考点07 函数的单调性与最值4种常见考法归类（解析版）

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考点07 函数的单调性与最值4种常见考法归类


考点一 确定函数的单调性
（一）判断函数的单调性
（二）用定义证明函数的单调性
（三）求函数的单调区间
考点二 函数单调性的应用
（一）利用单调性比较大小
（二）利用函数的单调性解抽象不等式
（三）利用函数的单调性求参数的取值范围
（1）分式函数
（2）二次函数
（3）三次函数
（4）对数函数
（5）分段函数
（6）与绝对值有关的单调性问题
考点三 函数的最值问题
（一）利用函数单调性求最值
（二）根据函数最值求参数
（三）函数不等式恒成立问题
（四）函数不等式有解问题
考点四 抽象函数的单调性问题


1、函数单调性的判断方法：
（1） 定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
具体如下：设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，记Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么
①＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零.
②增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
（2）性质法：
①当常数c>0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相同；当常数c<0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相反，特别地，函数y＝－f(x)与y＝f(x)的单调性相反.
②当y＝f(x)恒为正或恒为负时，y＝与y＝f(x)的单调性相反.
③若c为常数，则函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋c的单调性相同.
④若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有
1） 为增函数，2）为增函数，3）为减函数，4）为减函数。
⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减函数)；若f(x)<0且g(x)<0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.
⑥奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.



增函数
减函数
增函数
减函数

增函数
减函数
减函数
增函数

随着的增大而增大
随着的增大而增大
随着的增大而减小
随着的增大而减小
增函数
增函数
减函数
减函数
（5）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
对于函数y＝f(x)，如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某个区间上f′(x)＜0，那么f(x)在该区间上单调递减.
2、函数单调性的应用
（1）比较大小．比大小常用的方法是利用单调性比大小；‚搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；ƒ数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。比较函数值的大小，常由函数的奇偶性、周期性等，将自变量转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性，通过比较自变量的大小来比较其函数值大小.
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：
第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；
第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M) 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；
第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
注：自变量的大小关系和函数值的大小关系可正逆互推，即若f(x)是增(减)函数，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2). 在解函数不等式时，可以利用函数单调性的“可逆性”，“脱去”函数符号f，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行.
（3）利用函数单调性求参数的取值范围．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，
注意：“单调区间”与“在区间上单调”的区分
(1)函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．(2)单调区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间．
3、求函数最值(值域)的五种常用方法及注意点
(1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
注：(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域；
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．　
4、函数最值的重要结论
(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m.
(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.
5、抽象函数的单调性
（1）所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法．
（2）一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用题设条件将它用f(x1)与f(x2－x1)表示出来，然后利用题设条件确定f(x2－x1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x2)与f(x1)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x2)＝f(x1·)即可．
6、常见抽象函数及其原型
(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋m，原型为一次函数f(x)＝kx＋b.
(2)f(x＋y)＝f(x)·f(y)，原型为f(x)＝ax(a>0，且a≠1).
(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)，原型为f(x)＝logax(a>0，且a≠1).
(4)f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)(f(0)≠0)，原型为f(x)＝cosx.


考点一 确定函数的单调性
（一）判断函数的单调性
1．（2023·四川·高三统考对口高考）在定义域内单调递减的函数是（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·统考二模）下列函数在区间上单调递增的是（    ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）下列各项中，既是奇函数，又是增函数的为（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·北京·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
5．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为（    ）
A． B．
C． D．
6．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（    ）
A．是偶函数且是增函数 B．是偶函数且是减函数
C．是奇函数且是增函数 D．是奇函数且是减函数
（二）用定义证明函数的单调性
7．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知函数.
(1)求的解析式;
(2)判断并证明函数在上的单调性.
8．（2023·全国·高三阶段练习）已知奇函数的定义域为
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)当时，恒成立，求的取值范围．
9．（2023·高三课时练习）已知函数（）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)用定义证明函数在上是严格增函数；
(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.
（三）求函数的单调区间
10．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高三校考开学考试）如图是函数的图象，则函数的减区间是（    ）

