2020-2021学年江苏省镇江中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省镇江中学高二（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省镇江中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）若，则的值为　　
A．4 B．7 C．4或7 D．不存在
2．（5分）已知函数满足，当△时，　　
A．20 B． C． D．
3．（5分）下列求导运算正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若表示取得次品的个数，则　　
A． B． C． D．1
5．（5分），则的值为　　
A．16 B．32 C．64 D．128
6．（5分）已知，表示两条不同直线，，表示两个不同平面，下列说法正确的为　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．（5分）甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件为“四名同学所选项目各不相同”，事件为“只有甲同学选羽毛球”，则　　
A． B． C． D．
8．（5分）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率，，若，，
则，，．有如下命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则．其中假命题是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图．根据该折线图，下面结论正确的是　　

A．甲从第二次到第三次成绩的上升速率要小于乙从第六次到第七次的上升速率
B．乙的成绩的极差为8
C．甲的成绩的中位数为7
D．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
10．（5分）下列叙述正确的是　　
A．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强
B．在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，预报变量平均减少0.2个单位
C．若的斜率，则变量与正相关
D．某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应抽取12名
11．（5分）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则下列四个选项中，正确的是　　
A．他第3次击中目标的概率是0.9
B．他恰好击中目标3次的概率是
C．他至少击中目标1次的概率是
D．他恰好有连续2次击中目标的概率为
12．（5分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面平面，，，若点为的中点，为中点，则下列说法正确的是　　

A．平面
B．平面
C．四棱锥外接球的表面积为
D．过点作四棱锥外接球的截面，截面面积最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
13．（5分）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 　　．
14．（5分）过原点作函数的切线，则切线方程为　　．
15．（5分）2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合．已知，则方差为　　据此估计，在全市随机抽取10名高三同学，设表示10名同学中英语成绩超过95分的人数，的数学期望是　　．
16．（5分）习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶1．贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略，为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出6名农业技术专家男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多4人，则不同的选派方案共有　　种．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）求在，上的极值．
18．（12分）已知的展开式中所有的二项式系数和为128．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项．
19．（12分）山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如表所示：
采购数量（单位：箱）
，
，
，
，
，
采购人数
100
100
50
200
50
（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图，并估计样本的中位数，众数，平均数；（每组数据以区间的中点值为代表）
（2）从采购数量在，之间的采购者中，用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，求这3人不都来自同一组的概率．

20．（12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量．求的分布列与数学期望．
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．

22．（12分）携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．
（Ⅰ）完成列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；

对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数



对业务水平不满意人数



合计



（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；
（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？
附：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，．

2020-2021学年江苏省镇江中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）若，则的值为　　
A．4 B．7 C．4或7 D．不存在
【分析】利用组合数的计算公式及其性质即可得出．
【解答】解：，或，
解得或7，
经过验证满足条件．
故选：．
【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知函数满足，当△时，　　
A．20 B． C． D．
【分析】根据题意，分析可得，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，
又由，
则当△时，，
故选：．
【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．
3．（5分）下列求导运算正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据基本初等函数、积的导数和商的导数的求导公式对每个选项函数求导即可．
【解答】解：，，，．
故选：．
【点评】本题考查了基本初等函数、积的导数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
4．（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若表示取得次品的个数，则　　
A． B． C． D．1
【分析】利用互斥事件概率计算公式、古典概型概率计算公式直接求解．
【解答】解：有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若表示取得次品的个数，
则
．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分），则的值为　　
A．16 B．32 C．64 D．128
【分析】分别令、，可得2个等式，再把这2个等式相乘，可得结论．
【解答】解：，则令，可得，
再令，可得，
两式相乘，可得，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
6．（5分）已知，表示两条不同直线，，表示两个不同平面，下列说法正确的为　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：对于，若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故错误；
对于，若，，则或或与相交，故错误；
对于，若，，则，故正确；
对于，若，，则或与相交，故错误．
故选：．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
7．（5分）甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件为“四名同学所选项目各不相同”，事件为“只有甲同学选羽毛球”，则　　
A． B． C． D．
【分析】推导出（B），，再由，能求出结果．
【解答】解：甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，
记事件为“四名同学所选项目各不相同”，事件为“只有甲同学选羽毛球”，
则（B），，
．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型和、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率，，若，，
则，，．有如下命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则．其中假命题是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】结合正态分布曲线的特点进行分析计算即可解决此题．
【解答】解：根据题意知，．由正态分布曲线得：，甲正确；
由正态分布曲线知：，乙正确；
，由正态分布曲线知：，丙正确；
，
，
，丁错误；
故选：．
【点评】本题考查正态分布曲线、数形结合思想、数据分析能力和计算能力，属于容易题．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图．根据该折线图，下面结论正确的是　　

