2020-2021学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.

1．（5分）设命题，，则的否定为　　

A．， B．， C．， D．，

2．（5分）下列结论正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，则 D．若，则

3．（5分）已知，则“”是“”的　　

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

4．（5分）已知等比数列，，，则　　

A．16 B． C．20 D．16或

5．（5分）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，，

6．（5分）在等差数列中，，是数列的前项和，则　　

A．2019 B．4040 C．2020 D．4038

7．（5分）正数，的等差中项是，且，，则的最小值是　　

A．3 B．4 C．5 D．6

8．（5分）形如是非负整数）的数称为费马数，记为．数学家费马根据，，，，都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那么的位数是　　（参考数据：

A．9 B．10 C．11 D．12

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.

9．（5分）下列各结论中正确的是　　

A．“”是“”的充要条件 

B．的最小值为2 

C．若，则 

D．若公比不为1的等比数列的前和，则

10．（5分）已知是等差数列的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有　　

A．数列的公差 B．数列中的最大项为 

C． D．

11．（5分）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是　　

A．12 B．13 C．14 D．15

12．（5分）设，，称为，的调和平均数，为，的平方平均数，如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则正确的是　　

A．的长度是，的算术平均数 

B．的长度是，的调和平均数 

C．的长度是，的几何平均数 

D．长度是，的平方平均数

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）数列的通项公式为，则它的第5项　　．

14．（5分）不等式的解集是　　．

15．（5分）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为　　，第　　天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．

16．（5分）若，，且，则的最小值为　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）（1）已知集合，，求；

（2）已知不等式的解集是，求实数，的值．

18．（12分）在①，；②，；③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，，_____，求数列，的通项公式．

19．（12分）已知，．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

20．（12分）如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元．

（1）设总造价为（单位：元），长为（单位：，求出关于的函数关系式；

（2）当长取何值时，总造价最小，并求这个最小值．

21．（12分）已知是正项数列的前项和，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若不等式恒成立，求的最小值．

22．（12分）已知为等差数列，为等比数列，，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

2020-2021学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.

1．（5分）设命题，，则的否定为　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出即可．

【解答】解：命题，，

则的否定为：，．

故选：．

【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题的应用问题，是基础题．

2．（5分）下列结论正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，则 D．若，则

【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．

【解答】解：对于：若，，则，故错误；

对于：若，，则，故正确，

对于：若，当时，，故错误；

对于：若，则，故错误；

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查对应思想，是一道基础题．

3．（5分）已知，则“”是“”的　　

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【分析】“” “”，“ ” “或”，由此能求出结果．

【解答】解：，则“” “”，

“” “或”，

“”是“”的充分非必要条件．

故选：．

【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

4．（5分）已知等比数列，，，则　　

A．16 B． C．20 D．16或

【分析】利用等比数列的通项公式直接求解．

【解答】解：等比数列，，，

解得．

故选：．

【点评】本题考查等比数列的第9项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5．（5分）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，，

【分析】利用判别式△即可求得的取值范围．

【解答】解：不等式对任意恒成立，

则△，

，

实数的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查了利用判别式求不等式恒成立问题，是基础题．

6．（5分）在等差数列中，，是数列的前项和，则　　

A．2019 B．4040 C．2020 D．4038

【分析】等差数列的求和公式和等差数列的性质

【解答】解：，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题．

7．（5分）正数，的等差中项是，且，，则的最小值是　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】利用等差中项的意义可得，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

【解答】解：，的等差中项是，，

又，．

，当且仅当时取等号．

故选：．

【点评】熟练掌握差中项的意义、“乘1法”和基本不等式是解题的关键．

8．（5分）形如是非负整数）的数称为费马数，记为．数学家费马根据，，，，都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那么的位数是　　（参考数据：

A．9 B．10 C．11 D．12

【分析】根据所给定义表示出，进而即可判断出其位数．

【解答】解：根据题意，，

因为，所以的位数是10．

故选：．

【点评】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.

9．（5分）下列各结论中正确的是　　

A．“”是“”的充要条件 

B．的最小值为2 

C．若，则 

D．若公比不为1的等比数列的前和，则

【分析】直接利用不等式的性质，基本不等式，等比数列的前项和，对勾函数的性质判定、、、的结论．

【解答】解：对于：“” “”，故“”是“”的充要条件，故正确；

对于：函数，

设，所以为对勾函数，且函数在，单调递增，

所以函数的最小值为，故错误；

对于：由于，所以，故正确；

对于：由于公比的等比数列的前项和，所以，故正确；

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，等比数列的前项和，对勾函数，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

10．（5分）已知是等差数列的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有　　

A．数列的公差 B．数列中的最大项为 

C． D．

【分析】直接利用等差数列的性质和等差数列的前项和的应用判断、、、的结论．

【解答】解：已知是等差数列的前项和，且，

所以，即，由于，即，

对于：所以，故公差，故正确，

对于：由于，，所以数列的中的最大项为最大，故错误；

对于，故正确，

对于：由于，故错误．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：等差数列的性质，等差数列的前项和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

11．（5分）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是　　

A．12 B．13 C．14 D．15

【分析】逐个选项代入计算验证正误即可．

【解答】解：当时，原不等式为，易得其解集为，，不满足题意，故选项错误；

当时，原不等式为，易得其解集为，，满足题意，故选项正确；

当时，原不等式为，易得其解集为，，满足题意，故选项正确；

当时，原不等式为，易得其解集为，，满足题意，故选项正确，

故选：．

【点评】本题主要考查一元二次不等式的整数解问题，属于中档题．

12．（5分）设，，称为，的调和平均数，为，的平方平均数，如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则正确的是　　

