江苏省泰州中学2022-2023学年高一下学期5月检测数学试卷（含答案）

江苏省泰州中学2022-2023学年高一下学期5月检测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若复数满足，则复数在复平面内对应的点在(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2、在中，，，，且，则的形状是(   )

A.等边三角形  B.等腰三角形

C.等腰直角三角形  D.直角三角形

3、已知是第一象限的角，且 ，求的值为（）

A. B. C. D.

4、如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，﹒则下列结论中，错误的是(   )

①；②；③；④在上的投影为

A.②③ B.②④ C.③④ D.②③④

5、如图，在半径为R、圆心角为的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在QA上，点M、N在OB上，则这个矩形面积的最大值为(   )

A. B. C. D.

6、m，n表示直线，，，表示平面，给出下列结论:

①若，，，则，

②若，，，则，

③若，，，则，

④若，，，则，其中正确的结论个数为(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

7、在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，且，，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为(   )

A. B. C.3 D.

8、在如图所示的长方体中，，，点M为棱的中点，若N为底面内一点，满足面，设直线MN与直线所成角为，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有(   )

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

10、a，b，c分别为中三个内角A，B，C的对边，下列结论中正确的是(   )

A.若，则为等腰三角形

B.若，则

C.若，，，则符合条件的有且仅有两个

D.若，则为钝角三角形

11、在三棱锥P﹣ABC中，已知PA底面ABC，ABBC，E、F分别是线段PB、PC上的动点.则下列说法正确的是(   )

A.当AEPB时，AEPC

B.当AFPC时，一定为直角三角形 

C.当EFBC时，平面AEF平面PAB

D.当PC平面AEF时，平面AEF与平面PAB不可能垂直

12、已知正四棱台的所有顶点都在球O的球面上，，，E为内部(含边界)的动点，则(   )

A.平面

B.球O的表面积为

C.的最小值为

D.与平面所成角的最大值为

三、填空题

13、的值为________.

14、如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD=_____.

15、在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若的面积，则的取值范围是_______.

16、正方体的掕长是a，其中E是CD中点，F是中点，则过点E，F，的截面面积是______.

四、解答题

17、已知向量、、在同一平面上，且，.

（1）若与垂直，求k

（2）（其中）取最小值时，求向量与的夹角大小.

18、某轮船以V海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60度.轮船从处向北航行30分钟后到达处，测得油井在南偏东15度，且海里.轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C点.

（1）求轮船的速度V；

（2）求P，C两点的距离（精确到1海里）.

19、如图所示，在三棱柱中，侧面为菱形，，，侧面为正方形，平面平面ABC.点M为的中点，点N为AB的中点.

（1）求证平面；

（2）求三棱锥的体积.

20、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC上一点，，.

(1)若，求；

(2)若，当面积取最小值时，求a的值.

21、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且.

(1)求证：；

(2)若，求.

22、如图1，直角梯形ABCD中，，，，，，边BC上一点E满足.现在沿着AE将折起到位置，得到如图2所示的四棱锥.

 图一 图二

（1）证明：.

（2）若M为棱的中点，试问线段CD上是否存在点N，使得？若存在，求出此时DN的长；若不存在，请说明理由.

参考答案

1、答案：D

解析：由题意得，，，则复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.

2、答案：A

解析：由题意可知，，，为非零向量，，则，，，即，即，可得，同理可得，可得，可得的形状为等边三角形.故选：A

3、答案：A

解析：

4、答案：D

解析：对于①，所以，故①正确；对于②，故②错误；对于③，故③错误；对于④④在上的投影为，故④错误.故选：D

5、答案：B

解析：扇形AB的半径为R，圆心角为且，矩形PNMQ面积为S.由题设可得，化简得:，当，即时，S取最大值.

6、答案：C

解析：

对①，若，，，则，故①正确；对②，若，，，则，故②正确；对③，若，，，

如正方体中，平面平面，平面ABCD，，但AB与平面不垂直，故③错误，对④，，，，如正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，但，故④错误.所以正确的结论个数为2个.故选:C.

7、答案：B

解析：设四棱锥的外接球与内切球的半径分别为R，r.因为，四棱锥的表面积，所以，因为PA，AB，AD两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以，所以四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为.故选：B.

8、答案：C

解析：

取中点E，取中点F，连接ME，MF，EF，，，.

在长方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为M，E分别为，的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为M，F分别为，的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面平面，所以底面内满足满足面的点N在线段EF上，又因为，所以直线MN与直线所成角即为直线MN与直线所成角，在线段EF上任取一点N，连接，MN，因为底面，底面，所以，所以为直角三角形，，在中，，，，因为点N在线段EF上，所以当时，的长度最小，此时可利用等面积法，解得，所以的最小值为，当点N和点E重合时的长度最长为，所以的最大值为，所以的取值范围是.故选：C.

9、答案：AD

解析：，，，A对.，a，，，，或，B错.，z有可能为，C错，选AD.

