2021-2022学年江苏省扬州市四校联考高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州市四校联考高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1．（5分）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是　　

A． B． C． D．

2．（5分）设为实数，过两点，，，的直线的倾斜角为．求的值　　

A．或 B． C． D．

3．（5分）等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 

C．甲是乙的充要条件 

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

4．（5分）已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为　　

A． B． C．或 D．或

5．（5分）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　

A． B． C． D．

6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为　　

A． B． C． D．

7．（5分）设，若函数，有大于零的极值点，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分）.

9．（5分）已知三个数1，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

10．（5分）设数列满足：，且对任意的，都有，为数列的前项和，则　　

A．为等比数列 B． 

C．为等比数列 D．

11．（5分）已知点在圆上，点，，则　　

A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 

C．当最小时， D．当最大时，

12．（5分）下列结论正确的是　　

A．当， B． 

C． D．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）

13．（5分）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则　　．

14．（5分）曲线在点处的切线方程为　　．

15．（5分）函数的最小值为 　　．

16．（3分）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　　；如果对折次，那么　　．

三、解答题：（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：

（1）顶点的坐标；

（2）直线的方程．

18．（12分）已知圆过，，且圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程；

（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程．

19．（12分）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

20．（12分）已知椭圆的离心率为．

（1）证明：；

（2）若点在椭圆内部，过点的直线交椭圆于，两点，为线段的中点，且．

①求直线的方程；

②求椭圆的标准方程．

21．（12分）数列中，，，设．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和；

（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．

22．（12分）已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设在上存在极大值，证明：．

2021-2022学年江苏省扬州市四校联考高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1．（5分）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是　　

A． B． C． D．

【解答】解：双曲线的两条渐近线方程是，

可设双曲线的方程为，

双曲线经过点，

，

双曲线的方程为：．

故选：．

2．（5分）设为实数，过两点，，，的直线的倾斜角为．求的值　　

A．或 B． C． D．

【解答】解：过两点，，，的直线的倾斜角为，

，解得．

故选：．

3．（5分）等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 

C．甲是乙的充要条件 

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【解答】解：若，，则，则是递减数列，不满足充分性；

，

则，

，

若是递增数列，

，

则，，

满足必要性，

故甲是乙的必要条件但不是充分条件，

故选：．

4．（5分）已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为　　

A． B． C．或 D．或

【解答】解：设圆的半径为，圆心为，

则由已知可得，

解得或0，当时，，

当时，，

故选：．

5．（5分）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，为双曲线的两个焦点，是上的一点，，

设，，由双曲线的定义可得，即，

所以，，因为，，

所以，整理得，

所以．

故选：．

6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设五个人所分得的面包为，，，，，（其中；

则，，；

由，得；，；

所以，最小的1分为．

故选：．

7．（5分）设，若函数，有大于零的极值点，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，则．

若函数在上有大于零的极值点．

即有正根．

当有成立时，显然有，

此时．

由，得参数的范围为．

故选：．

8．（5分）已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，

【解答】解：因为，

故是上的单调递增函数，

故，即，

同理，

故选：．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分）.

9．（5分）已知三个数1，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：三个数1，，9成等比数列，可得，即，