A． B． C． D．
11．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）函数的单调递增区间为（    ）
A． B．
C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（    ）
A． B． C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（    ）
A． B． C． D．
15．（2023·河北·高三统考学业考试）已知函数．关于函数的单调性，下列判断正确的是（    ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
16．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调增区间是（    ）
A．和 B．和
C．和 D．和
17．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（    ）
A． B． C． D．
18．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（    ）
A． B． 和
C．和 D． 和
考点二 函数单调性的应用
（一）利用单调性比较大小
19．（2023秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知，则（    ）．
A． B． C． D．
20．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·高三课时练习）若函数在上是严格减函数，则下列各式成立的是（    ）
A．； B．；
C．； D．．
22．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）已知函数 (为自然对数的底数)，若，， ，则 （    ）
A． B．
C． D．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则以下结论正确的是
A． B． C． D．
24．（2023·重庆·统考模拟预测）设函数，若，，，则（    ）
A． B．
C． D．
25．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
（二）利用函数的单调性解抽象不等式
26．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
27．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
28．（2023春·天津宝坻·高三天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
30．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数，则不等式的解集为（    ）．
A． B．或
C． D．
31．（2023秋·河北秦皇岛·高三校考期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
（三）利用函数的单调性求参数的取值范围
（1）分式函数
32．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的最小值为____________．
33．（2023·浙江杭州·模拟预测）设，则“”是“函数在为减函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
34．（2023·全国·高三专题练习）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
（2）二次函数
35．（2023秋·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．
37．（2023秋·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ）
A． B． C．D．
38．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若对于任意，都有，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．0
39．（2023秋·江苏扬州·高三江苏省高邮中学校考开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______．
（3）三次函数
40．（2023春·北京·高三北京八十中校考期中）已知函数，则“”是“f（x）在R上单调递减”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
（4）对数函数
42．（2023秋·湖北·高三校联考期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
43．（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是___________.
44．（2023春·四川成都·高三校考阶段练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
45．（2023秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
46．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足，，则的值是_______
（5）分段函数
47．（2023秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知f（x）=是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.
48．（2023秋·宁夏固原·高三隆德县中学校考期中）函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是____________．
49．（2023秋·河南郑州·高三校考期末）函数在R上单调递减的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
50．（2023秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知函数 (且)是R上的单调函数，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
51．（2023·四川·模拟预测）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
（6）与绝对值有关的单调性问题
52．（2023·全国·高三专题练习）“”是“函数在区间上为增函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
53．（2023·全国·高三专题练习）若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数），若在区间上是增函数，则的取值范围是__________.
考点三 函数的最值问题
（一）利用函数单调性求最值
55．（2023秋·山西阳泉·高三统考期末）已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ）
A． B． C．2 D．
56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______．
57．（2023秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知函数是上的偶函数
(1)求实数的值，判断函数在,上的单调性；
(2)求函数在,上的最大值和最小值．
（二）根据函数最值求参数
58．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）若函数在区间上的最大值为，则实数_______.
59．（2023·上海徐汇·统考二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.
60．（2023·全国·高三专题练习）已知函数最小值为，则____________．
61．（2023·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是______.
62．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
63．（2023·全国·高三专题练习）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
（三）函数不等式恒成立问题
64．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
65．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
66．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．
67．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是_________．
（四）函数不等式有解问题
68．（2023·四川达州·统考二模）若，，则实数m的取值范围是______.
69．（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
70．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_____________．
考点四 抽象函数的单调性问题
71．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，，求证：f（x）在R上是减函数；
72．（2023·广西玉林·统考三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ）
A．是偶函数 B．是R上的减函数
C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为
73．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，时，，，则（    ）
A．
B．函数在区间单调递增
C．函数是奇函数
D．函数的一个解析式为