A．甲从第二次到第三次成绩的上升速率要小于乙从第六次到第七次的上升速率
B．乙的成绩的极差为8
C．甲的成绩的中位数为7
D．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：由折线图可知，甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到第七次的上升速率，故选项错误；
将乙十次的成绩从小到大排列可知，成绩的最大值为10，最小值为2，故极差为，故选项正确；
甲的成绩从小到大排列为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7，故选项正确；
由折线图可知，乙的成绩比甲的成绩波动更大，所以甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
10．（5分）下列叙述正确的是　　
A．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强
B．在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，预报变量平均减少0.2个单位
C．若的斜率，则变量与正相关
D．某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应抽取12名
【分析】由统计中数字特征可判断下列所给命题的真假．
【解答】解：，线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，所以不正确；
，在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，预报变量平均减少0.2个单位，所以正确；
，若的斜率，则变量与正相关，满足回归直线的性质，所以正确；
，总体是由差异比较明显的男教师和女教师两部分组成，男教师60名、女教师40名，
为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应抽取12名．所以正确．
故选：．
【点评】本题考查统计的数字特征，及命题真假的判断，基本知识的考查，属于基础题．
11．（5分）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则下列四个选项中，正确的是　　
A．他第3次击中目标的概率是0.9
B．他恰好击中目标3次的概率是
C．他至少击中目标1次的概率是
D．他恰好有连续2次击中目标的概率为
【分析】运用独立性事件发生的概率公式和对立事件的概率，运用排除法和分类讨论方法，可得所求结论．
【解答】解：对于，某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，
他第3次击中目标的概率是0.9，故正确；
对于，他恰好击中目标3次的概率是：，故错误；
对于，他至少击中目标1次的对立事件为：他一次都没有击中，
他至少击中目标1次的概率是，故正确；
对于，他恰好有连续2次击中目标的概率为，故错误．
故选：．
【点评】本题考查命题的真假判断，主要是独立性事件发生的概率求法，考查运算能力，属于基础题．
12．（5分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面平面，，，若点为的中点，为中点，则下列说法正确的是　　

A．平面
B．平面
C．四棱锥外接球的表面积为
D．过点作四棱锥外接球的截面，截面面积最小值为
【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，锥体的体积公式的应用判断、、、的结论．
【解答】解：如图所示：

由题意知：侧面平面，
交线为，
底面为矩形，所以，
则平面，
过点只能做一条直线与已知平面垂直，故错误；
连接，交于点，
连接，
在中，，
平面中，平面中，
所以平面；故正确；
由题意知：四棱锥的体积为四棱锥体的体积的一半，
取的中点，连接，所以，
则平面，
所以，故错误；
在矩形中，易得，，，
在中，，
在中，，
所以，
所以点为四棱锥体的外接球的球心，
半径为3，故体积为，故正确；
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，锥体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
13．（5分）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 　　．
【分析】利用分步计数原理可得全部情况个数16种；再根据古典概型可计算．
【解答】解：抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数
考虑第一次抽到的数为4，则有3种情况满足题意；
第一次抽到的数为3，则有2种情况满足题意；
第一次抽到的数为2，则有1种情况满足题意；
满足题意的情况个数为：；
全部情况个数：种；
所以：；
故答案为：；
【点评】本题考查分步计数原理和古典概型，属于基础题．
14．（5分）过原点作函数的切线，则切线方程为　　．
【分析】求出导函数，设切点为，求出切线方程 与已知条件结合，推出结果即可．
【解答】解：，原点不在曲线上，原点不是切点时，设切点为，
则切线的斜率为，
切线方程为，
而切线过，可得，
解得，
切点为，，斜率为，所求的切线方程为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．
15．（5分）2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合．已知，则方差为　64　据此估计，在全市随机抽取10名高三同学，设表示10名同学中英语成绩超过95分的人数，的数学期望是　　．
【分析】由题意，求出，即可得到方差；由题意，从而可求出的数学期望．
【解答】解：由题意
由此得，
方差为，
1名同学超过95分的概率为，
在全市随机抽取10名高三同学，设表示10名同学中英语成绩超过95分的人数，
则，
所以的数学期望．
故答案为：64；5．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点，离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶1．贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略，为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出6名农业技术专家男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多4人，则不同的选派方案共有　48　种．
【分析】根据题意，按6人的分组不同分2种情况讨论，①6人分为3，3的两组时，②6人分为2，4的两组时，求出每种情况下首先分析符合条件的分组方法，再将两组对应到两个贫困县参加扶贫工作，由分步计数原理计算可得每种情况的安排方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①6人分为3，3的两组时，不会出现两名女专家单独成组情况，有种分组方法，
再对应到两个贫困县参加扶贫工作，有种情况，
此时共有种安排方式，
②6人分为2，4的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女专家单独成组情况，则有14种符合条件的分组方法，
再对应到两个贫困县参加扶贫工作，有种情况，
此时共有种安排方式，
共有种安排方法；
故答案为：48．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）求在，上的极值．
【分析】（1）根据函数导数的几何意义，即得切线方程；（2）使用函数导数判定函数的单调性，进而确定函数的极值．
【解答】解：（1）根据题意，，
，，
故可得，函数在点处的切线方程即为：
．
（2）令，
则有，或；，
即得函数在，上单调递增，在上单调递减，
故可得函数在处取得极大值为；在处取得极小值为（1）．
【点评】本题主要考查函数导数的几何意义，以及函数极值的判定，属于基础题
18．（12分）已知的展开式中所有的二项式系数和为128．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项．
【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质、通项公式，求得展开式中二项式系数最大的项．
（2）把按照二项式定理展开，可得的常数项．
【解答】解：（1）的展开式中所有的二项式系数和为，，
故展开式的通项公式为，故第项的二项式系数为，
故当 或时，二项式系数最大，
故展开式中二项式系数最大的项为，．
（2）

