2021-2022学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）若集合，，，，则　　

A．，2， B．， C．， D．，2，3，

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．（5分）已知，，将，，按照从小到大的顺序排列为　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

4．（5分）已知，则，则值为　　

A．36 B．6 C． D．

5．（5分）已知函数，若（a），则的值是　　

A．3或 B．或5 C． D．3或或5

6．（5分）对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界，若，，且，则的上确界为　　

A． B． C． D．

7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　

A． B．10.1 C． D．

8．（5分）已知函数，若存在相异的实数，，使得成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C．， D．，

二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）已知函数，则下列判断正确的是　　

A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 

C．函数在上是减函数 D．函数在上是增函数

10．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是　　

A．若且，则 B．若，则 

C．若，则 D．若且，则

11．（5分）有如下命题，其中真命题的标号为　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，．

12．（5分）已知函数有且只有一个零点，则　　

A． 

B． 

C．若不等式的解集为，，则 

D．若不等式的解集为，，且，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）幂函数的图象过点，则此幂函数的解析式是　 　．

14．（5分）设，，若，则的最大值是 　　．

15．（5分）已知定义在实数集上的偶函数在区间，上是单调增函数，若（1），则实数的取值范围为　 　．

16．（5分）已知函数，，的最大值为，则实数的值为 　　．

四、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程：或演算步骤．

17．（1）；

（2）解关于的方程：．

18．已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

19．已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

20．创新是一个民族的灵魂，国家大力提倡大学毕业生自主创业，以创业带动就业，有利于培养大学生的创新精神．小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润年销售收入固定成本流动成本）；

（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

21．如果存在实数，使得，那么就称函数为“不动点”函数．

（1）判断函数是否为“不动点”函数，并说明理由．

（2）已知函数为“不动点”函数．

①求的取值范围；

②已知函数的定义域为，，设的最小值为（a），求（a）的单调区间．

22．对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序对”，

（1）对于2，3，7，11，试求的“下位序对”；

（2）设，，，均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系；

（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序对”，且是的“下位序对”，求正整数的最小值．

2021-2022学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）若集合，，，，则　　

A．，2， B．， C．， D．，2，3，

【解答】解：集合，，，，

，2，3，．

故选：．

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【解答】解：因为“”，则“”；但是“”不一定有“”，

所以“”，是“”成立的充分不必要条件．

故选：．

3．（5分）已知，，将，，按照从小到大的顺序排列为　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

【解答】解：，且，，

所以．

故选：．

4．（5分）已知，则，则值为　　

A．36 B．6 C． D．

【解答】解：根据题意，，则有，，

则，，

若，即，

则；

故选：．

5．（5分）已知函数，若（a），则的值是　　

A．3或 B．或5 C． D．3或或5

【解答】解：若，则（a）

舍去）

若，则（a）

综上可得，或

故选：．

6．（5分）对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界，若，，且，则的上确界为　　

A． B． C． D．

【解答】解：若，，且，

则

，

当且仅当时，上式取得等号，

则的上确界为．

故选：．

7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　

A． B．10.1 C． D．

【解答】解：设太阳的星等是，天狼星的星等是，

由题意可得：，

，则．

故选：．

8．（5分）已知函数，若存在相异的实数，，使得成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C．， D．，