10、答案：ABD

解析：对于A，，又A，，在单调递减，，即这个三角形是等腰三角形，故正确；对于B，三角形ABC中，若，则，则，即，故正确；对于C，由于，，，利用余弦定理，，解得，故有一解，故错误；对于D，若，根据正弦定理整理得:，所以，则是钝角三角形，故正确.

11、答案：ACD

解析：

对A选项，底面ABC，且平面ABC，，，，且PA，平面PAB，平面PAB，平面PAB，，，，且BC，平面BCP，平面BCP，平面BCP，，故A正确，对B选项，当时，无法得出一定为直角三角形，例如E点取点B，不是直角三角形，若，则，又，，BF，平面BCP，则平面BCP，平面BCP，则，而，，AF，平面ACP，则平面ACP，平面ACP，则AC，显然不成立，故此时，若，则，，，AF，平面ACP，平面ACP，平面ACP，，显然不成立，故此时，若，则，而，BF，平面BCP，，所以平面BCP，平面BCP，，显然不成立，故，故B错误，对C选项，由A选项证得平面PAB，，平面PAB，平面AEF，平面平面PAB，故C正确，对D选项，在平面PAB内，过点P作AE的垂线，垂足为G，假设平面平面PAB，平面平面，且平面PAB，平面AEF，而若此时平面AEF，这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故当平面AEF时，平面AEF与平面PAB不可能垂直，故D正确故选：ACD.

12、答案：ACD

解析：解：对于选项A：连结BD，AC，交于点F，则，所以四边形为平行四边形，

故，又平面，平面，所以平面BDC，故A正确：

对于选项B：如图，易知，从而F为球O的球心，且半径为，所以球O的表面积为，故选项B错误；

对于选项C：易得平面，且平面，从而平面平面，连结，交于点G，则，，又平面，

平面平面，所以平面，因为平面，所以，故，所以，故选项C正确；

对于选项D：因为平面，垂足为G，所以为直线到平面的距离，从而点A到平面的距离为.设直线AE与平面所成的角为，则，因为，所以，所以，故选项D正确.

综上，可得正确的选项为ACD.

13、答案：

解析：

，故答案为：.

14、答案：18

解析：

如图所示，过点A作，设，则:在Rt中，在Rt中，所以:，整理得:，解得:或-3(负值舍去)，故:.

15、答案：

解析：由，，又，所以，，，，因为，所以，所以，.

16、答案：

解析：

根据面面平行的性质，，其中，

，其中过点E，F，的截面为五边形，在三角形中，，，，由余弦定理得，平行四边形形的面积，又，，，s截面.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1），，，，

与垂直，，解得.

（2）(其中)，，，，，当时，取得最小值，此时，，，即，故向量与的夹角大小为.

18、答案：（1）海里/小时

（2）40海里

解析：（1）由题可知，在中，，，所以，又，由正弦定理有：，即，解得，所以，故轮船的速度是海里/小时.

（2）由（1）有，，由题可知，，所以在中，由余弦定理有：，所以，所以，所以P，C两点的距离约为40海里.

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）

连接，，因为四边形为菱形，点M为的中点，所以，点M为的中点，又点N为AB中点，所以，而平面，平面，所以平面；

（2）

侧面为菱形，，为等边三角形，.取AC的中点H，连接，则.

又平面平面ABC，平面平面，平面，平面ABC，平面ABC，.而四边形为正方形，.又，又，和在平面上，平面，又的面积，.

20、答案：（1）

（2）

解析：（1）令，又，所以，即，则，即，又，则，故.

（2）由三角形面积公式可得，且，所以，即，即，当且仅当时，等号成立，此时面积取最小值，此时，，所以当面积取最小值时，.

21、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）

在中，，则，整理得，则，又，则，在中，由正弦定理得，则，在中，由正弦定理得，则，则，则

（2）由，可得，，又，则，，由，可得，解之得，又，则，由，可得，则

22、答案：（1）证明见解析；

（2）存在，且

解析：（1）

在梯形ABCD中，连接DE，如下图所示：因为，，则，因为，，，边BC上一点E满足，则，，所以，，因为且，所以四边形ABED为菱形，在四棱锥中，取AE的中点F，连接DE、DF、，因为，F为AE的中点，所以，，同理可证，，所以，平面，平面，.

（2）取线段EF的中点G，连接MG，过点G在平面ADCE内作交CD于点N，连接MN，下面证明出，因为M、G分别为、EF的中点，则，平面，平面，平面，因为，平面，平面，平面，，所以，平面平面，所以，平面，平面，，过点E在平面ADCE内作交CD于点Q，

因为，，由余弦定理可得，则，所以，，则，，则，，，则，，所以，，所以，，，，因为且直线AE、CD相交，所以，四边形DFEQ为梯形，因为G为EF的中点，，则N为DQ的中点，故.因此，在线段CD上存在点N，使得，且.