的展开式中的常数项为．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
19．（12分）山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如表所示：
采购数量（单位：箱）
，
，
，
，
，
采购人数
100
100
50
200
50
（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图，并估计样本的中位数，众数，平均数；（每组数据以区间的中点值为代表）
（2）从采购数量在，之间的采购者中，用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，求这3人不都来自同一组的概率．

【分析】（1）计算所要画直方图对应区间频率再完善直方图即可；
（2）按比例计算两层人数，再用古典概型计算即可．
【解答】解：（1）数据落在，的纵坐标为：，数据落在，的纵坐标为：．完善频率分布直方图如下：

，样本中位数为280．众数为：．平均数为：；
（2）从采购数量在，之间的采购者中，用分层抽样的方法随机抽取9人，从采购数量在，上和在，上分别抽取6人和3人．
从这9人中随机抽取3人，这3人不都来自同一组的概率．
【点评】本题考查概率分布直方图、概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
20．（12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量．求的分布列与数学期望．
【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得的分布列与数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．（2分）
都付0元的概率为，
都付40元的概率为，
都付80元的概率为，
故所付费用相同的概率为．
（Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和的可能取值为0，40，80，120，160，
，
，
，
，
，
的分布列为：

0
40
80
120
160






数学期望．
【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．

【分析】（1）推导出，，由此能证明平面．
（2）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
（3）求出，平面的法向量，推导出，从而直线在平面内．
【解答】证明：（1）平面，，
，，
平面．
解：（2）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，
为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，，，
，0，，，，，
，1，，，
平面的法向量，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
解：（3）直线在平面内，理由如下：
点在上，且．，，，
，，，
平面的法向量，1，，
，
故直线在平面内．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查直线是否在平面内的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心思想，是中档题．
22．（12分）携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．
（Ⅰ）完成列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；

对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数



对业务水平不满意人数



合计



（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；
（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？
附：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，．
【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论；
（Ⅱ）由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出期望值；
（Ⅲ）分别计算协议终止时三类客户流失的概率值，再利用对立事件求对应的概率值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，对服务满意的有260人，对服务不满意的有100人，
根据题意填写列联表如下，

对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数
180
80
260
对业务水平不满意人数
20
20
40
合计
200
100
300
计算，
所以有的把握认为业务水平与服务水平有关；
（Ⅱ）由题意知，随机变量的可能取值分别为0，1，2；
计算，，；
所以的分布列为：

0
1
2




期望为；
（Ⅲ）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为，
只有一项不满意的客户流失的概率为，
对两项都不满意的客户流失的概率为，
所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为，
所以业务服务协议终止时，从该运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为
．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．
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日期：2021/12/1 15:58:24；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394