若，则圆锥曲线即为椭圆，

可得离心率为；

若，则圆锥曲线即为双曲线，

可得离心率为．

故选：．

10．（5分）设数列满足：，且对任意的，都有，为数列的前项和，则　　

A．为等比数列 B． 

C．为等比数列 D．

【解答】解：由，可得：，，

数列是等比数列，首项为2，公比为2，

，，

．

数列为等比数列，首项为，公比为．

故选：．

11．（5分）已知点在圆上，点，，则　　

A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 

C．当最小时， D．当最大时，

【解答】解：，，

过、的直线方程为，即，

圆的圆心坐标为，

圆心到直线的距离，

点到直线的距离的范围为，，

，，，

点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故正确，错误；

如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），

此时，

，故正确．

故选：．

12．（5分）下列结论正确的是　　

A．当， B． 

C． D．

【解答】解：对于，令，则，则函数在上递增，则当时，，则恒成立．正确，

对于，令，则，则函数在上递增，在上递减，，，，错误，

对于，令，则，则函数在上递增，在上递减，，，正确，

对于，当时，则，错误，

故选：．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）

13．（5分）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则　8　．

【解答】解：抛物线，

抛物线的焦点，

直线过抛物线的焦点，

，解得，

抛物线方程为，

设，，，，

联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，

由韦达定理可得，，

．

故答案为：8．

14．（5分）曲线在点处的切线方程为　　．

【解答】解：因为，在曲线上，

所以，

所以，

则曲线在点处的切线方程为：

，即．

故答案为：．

15．（5分）函数的最小值为 　1　．

【解答】解：法一、函数的定义域为．

当时，，

此时函数在，上为减函数，

当时，，

则，

当，时，，单调递减，

当时，，单调递增，

在上是连续函数，

当时，单调递减，当时，单调递增．

当时取得最小值为（1）．

故答案为：1．

法二、令，，

分别作出两函数的图象如图：

由图可知，（1），

则数的最小值为1．

故答案为：1．

16．（3分）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　5　；如果对折次，那么　　．

【解答】解：易知有，，共5种规格；

由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故，

则，记，则，

，

，

．

故答案为：5；．

三、解答题：（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：

（1）顶点的坐标；

（2）直线的方程．

【解答】解：（1）由于，且的直线方程为，所以，

故，

所以所在的直线方程为；

由于边上的中线所在的直线的方程为，；

所以，解得；

故点．

（2）设点所以的中点的坐标满足；

由于点在直线上，

所以，整理得，即

同时，；

故，解得；

即点；

所以，

所以直线的方程为．

18．（12分）已知圆过，，且圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程；

（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程．

【解答】解：（1）圆心在直线上，设圆的标准方程为：，

圆过点，，

，

解得，

圆的标准方程为．

（2）①当斜率不存在时，直线的方程为：，直线截圆所得弦长为，符合题意．

②当斜率存在时，设直线，

圆心到直线的距离为，

根据垂径定理可得，，，解得，

直线的方程为或．

19．（12分）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【解答】解：选择①③为条件，②结论．

证明过程如下：

由题意可得：，，

数列的前项和：，

故，

据此可得数列 是等差数列．

选择①②为条件，③结论：

设数列的公差为，则：

，

数列 为等差数列，则：，

即：，整理可得：，．

选择③②为条件，①结论：

由题意可得：，，

则数列 的公差为，

通项公式为：，

据此可得，当时，，

当时上式也成立，故数列的通项公式为：，

由，可知数列是等差数列．

20．（12分）已知椭圆的离心率为．

（1）证明：；

（2）若点在椭圆内部，过点的直线交椭圆于，两点，为线段的中点，且．

①求直线的方程；

②求椭圆的标准方程．

【解答】证明（1）：由题意，，

即：

，可得；

得证．

解（2）：①由（1）可得方程为，即，

当在内部，

，

．

设直线与椭圆的交点，，，，

可得①；

②；

由①②得：；

为线段的中点，

，

由点斜式可得直线的方程为．即．

②联立，把直线方程代入椭圆方程得：，

即：．

，

又，而，

，

即③

将，代入③

解得符合题意．．

椭圆方程为．

21．（12分）数列中，，，设．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和；

（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．

【解答】解：（1）证明：将两边都加，得，

所以，

即，

又，

所以数列是首项为，公比为的等比数列．

（2）由（1）知，，

所以，

所以，①

，②

①②得，

所以．

（3）由 （2）及题目条件，得，

所以，

所以，

，

所以不超过 的最大的整数是 2021．

22．（12分）已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设在上存在极大值，证明：．

【解答】解：（1）由题意，函数，

则，

当时，令，单调递增，

当时，令，解得：或，令，解得：，

故在递增，在递减，在，递增，

当时，令，解得：或，令，解得：，

故在递增，在，递减，在递增，

综上：当时，在递增，在递减，在，递增，

当时，在上单调递增，

时，在递增，在，递减，在递增；

（2）证明：由函数，则，

令，可得，令，解得：，

当时，，在递增，此时，

故，函数在上单调递增，此时不存在极大值，

当时，令，解得：，令，解得：，

故在上单调递减，在，上单调递增，

在上存在极大值，故，解得：，

，，，，

易证，存在，，存在，，使得，

故在上单调递增，在，上单调递减，

故当时，函数取得极大值，即，，

由，，

故．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 9:09:59；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367