2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一（下）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）在中，，，，则这个三角形的面积是　　

A． B． C． D．1

2．（5分）已知复数，则的虚部为　　

A． B． C． D．

3．（5分）设为所在平面内一点，，则　　

A． B． 

C． D．

4．（5分）向量，，，且，则实数　　

A．3 B． C．7 D．

5．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）在中，，，则一定是　　

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

7．（5分）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上．则旗杆的高度为　　

A．米 B．15米 C．20米 D．米

8．（5分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为　　

A． B． C． D．

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）在水流速度为的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为　　

A．北偏西 B．北偏西 C． D．

10．（5分）下列等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）在复平面内，下列说法正确的是　　

A．若复数为虚数单位），则 

B．若复数满足，则 

C．若复数，则为纯虚数的充要条件是 

D．若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆

12．（5分）下列结论正确的是　　

A．在中，若，则是钝角三角形 

B．若点为的重心，则 

C．若且，则 

D．若，，三点满足，则，，三点共线．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13．（5分）设，则　　．

14．（5分）已知、是方程的两根，且、，则　　．

15．（5分）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”．可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为 　　．

16．（5分）若向量，满足，，，则，的夹角为　　，　　．

四、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）（1）计算；

（2）在复数范围内解关于的方程：．

18．（12分）已知．

（1）当为何值时，与共线？

（2）当为何值时，与垂直？

（3）当为何值时，与的夹角为锐角？

19．（12分）（1）已知，求的值；

（2）已知均为锐角，求的值．

20．（12分）如图，，是海平面上的两个小岛，为测量，两岛间的距离，测量船以15海里小时的速度沿既定直线航行，在时刻航行到处，测得，，1小时后，测量船到达处，测得，，求，两小岛间的距离．（注、、、四点共面）

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数的最大值及取最大值时的集合．

22．（12分）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为．若，．

（1）求；

（2）若______，求的面积的大小．

（在①，②．这两个条件中任选一个，补充在横线上）

2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．【分析】利用三角形的面积即可得出．

【解答】解：这个三角形的面积．

故选：．

2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得得答案．

【解答】解：，

，

则的虚部为．

故选：．

3．【分析】根据向量的加法法则进行求解转化即可．

【解答】解：由题意可知，为所在平面内的一点，如图所示，

则有①，

②，

因为，代入①中可得③，

由②③可得，．

故选：．

4．【分析】可求出，这样根据即可得出，解出即可．

【解答】解：，且，

，解得．

故选：．

5．【分析】，由此能求出结果．

【解答】解：，

．

故选：．

6．【分析】由题意和余弦定理变形已知式子可得，结合可判．

【解答】解：在中，，

由余弦定理可得，

，即，

，结合可得一定是等边三角形．

故选：．

7．【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系即可求出旗杆的高度．

【解答】解：如图所示，

依题意知，，

，

由正弦定理知，

（米，

在中，（米．

故选：．

8．【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，然后结合已知及余弦定理可求，代入已知公式即可求解．

【解答】解：因为，

所以，

即，

所以，

因为，

所以，

，

由余弦定理可得，，

所以，

则的面积．

故选：．

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．【分析】由题意作平行四边形，由直角三角形可得斜边的值，及的值．

