江苏省无锡市辅仁高级中学高一下学期期末考试数学试卷

无锡市辅仁高级中学第二学期期末考试

高一数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，则在复平面内复数对应的点位于

A. 第一象限     B. 第二象限        C. 第三象限         D. 第四象限

2．从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：

①至少有1个白球与至少有1个黄球； ②至少有1个黄球与都是黄球；

③恰有1个白球与恰有1个黄球；     ④至少有1个黄球与都是白球．

其中互斥而不对立的事件共有

A．0组 B．1组 C．2组 D．3组

3．下列命题正确的是

（1）已知平面，和直线，，若，，，，则；

（2）已知平面，和直线，，平面和直线，，若，，则；

（3）已知平面，和直线，，且m，n为异面直线，，.若直线l满足，，，，则与相交，且交线平行于；

（4）在三棱锥中，，，，垂足都为P，则P在底面上的射影是三角形ABC的垂心.

A.（2）（3）     B.（2）（3）（4）      C.（3）（4）        D.（1）（2）

4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆，且该圆锥的体积为，则r=

A.           B． 2               C． 3              D.

5．已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则

A．           B．              C．            D．

6．由下列条件解三角形ABC，其中有两解的是

A．       B．

C．         D．

7．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为

A．   B．   C．   D．

8．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.对于图2.下列结论不正确的是

A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形

B．若，，则

C．若AB=2AʹBʹ，则

D．若Aʹ是ABʹ的中点，则三角形ABC的面积是三角形AʹBʹCʹ面积的7倍

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的

A．众数为7 B．极差为6 C．中位数为8 D．方差为

10．若复数（）（为虚数单位），其中真命题为

A．若                  B．若，则  

C．若，则        D．

11．已知点，，，则下列说法正确的是

A．若A、B、C三点共线，则  

B．存在实数m，使得

C．若三角形是直角三角形，则或

D．设，当时，三角形与三角形的面积相等

12．在正方体中，点P在线段BC1上运动，下列结论正确的是

A．平面平面

B．平面

C．异面直线A1P与AD1所成角的范围是

D．三棱锥的体积不变

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用比例分配的分层随机抽样方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80，那么n的值为___________.

14．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高_________m.（结果用d、、、表示）

15．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球和内切球的半径之比为_______.

16．已知三角形ABC中，点G、O分别是的重心和外心，且，，则边的长为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求全市家庭月均用水量不低于 6t的频率；

（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值；

（3）求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.

18．（12分）

已知复数是纯虚数，是实数.

（1）求；

（2）若，求.

19．（12分）

（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由.

（2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响.求两人中恰有一人通过考核的概率.

20．（12分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.

（1）求A；

（2）若a=2，求△ABC面积的最大值.

21．（12分）

如图，在直三棱柱中，平面平面.

（1）求证：；

（2）若，平面与平面的夹角的大小是A1B与平面A1B1C所成角的大小的2倍，求侧棱BB1的长度.

22．（12分）

在三角形ABC中，，E为AC中点，，线段AD与BE交于点M.

（1）用向量和表示；

（2）若.在直线BC上是否存在点H，使得线段AH长度为定值，若存在，则求出线段AH的长度，若不存在，请说明理由.

高一数学期末考试数学参考答案

一、单选题

1~5.AACBB  6~8.CAC

二、多选题

9.   ABD     10.AB    11.AD     12.ABD

三、填空题

13. 192     14.   15.   16.6

四、解答题

17. 解：（1）全市家庭月均用水量不低于6t的频率为.……3分

（2）全市家庭月均用水量平均数的估计值为（t）……6分

（3）因为，，

所以全市家庭月均用水量的75％分位数为.……10分

18. 解：（1）设且.

则为实数，……3分

所以，所以.……6分

（2），……9分（若算出z1，则再给1分）

所以.……12分

19. 解：（1），……2分

，……4分

，

则，所以事件A与B独立.……6分

（2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”.

，……8分

，……10分

.

即恰有一人通过考核的概率为0.2212.……12分

20.解：（1）因为，由余弦定理得，……2分

整理得.……4分

因为，所以，所以，则，所以.……6分

（2）由余弦定理得，即，……8分

则，当且仅当时，等号成立.……10分

所以三角形ABC的面积最大值为.……12分

21.（1）证明：在平面中，过点A作，垂足为D.

因为平面A1BC平面ABB1A1，平面平面，，

平面，所以平面A1BC.……2分

又平面A1BC，则.……3分

在直三棱柱中，平面ABC，BC平面ABC，则.……4分

又，平面，则平面，……5分

又平面ABC，所以.……6分

（2）解：分别以BA、BC、BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设BB1=t，，则B（0,0,0），C（1,0,0），A1（0，1，t），B1（0,0,t）.

平面A1BC的法向量为，平面A1B1C的法向量为，……8分

.

设平面与平面的夹角的大小为，A1B与平面A1B1C所成角的大小为.

则，.……10分

因为，所以，所以，解得，又，所以，即.……12分

22.解：（1）因为B、M、E三点共线，设，则，……2分

又A、M、D三点共线，设，则.……4分

因为不共线，所以，解得.

所以.……6分

（2）,…

.…

由可得.……8分

假设存在点H，设，则.

则……10分

当时，.所以存在点H，使得AH长度为定值.……12分