【解答】解：函数，

①当，时，，，在递减，不成立，舍去；

②当，时，则，，在递减，不成立，舍去；

③当，时，，当时，，在递减；

当时，，由，可得，

当，即时，，，则恒成立，

当，即时，，，则在，单调递增，在，单调递减．

则对于任意，，，则满足题意．

存在相异的实数，，使得成立，

此时，

故选：．

二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）已知函数，则下列判断正确的是　　

A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 

C．函数在上是减函数 D．函数在上是增函数

【解答】解：，

，

为奇函数，故正确，错误；

又与均为上的增函数，

函数在上是增函数，故正确，错误；

故选：．

10．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是　　

A．若且，则 B．若，则 

C．若，则 D．若且，则

【解答】解：．取，，则不成立．

．若，则，，因此正确．

．若，则，，，正确；

．若且，则，，而可能为0，因此不正确．

故选：．

11．（5分）有如下命题，其中真命题的标号为　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，．

【解答】解：（A）当时候，图象永远在图象上方，因此错误；

（B）当时候，图象永远在图象上方，因此正确；

（C）当时候，，因此错误；

（D）当时候，，因此正确；

故选：．

12．（5分）已知函数有且只有一个零点，则　　

A． 

B． 

C．若不等式的解集为，，则 

D．若不等式的解集为，，且，则

【解答】解：根据题意，函数有且只有一个零点，必有，即，，

依次分析选项：

对于，，时，等号成立，即有，故正确；

对于，，当且仅当时，取得等号，故正确；

对于，由，为方程的两根，可得，故错误；

对于，由，为方程的两根，可得，，

则，

解得，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）幂函数的图象过点，则此幂函数的解析式是　　．

【解答】解：设幂函数，为常数），

其图象过点，

，解得．

，

故答案为：．

14．（5分）设，，若，则的最大值是 　　．

【解答】解：由题意得，，

所以，当且仅当即时取等号，此时取得最大值．

故答案为：．

15．（5分）已知定义在实数集上的偶函数在区间，上是单调增函数，若（1），则实数的取值范围为　　．

【解答】解：函数是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递增．

不等式（1），等价为（1），

即，

或，

解得实数的取值范围是，

故答案为：．

16．（5分）已知函数，，的最大值为，则实数的值为 　　．

【解答】解：由已知得，

又，（2），，

，

解得，

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程：或演算步骤．

17．（1）；

（2）解关于的方程：．

【解答】解：（1）原式．

（2），

，，

．

18．已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）时，，

所以，；

（2）因为“”是“”的必要条件，所以，，

所以

所以，即的取值范围为，．

19．已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由已知可得：

得，

得，

因此原不等式的解集为，．

（2）令，等价于，

且，

令，可得，

当时，即当时，函数取得最小值，最小值为，

因此，实数的取值范围是．

20．创新是一个民族的灵魂，国家大力提倡大学毕业生自主创业，以创业带动就业，有利于培养大学生的创新精神．小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润年销售收入固定成本流动成本）；

（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）每件产品售价为10元，

万件产品销售收入为万元，

由题意可得，当时，，

当时，，

综上所述，．

（2）当时，，

当时，取得最大值（6），

当时，由对勾函数的单调性可知，函数在区间，上为减函数，

当时，取得最大值（8），

由，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为．

21．如果存在实数，使得，那么就称函数为“不动点”函数．

（1）判断函数是否为“不动点”函数，并说明理由．

（2）已知函数为“不动点”函数．

①求的取值范围；

②已知函数的定义域为，，设的最小值为（a），求（a）的单调区间．

【解答】解：（1）当时，，方程无解，

当时，，得，

所以是“不动点”函数．

（2）①当时，，解得，符合题意，

当吋，，即，

所以所以，且，

综上所述，的取值范围为，．

②的定义域为，，

时，在，单调递增，（a），

时，在，递减，在，递增，（a）（a），

时，在，单调递减，（a）（1），

（a），

（a）的单调递增区间为，单调递减区间为．

22．对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序对”，

（1）对于2，3，7，11，试求的“下位序对”；

（2）设，，，均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系；

（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序对”，且是的“下位序对”，求正整数的最小值．

【解答】解：（1），

的下位序对是．

（2）是的“下位序对”，

，

，，，均为正数，故，即，

；

同理，

综上所述，；．

（3）依题意，得，

注意到，，整数，故，

于是，

，

该式对集合内的每个的每个正整数都成立

，

，

，

，

对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序对”，且是的“下位序对”．

正整数的最小值为4035．

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