2024年新高考数学一轮复习 第一章 第四节 基本不等式

课时跟踪检测(四) 基本不等式

一、全员必做题

1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　 )

A．a＋b≥2  B．＋≥2

C.≥2  D．a2＋b2>2ab

解析：选C　因为和同号，所以＝＋≥2＝2.

2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则lg a＋lg b的最大值为(　 )

A．0  B．  C.  D．1

解析：选A　∵a>0，b>0，a＋b＝2，∴lg a＋lg b＝lg ab≤lg2＝0，当且仅当a＝b＝1时取等号．

3．已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为(　 )

A．36  B．25  C．16  D．9

解析：选B　由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10，则(1＋x)(2＋y)≤2＝25，当且仅当1＋x＝2＋y，即x＝4，y＝3时取等号，所以(1＋x)(2＋y)的最大值为25.

4．已知a>0，b>0，则“a＋b≤1”是“＋≤”的(　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A　充分性：∵a>0，b>0，a＋b≤1，∴≤≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，∴(＋)2＝a＋b＋2≤1＋2×＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，∴＋≤.必要性：当a＝1，b＝时，＋≤成立，但a＋b≤1不成立，即必要性不成立，所以“a＋b≤1”是“＋≤”的充分不必要条件．

5．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　 )

A．9 cm2  B．16 cm2 

C．4 cm2  D．5 cm2

解析：选C　设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.

6．若直线l：ax＋by－1＝0(ab>0)始终平分圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周长，则＋的最小值为(　 )

A．3＋2  B．6

C．7  D．3＋4

解析：选A　圆C的圆心为C(1,2)，由题意可知，直线l过圆心C，则a＋2b＝1，因为ab>0，则a>0且b>0，因此，＋＝(a＋2b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当a＝b时等号成立，故＋的最小值为3＋2.

7．(2022·新高考Ⅱ卷)(多选)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　 )

A．x＋y≤1  B．x＋y≥－2

C．x2＋y2≤2  D．x2＋y2≥1

解析：选BC　对于A、B，由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤32，解得－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D，由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确．故选B、C.

8．若x>1，则x＋的最小值为________．

解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

答案：5

9．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝4，b＋c＝6，则此三角形面积的最大值为______．

解析：因为p＝＝＝5，所以三角形的面积S＝＝

≤ ＝＝

＝2，当且仅当b＝c＝3时等号成立．

答案：2

10．若两个正实数x，y满足x＋4y＝1，且不等式＋>m2－8m恒成立，则实数m的取值范围是_______．

解析：＋＝(x＋4y)＝1＋＋＋4≥9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立．由不等式＋>m2－8m恒成立知m2－8m<9，解得－1<m<9.

答案：(－1,9)

11．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；

(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．

解：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.当x＜时，有3－2x＞0，∴＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.

(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，∴y＝＝·≤ ·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.

12.某居民小区欲在一块空地上建一面积为1 200 m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3 m，东西的人行通道宽4 m，如图所示(图中单位：m)，问：如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？

解：设矩形停车场南北侧边长为x m(x>0)，则其东西侧边长为 m，人行通道占地面积为S＝(x＋6)－1 200＝8x＋＋48(m2)，由均值不等式，得S＝8x＋＋48≥2＋48＝2×240＋48＝528 m2，当且仅当8x＝，即x＝30 m时等号成立，Smin＝528 m2，此时＝40 m．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30 m，东西侧边长为40 m，人行通道占地面积最小为528 m2.

二、重点选做题

1．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得 ＝4a1，则＋的最小值为(　 )

A.  B．

C.  D．

解析：选B　因为a7＝a6＋2a5，所以q＝2或q＝－1，又an>0，所以q＝2.由＝4a1可知＝4a1，所以m＋n＝6，则(m＋2)＋n＝8，＋＝＋＋1＝·＋1＝＋1≥＋1＝，由＝可得取等号时n＝(m＋2)，但m，n∈N*，无解．又m＋n＝6，经检验m＝1且n＝5时有最小值.

2．若对∀x，y>0都有x＋y＋2≤a(2x＋3y)成立，则实数a的最小值是(　 )

A.  B．  C.  D．

解析：选B　由x>0，y>0，得4x>0,9y>0，所以4x＋9y≥2＝12，当且仅当4x＝9y时等号成立，所以10x－6x＋15y－6y≥12，10x＋15y≥6x＋6y＋12，5(2x＋3y)≥6(x＋y＋2)，由2x＋3y>0，得≤，当且仅当4x＝9y时等号成立，所以的最大值为.由题意知，a≥恒成立，所以a≥，故a的最小值为.

3．已知a>0，b>0，a＋2b＝1，请写出使得“m<＋”恒成立的一个充分不必要条件为________．(用含m的式子作答)

解析：由题意可知a>0，b>0，故＋＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号，所以＋≥8恒成立，若m<＋恒成立，则m<8.故使得“m<＋”恒成立的一个充分不必要条件为m<7(答案不唯一，合理即可，可以从不等式的角度出发，填写m<6，m<5等，也可以直接填写合适的m的值，如m＝0，m＝1等)．

答案：m<7(答案不唯一)

4．已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数．

(1)求证：＋＋≥；

(2)是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

解：(1)证明：因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数，所以＋＋＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]

＝≥(3＋2＋2＋2)＝，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以＋＋≥得证．

(2)因为a＋b＋c＝3，所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，因此a2＋b2＋c2≥3，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以(a2＋b2＋c2)min＝3，由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，即得x2－mx＋1≥0恒成立，因此Δ＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2.故存在实数m∈[－2,2]使不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2成立．