A．的长度是，的算术平均数 

B．的长度是，的调和平均数 

C．的长度是，的几何平均数 

D．长度是，的平方平均数

【分析】利用直角三角形性质求解判断：在直角中，求出，可判断；在直角中，求解，可判断；连接，在直角中，求出，可判断；利用，则，求解，可判断；

【解答】解：，，是斜边中点，过点作的垂线交半圆于，

对于，在直角中，，

，

则，故正确；

对于，在直角中，，

则，故错误；

对于，连接，是弧的中点，

为平方平均数，故正确；

对于，，可知，则，

，故错误．

故选：．

【点评】本题考查了几何平均数，算术平均数，调和平均数和平方平均数的几何的几何意义，考查了转化思想，属于中档题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）数列的通项公式为，则它的第5项　0　．

【分析】根据通项公式和三角函数值即可求出．

【解答】解：数列的通项公式为，则它的第5项，

故答案为：0．

【点评】本题考查了数列的通项公式和三角函数值，属于基础题．

14．（5分）不等式的解集是　，　．

【分析】把原不等式化为与相乘的式子，根据两数相乘同号得负，分类讨论与的同时为正或同时为负，即可得到原不等式的解集．

【解答】解：原不等式化为：，

即或，

解得：或，

则原不等式的解集为：，．

故答案为：，

【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想，是一道基础题．

15．（5分）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为　16　，第　　天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．

【分析】由题意得出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此能求结果．

【解答】解：某医院一次性收治患者127人．

第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．

如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，

从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，

则第19天治愈出院患者的人数为，

，

解得，

第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．

故答案为：16，21．

【点评】本题考查出院人数的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

16．（5分）若，，且，则的最小值为　　．

【分析】先由题设，再利用基本不等式求得的最小值．

【解答】解：，，且，

，即，

，当且仅当时取“ “，

故答案为：．

【点评】本题主要考查式子的变形及基本不等式的应用，属于中档题．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）（1）已知集合，，求；

（2）已知不等式的解集是，求实数，的值．

【分析】（1）可求出集合，，然后进行交集的运算即可；

（2）根据题意可知，，4是一元二次方程的两实根，根据韦达定理即可求出，的值．

【解答】解：（1），或，

，，；

（2）不等式的解集是，

，4是方程的两实根，

根据韦达定理得，解得．

【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，一元二次不等式的解法，韦达定理，考查了计算能力，属于基础题．

18．（12分）在①，；②，；③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，，_____，求数列，的通项公式．

【分析】分别选①②③，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比、公差，进而得到所求通项．

【解答】解：选①，，且，，

所以，解得或（舍去），

则，，所以，；

选②，，且，，

所以，解得或（舍去），

所以，，

所以，

；

选③，，

且，，可得，解得或（舍去），

则，，

所以，．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算求解能力，属于中档题．

19．（12分）已知，．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求命题中对应的范围，利用是的必要不充分条件，建立条件关系，即可求的取值范围．

【解答】解：，，即，

，

即命题中对应的范围为，

设命题对应的集合为，

由，得，

当时，不等式的解为，对应的解集为，

当时，不等式的解为，对应的解集为，

当时，不等式的解为，对应的解集为，

若是的必要不充分条件，

则，

当时，满足条件．

当时，，，

要使，则满足，

当时，，，

要使，则满足，

综上：．

【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分条件和必要条件的应用，涉及的知识点较多．

20．（12分）如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元．

（1）设总造价为（单位：元），长为（单位：，求出关于的函数关系式；

（2）当长取何值时，总造价最小，并求这个最小值．

【分析】（1）设，，由题意可得，把用含有的代数式表示，即可求得总造价关于的函数关系式

（2）把（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值得答案．

【解答】解：（1）设，，则，

，

则

；

（2）

，

当且仅当，即时上式等号成立．

故当的长为米时，总造价有最小值11800元．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．

21．（12分）已知是正项数列的前项和，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若不等式恒成立，求的最小值．

【分析】（1）直接利用数列的递推关系式和等差数列的定义求出数列的通项公式；

（2）利用数列的求出公式的应用和恒成立问题的应用及函数的单调性的应用求出的最小值．

【解答】解：（1）知是正项数列的前项和，且，①

当时，②，

①②得：，

由于数列为正项数列，

所以（常数），

当时，解得．

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．

所以．

（2）由于，所以，

则，

即恒成立．

设，所以，

由于函数，在上单调递减，，上单调递增，又（5），（6），

所以，

所以的最小值．

【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，数列的求和，恒成立问题，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

22．（12分）已知为等差数列，为等比数列，，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

【分析】（Ⅰ）分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出；

（Ⅱ）根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明；

（Ⅲ）分类讨论，再根据错位相减法即可求出前项和．

【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，，则，可得，

，

，，

，

解得，

；

（Ⅱ）证明：法一：由（Ⅰ）可得，

，，

，

；

法二：数列为等差数列，且，

，，，

，

；

（Ⅲ），当为奇数时，，

当为偶数时，，

对任意的正整数，有，

和，①，

由①可得，②，

①②得，

，

因此．

数列的前项和．

【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:35:26；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394