2023杭州四校高一下学期3月联考试题数学含答案

2022学年第二学期高一年级四校联考

数学学科  试题卷

命题人    陈王欢

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．    B．    C．     D．

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

3．函数的一个零点所在的一个区间是（    ）

A．    B．    C．   D．

4．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（    ）

A．1     B．2     C．3    D．4

5．已知向量，满足，，，则（    ）

A．    B．     C．    D．

6．如图所示，点在线段上，且，则（    ）

A．   B．   C．   D．

7．已知函数，若对任意的正数，恒有，则的取值范围是（    ）

A．    B．   C．    D．

8．已知，，，则（    ）

A．   B．    C．    D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知，下列命题正确的是（    ）

A．若，则       B．若，则

C．若，，则    D．若，则

10．已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（    ）

A．若，则是钝角三角形

B．若，则

C．若，则是锐角三角形

D．若，，，则只有一解

11．如图，正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（    ）

A．点在线段上时，为定值

B．点在线段上时，为定值

C．的最大值为2

D．使的点轨迹长度为

12．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（    ）

A．可能是偶函数       B．

C．      D．

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知角的顶点在原点，以轴非负半轴为始边，若角的终边经过点，则________．

14．向量在向量方向上的投影向量的坐标为________．

15．某时钟的秒针端点到时钟的中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转．当时间时，点与钟面上标“12”的点重合，将，两点的距离表示成的函数，则________，其中．

16．已知函数，若关于的方程在上恰有2个实数根，，且，则的最小值为________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知集合，集合．

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围．

18．已知：、是同一平面内的两个向量，其中．

（1）若且与垂直，求与的夹角；

（2）若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

19．已知，

（1）求的值；

（2）求的值．

20．在中，，，分别是角，，所对的边，．

（1）求；

（2）若，，求的最小值．

21．某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且；

（1）求塑胶跑道的总长关于的函数关系式；

（2）当为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值．

22．已知函数，函数，，为奇函数．

（1）求实数的值；

（2）已知，其中．是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

四校联考参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

8．C

，，所以即，

又（或构造函数：当时，），所以

12．ACD

当是常函数时，符合题意，所以A正确；

由是奇函数，则，所以……（1）

是偶函数，所以……（2）

由（1）（2）得，所以，选项B错；

因为

所以

由已知在上单调递增，且，所以，

所以；所以C正确

同理：，

因为，所以选项D正确．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．    14．     15．    16．

16．

设，，其中，

所以，

因为，所以，

所以，当且仅当时取等号．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：

（1）由，即，解得，即；

当时，由得，故，

所以．

（2）因为，所以，

若，得；

若，有，得，

综上，故．

18．解：

（1）解：由得，即，所以，

得，又，所以；

（2）解：因为，，所以

所以，则，

由 得，

由与与的夹角为锐角，所以

19．解：

（1）解法一：由已知得，则，若为第一象限角，则，

若为第三象限角，则，

故．

解法二：由已知得，则，则

．

（2）解法一：由（1）知，则，，

故．

解法二：由已知得，则

．

20．解：

（1）由已知，所以，所以，即．

（2）因为，所以，

因为，所以，当且仅当时取等号．所以的最小值是．

21．解：

（1）由已知得，，

故，

所以，．

（2）

所以当，时，取得最大值10千米．

22．解：

（1）由于为奇函数，，所以定义域为，

因此，则；

（2）由于，则在上单调递减；

，则在上单调递增．

令在上单调递增

，

由于恒成立，

因此恒成立，

令，

因此．