2024年新高考数学一轮复习 第一章 第三节 等式性质与不等式性质

课时跟踪检测(三) 等式性质与不等式性质

1．已知a>b>0，c<d<0，则下列结论一定成立的是(　 )

A．a＋c>b＋d  B．a－c>b－d

C．ac>bd  D．ad>bc

解析：选B　因为c<d<0，所以－c>－d>0，又a>b>0，所以a－c>b－d.

2．设P＝(a＋1)(a－5)，Q＝2a(a－3)，则有(　 )

A．P>Q  B．P≥Q

C．P<Q  D．P≤Q

解析：选C　因为P＝(a＋1)(a－5)，Q＝2a(a－3)，所以P－Q＝(a＋1)(a－5)－2a(a－3)＝－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4<0，所以P<Q.

3．如果a<0，b>0，那么下列不等式正确的是(　 )

A．a2<b2  B．<

C．|a|>|b|  D．<

解析：选D　若a＝－2，b＝1，则a2<b2，<不成立，故A、B错误；若a＝－1，b＝2，则|a|>|b|不成立，故C错误；因为<0<，故D正确．故选D.

4．(多选)已知<<0，则下列不等关系正确的是(　 )

A．ab>a－b  B．ab<－a－b

C.＋>2  D．>

解析：选CD　由<<0，得b<a<0.当a＝－，b＝－2时，A错误；当a＝－2，b＝－3时，B错误；根据基本不等式知，C正确；因为b<a<0，所以b2>a2，因为－＝>0，所以D正确．

5．下列结论正确的是(　 )

A．若<，则a<b  B．若a2>b2，则a>b

C．若a>b，则ac2>bc2  D．若ac>bc，则a>b

解析：选A　<，显然a，b均大于等于0，两边平方得a<b，A正确；当a＝－1，b＝0时，满足a2>b2，但a<b，B错误；若a>b，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，C错误；若ac>bc，c<0，则a<b，D错误．

6．若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的(　 )

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　－＞0⇒＞⇒a＞b≥0⇒a2＞b2，但a2－b2＞0 －＞0，所以“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件．

7．实数a，b，c满足a2＝2a＋c－b－1，且a＋b2＋1＝0，则下列关系成立的是(　 )

A．b>a≥c  B．c≥a>b

C．b>c≥a  D．c>b>a

解析：选D　由a2＝2a＋c－b－1可得(a－1)2＝c－b≥0，由a＋b2＋1＝0可得a＝－b2－1≤－1，∴c>b，∴b－a＝b2＋b＋1＝2＋>0，∴b>a.综上，c>b>a，故选D.

8．(2023·广州模拟)若α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是(　 )

A．－π＜α－β＜π  B．－π＜α－β＜0

C．－＜α－β＜  D．－＜α－β＜0

解析：选B　从题中－＜α＜β＜可分离出三个不等式－＜α＜　①，－＜β＜　②，α＜β　③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－＜－β＜　④，根据同向不等式的可加性，可得－π＜α－β＜π.由③式得α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故选B.

9．下列对不等关系的判断，正确的是(　 )

A．若<，则a3>b3

B．若>，则2a<2b

C．若ln a2>ln b2，则2|a|>2|b|

D．若tan a>tan b，则a>b

解析：选C　a＝－1，b＝1满足<，但a3<b3，A错；＝1，b＝－2，满足>，但2a>2b，B错；>ln b2⇒a2>b2⇒|a|>|b|⇒2|a|>2|b|，C正确；tan>tan，但<，D错．

10．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为(　 )

A．6钱  B．7钱  C．8钱  D．9钱

解析：选C　依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，买小竹子(78－x)根，每根单价为(m－1)钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)．因为0≤x≤78，所以即即≤m≤.根据选项知m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱．

11．设＜b＜a＜1，则(　 )

A．aa＜ab＜ba  B．aa＜ba＜ab

C．ab＜aa＜ba  D．ab＜ba＜aa

解析：选C　∵＜b＜a＜1，∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.∵＝a,0＜＜1，a＞0，∴a＜1.∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.

12．(多选)已知非零实数a，b，c满足a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等关系一定正确的是(　 )

A.>

B.＋≤－2

C．(a－b)a>(b－c)a

D.∈

解析：选BD　因为非零实数a，b，c满足a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b的正负不能确定．对于A，若a>0>b，则>0>，则>，故A错误；对于B，因为<0，所以－>0，所以＋＝－，因为＋≥2＝2，当且仅当－＝－时，即a＝－c时取到等号，所以＋＝－≤－2，故B正确；对于C，当a＝2，b＝1，c＝－3时，(a－b)a＝12＝1，(b－c)a＝42＝16，显然不满足(a－b)a>(b－c)a，故C错误；对于D，因为a>b>c，a>0，所以1>>，又a＋b＋c＝0，所以<，解得<－；因为a>b>c，c<0，所以<<1，又a＋b＋c＝0，所以<＝－－1，解得<－，所以－2<<0.综上∈.故D正确．

13．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________________．

解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝，

∵a＋b>0，(a－b)2≥0，

∴≥0，∴＋≥＋.

答案：＋≥＋

14．给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③  ＞－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________．

解析：使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0.当a>b>0时，①②显然成立．对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)，∵a＞b＞0，∴2(－)＞0，∴()2－(－)2＞0，即 ＞－.

答案：a>b>0(答案不唯一)

15．设x，y是正实数，记S为x，y＋，中的最小值，则S的最大值为________．

解析：由题意知0<S≤x,0<S≤，则≤，≤，即有≤，y≤，所以S≤y＋≤＋＝，解得0<S≤2，当且仅当＝＝时取等号，故S的最大值为2.

答案：2

16．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是________．

解析：若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得－>0，即ab>0，bc－ad>0⇒－>0；若ab>0，－>0成立，不等式－>0两边同乘ab，可得bc－ad>0，即ab>0，－>0⇒bc－ad>0；若－>0，bc－ad>0成立，则－＝>0，又bc－ad>0，则ab>0，即－>0，bc－ad>0⇒ab>0.

综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个．

答案：3