【解答】解：由题意如图所示：，，且，

作平行四边形，可得：，且，

所以，

故选：．

10．【分析】分别将所给命题按二倍角公式，两角和的正弦公式，两角差的正切公式逆用可判断出所给命题的真假．

【解答】解：中，，故正确；

中，，故正确；

中，，所以不正确；

中，，所以正确；

故选：．

11．【分析】先化简．复数，根据复数的周期性及其运算法则即可得出，即可判断出正误．

．举例即可判断出正误．

．复数，则为纯虚数的充要条件是，，即可判断出正误．

．根据复数的几何意义即可判断出正误．

【解答】解：．复数，，则，因此正确．

．复数满足，则，不正确，例如满足，但是．

．复数，则为纯虚数的充要条件是，．因此不正确．

．复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆，根据复数的几何意义可知正确．

综上可得：只有正确．

故选：．

12．【分析】对：由，可得为钝角，即可判断；

对：取中点，由重心的性质得，即可判断；

对，即可进行判断；

对：根据平面向量基本定理即可判断．

【解答】解：对：由于，所以，故是钝角三角形，故正确；

对：取的中点，连接，并延长至，使，则四边形为平行四边形，

因为是的三边中线的交点，即有，所以，故正确；

对：若若，则与不一定相等，故错误；

对于：点、、满足共线，则，由于，，三点满足，则，，三点共线，故正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13．【分析】化简，求出的模即可．

【解答】解：，

则，

故答案为：2．

14．【分析】利用韦达定理可得与的值，利用两角和的正切即可求得．

【解答】解：、是方程的两根，

，，

，，，

，

．

故答案为：．

15．【分析】由等边三角形，可得，，，由余弦定理可得的值，进而求出的值．

【解答】解：由题意可得，，所以，

因为，

所以，

在中，由余弦定理可得：，

而，

所以，

解得：，，

故答案为：4．

16．【分析】先根据数量积的运算公式求出的值，然后代入夹角公式即可求出夹角，将平方，然后结合已知即可求解．

【解答】解：因为，，

所以，

故，所以，，

因为，故．

而．

故答案为：．

四、解答题（共6小题，满分70分）

17．【分析】（1）根据复数的运算性质化简即可；（2）解方程，求出方程的解即可．

【解答】解：（1），，

；

（2）由，配方得，

即，所以．

18．【分析】（1）根据题意，求出与的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得的值，即可得答案；

（2）根据题意，求出与的坐标，由向量垂直的判断方法可得，解可得的值，即可得答案；

（3）根据题意，求出与的坐标，分析可得且与不共线，据此可得关于的不等式，解可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，，

则，，

若与共线，则有，

解可得：，

（2）根据题意，，，

若与垂直，则，

解可得：，

（3）根据题意，，，

若与的夹角为锐角，则有且与不共线，

即且，

解可得：且．

19．【分析】（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果；

（2）利用三角函数的定义和函数的角的恒等变换的应用求出结果．

【解答】解：（1）已知，

所以；

由于，

所以，

故．

（2）由于，为锐角，

故，

由于，

所以，；

故．

20．【分析】在在中，由正弦定理求出，在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理得

【解答】解：由已知得，，，

在中，由正弦定理得，（2分）

；（4分）

，，，

在中，由正弦定理得，，（6分）

；（8分）

在中，，由余弦定理得（10分）

故两小岛间的距离为海里．（12分）

21．【分析】（1）先将函数化简为，根据可得答案．

（2）令，可直接得到答案．

【解答】解：（1）因为

所以函数的最小正周期为

（2）由（1）知，当，即时，取最大值

因此函数取最大值时的集合为：，

22．【分析】（1）利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合为锐角可得的值．

（2）若选①：利用二倍角公式化简已知等式，结合为锐角，可得，进而可得的值，由正弦定理可得的值，由余弦定理可解的值，根据三角形的面积公式即可求解．

若选②，由已知等式代入数据可得，又由正弦定理可得，两式相除利用同角三角函数基本关系式可求，结合为锐角，可得，由正弦定理可得的值，由余弦定理可解的值，根据三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：（1），，

，

，可得，

由为锐角，可得．

（2）若选①：，可得，

因为为锐角，可得，可得，

由正弦定理，可得，解得，

由余弦定理，可得，解方程可得，（负值舍去），

所以．

若选②，，

又，，可得，解得，①

又由正弦定理，可得，②

由①②可得，结合为锐角，可得，

由正弦定理，可得，解得，

由余弦定理，可得，解方程可得，（负值舍去），

所以．

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日期：2022/3/11 19:18:25；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367