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
49．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
考点五 幂函数的综合问题
50．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.
51．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
52．（2023·全国·高三专题练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
53．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（    ）
A．， B．，
C．， D．，
54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
55．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，
（1）当时，求的值域；
（2）若对，成立，求实数的取值范围；
（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．
考点六 二次函数的图象与性质
（一）二次函数的图象
56．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（    ）
A． B．
C． D．
57．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
58．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（    ）

A． B．
C． D．
59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
（二）二次函数的单调性
60．（2023·全国·高三专题练习）“函数在区间上不单调”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
61．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（    ）
A． B．
C． D．
62．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
63．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（　 ）
A． B．
C． D．
64．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
65．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围________.
66．（2023·河北·高三学业考试）已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
（三）二次函数在闭区间上的最值
67．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最大值为．求的解析式；
68．（2023·全国·高三专题练习）当时，求的最大值（a为常数，结果可用a来表示）．
69．（2023·高三课时练习）求函数，的最小值.
70．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
71．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间，上的最大值．
72．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求的最大值；
(2)若的最大值为，求的最小值．
（四）二次方程根的分布
73．（2023春·河北保定·高三河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
74．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
75．（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
76．（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
77．（2023·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
78．（2023·全国·高三专题练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
（五）二次函数中的恒成立问题
79．（2023·全国·高三专题练习）已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________.
80．（2023春·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）“”是“对任意的正数，恒成立”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
81．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（a，且），．
(1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；
(2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围．